2024年河北省中考数学模拟练习试卷（解析版）

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1．下列不能表示“”的意义的是（ ）
A．2的a倍B．a的2倍C．2个a相加D．2个a相乘
【答案】D
【分析】2个a相乘表示为a2，即可求解．
【详解】解：A、2的a倍表示为，故此选项不符合题意；
B、a的2倍表示为，故此选项不符合题意；
C、2个a相加表示为，故此选项不符合题意；
D、2个a相乘表示为，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查代数式；理解代数式字母与数字之间的关系是解题的关键．
2．如图，由B点测量A点方向，得到（ ）

A．A点在B点南偏西的方向上B．A点在B点南偏西的方向上
C．A点在B点北偏东的方向上D．A点在B点北偏东的方向上
【答案】C
【分析】根据方向角的表示方法求解即可．
【详解】解：由图知，A点在B点北偏东的方向上，
故选：C．
【点睛】本题考查方向角，熟练掌握方向角的表示方法是解答的关键．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】原式．
故选：B．
4．转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找出哪幅图中红色区域所占的份数最多，即可得出结果．
【详解】解：在转盘中的4等份中，A中红色区域为1份，B中红色区域为1份，C中红色区域为2份，D中红色区域为3份，
当转盘停止转动时，D中指针指向红色区域的可能性最大，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了判断事件发生的可能性的大小，找出题中红色区域所占的份数最多的选项是解题的关键．
5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．8cm
【答案】B
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是3cm的边是底边时，
三边为3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：13－3－3＝7cm，
而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
6．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断．
【详解】解：
∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
7．计算：的值为（ ）
A．1B．3C．D．9
【答案】A
【分析】从左往右，依次计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=
=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序．
8．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）
A．B．
C．D．无法比较
【答案】B
【分析】连接AB，BC，根据得，再根据三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接AB，BC，如图，
∵
∴
又
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．
10．2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答．
【详解】解：21分20秒=1280秒，
×1280
=（米），
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
11．如图，在中，，分别以斜边、直角边为边作正方形和正方形．若正方形的面积为36，，则正方形的面积为（ ）

A．B．11C．D．31
【答案】B
【分析】根据正方形的面积求出，在用勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为36，
∴，
∵，，
∴，
∴正方形的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到正方形的性质、勾股定理等，灵活运用所学知识是关键．
12．某几何体由若干个完全相同的小正方体组成，如图是它的左视图和俯视图，那么组成该几何体的小正方体个数最少为（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】A
【分析】在俯视图中写出最少的情形的小正方体的个数，可得结论．
【详解】根据题意得：
∴该几何体至少使用小正方体的个数为个．
故选：A
【点睛】本题考查的是由三视图判断几何体，理解三视图的特征是解本题的关键．
如图所示，已知在中，，，交于点，
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明，得到，再利用直角三角形的两个锐角互余，得到，进一步得到，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是证明，得到．
14．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；
在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．
15．如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延长交直线于点，根据三角形外角的定义可以求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得到的度数．
【详解】解：如图，延长交直线于点，
，
三角形是等边三角形，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，是解题的关键．
16．二次函数的图像与x轴的两个交点间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据求得两根，计算两根的差即可．
【详解】令二次函数的，
得，
解得，
所以两个交点间的距离是，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与x轴的两个交点间的距离，熟练掌握求方程的根是解题的关键．
填空题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分．）
17．若点和点都在反比例函数的图象上，则a的值为 ．
【答案】
【分析】先把点代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再代入点即可得到答案．
【详解】把点代入得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数自变量的值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
18．代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用转化思想，检验是解答本题的关键．
如图1，含30°和45°角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，，点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长为 ；
现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，
则当从0°到90°的变化过程中，点移动的路径长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】如图1中，作于M，设．在中，，，根据，可得，推出a=12（-1），推出；如图2①中，当=45°时,的值最大，然后通过解直角三角形求得；当=90°时,的值最小，然后通过解直角三角形求得，最后作差求得即可．
【详解】解：如图1中，作于M，设
在中，，BC=24，
∴BH=2HM
在中，，
∴MH=CM
在中，，HM=a，则BM=a
∵BM+FM=BC
∴a+a=24，解得：a=12（-1）
∴cm；
（2）当=45°时,EQ的值最大
如图：由题意得PC=PF=PB=PF==12
∵在Rt△BPQ1中，BP=12,∠B=30°
∴PQ1==6
∴EQ1=EP-PQ1=12-6=6；
当=90°时,EQ的值最小
如图：由题意得PC=PF=PB=PF==12
∵在Rt△BPQ1中，BP=12,∠B=30°
∴PQ2=
∴
∴
∴当从0°到90°的变化过程中，点移动的路径长为cm．
故答案为cm，cm．
【点睛】本题考查了旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数以及求点运动轨迹等知识，确定点H的运动轨迹是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．某校初一年级举行班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．每个班在第一轮都要打8场比赛；
(1)第一轮比赛中，初一（1）班最高可以得______分；最低可以得______分；
(2)第一轮比赛中，初一（1）班得了18分，问该班胜了多少场比赛？
【答案】(1)24；8
(2)该班胜了5场
【分析】（1）由每队胜1场得3分，负1场得1分直接可得答案；
（2）设该班胜了场，根据“得了18分”列方程即可求解．
【详解】（1）解：每个班在第一轮都要打8场比赛，每队胜1场得3分，负1场得1分，
初一（1）班最高可以得（分，最低可以得（分，
故答案为：24，8；
（2）解：设该班胜了场，则负场，
根据题意得：，
解得：，
答：该班胜了5场．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
21．两个边长分别为a和b的正方形如图1所示，其中未重叠部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角再放一个边长为b的小正方形(如图2)，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为S2．
(1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
(2)若a＋b＝10，ab＝22，求S1＋S2的值；
(3)求图3中阴影部分的面积S3与S1＋S2的数量关系．
【答案】(1)，
(2)S1+S2=34
(3)S3=(S1+S2)．
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=10，ab=23代入进行计算即可；
（3）根据S3=（a2+b2-ab），S1+S2=a2+b2-ab，即可得到阴影部分的面积S3与S1＋S2的数量关系．
【详解】（1）解：由图可得，S1=a2-b2，
S2=a2-a（a-b）-b（a-b）-b（a-b）=2b2-ab；
（2）解：S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，
∵a+b=10，ab=22，
∴S1+S2=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=100-3×22=34；
（3）解：由图可得，S3=a2+b2-b（a+b）-a2=（a2+b2-ab），
∵S1+S2=a2+b2-ab，
∴S3=(S1+S2)．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
22．学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下：
(1)填写表格；
(2)结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由．
【答案】(1)90，90，100；
(2)2班的竞赛成绩更加优秀.
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法分别进行计算，即可得出答案；
（2）从平均数、众数、中位数方面进行分析，即可得出答案．
【详解】（1）（1）八1班的平均数为：（分）
因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是(分)，
因为八2班A级人数所占的比例比较大，所以2班的众数是100分；
故答案为：90，90，100；
（2）解：因为1班、2班的中位数相等，但从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩更加优秀，
所以2班的竞赛成绩更加优秀．
【点睛】本题考查统计问题，涉及统计学相关公式，中位数、平均数和众数等知识，属于中等题型．
23．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
24．小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证：
(2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证；
【解决问题】
(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质得，根据圆周角定理得，再根据同角的余角相等，可得结论；
（2）作直径，连接，由（1）同理得，，再根据同弧所对的圆周角相等，即可证明结论；
（3）连接，由（1）知，，再利用等腰三角形的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为直径
∴
∵
∴
∵是的切线
∴
∴
即
∴；
（2）证明：如图，过点作直径交于点，连接，
∵四边形是的内接四边形
∴，即
∵是的切线
∴
∴
即
∵为直径
∴
∵
∴
即
∴
（3）解：连接，
由（1）知，
是直径，
故答案为
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，将一般情况转化为特殊情形是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．

(1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
(3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】(1)的解析式为；的解析式为；
(2)①；②的解析式为，图象见解析；
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式；
（2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；
②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象；
（3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果．
【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：

（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
26．（1）问题探究：如图1，，均为等边三角形，连接、，求证：．
（2）类比延伸：如图2，在和中，，，连接、，求证：．
（3）拓展迁移：如图3，在四边形中，，且，，若将线段绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据“边角边”证明，问题得证；
（2）根据含角的直角三角形的性质等知识得到，进而证明，即可证明；
（3）连接，根据为等腰直角三角形得到,，根据绕点D按逆时针方向旋转得到，得到,，进而证明，即可求出．
【详解】解：（1）∵，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图③，连接，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
∴,，
∵绕点D按逆时针方向旋转得到，
∴为等腰直角三角形，，
∴,，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质等知识，理解特殊三角形的性质，根据题意证明三角形全等或相似是解题关键．
班级
平均数
众数
中位数
八年级1班
______分
90分
______分
八年级2班
92分
______分
90分