吉林省长春市十一高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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数学试题
第I卷（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，
1 若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
2. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ）
A. B. C. D.
3. 设x，，向量，，，且，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 0
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
5. 在中，角的对边分别为，则下列结论成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（ ）
A. 等边三角形B. 顶角为的等腰三角形
C. 顶角为的等腰三角形D. 等腰直角三角形
7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，为上一点，且，若面积是，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，选出正确选项，全部选对的6分，部分选对的部分分，错选不得分．
9. 已知的三个内角，所对的边分别为，下列条件中，能使满足条件的唯一确定的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D. 与的夹角的余弦值为
11. 已知的内接四边形中，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 四边形面积为
C. 该外接圆的直径为D.
第II卷（共92分）
三、填空题：本题共3小起，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为______.
13. 如图，在中，，点在边上，且，则______．
14. 如图，直线与的边分别相交于点．设．则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16. 的内角对的边分别为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17. 如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点.
（1），求值；
（2）若，求最小值.
18. 如图，在中，是线段上一点（不包括端点），连接.
（1）若，求线段的长；
（2）若，求；
（3）设，试求的取值范围.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．