2024湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下学期期中联考试题数学含解析

这是一份2024湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二下学期期中联考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)在x=x0处的导数为6，则limΔx→0f(x0)−f(x0+Δx)3Δx=( )
A. −2B. 2C. −6D. 6
2.在等差数列an中，Sn是数列an的前n项和，a4+a13=6+a5，则S23=( )
A. 118B. 128C. 138D. 148
3.函数f(x)=csx+xsinx在[0,π]上的最大值为( )
A. 0B. π4C. π2D. π
4.已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=1x+xln(−x)，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A. 2x−y+1=0B. y=1C. 2x−y−1=0D. y=−1
5.式子C2n9−2n+C10−n2n的值为( )
A. 27B. 127C. 5160D. 与n的取值有关
6.2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流.某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约.这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩.已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为( )
A. 240B. 360C. 420D. 540
7.已知Sn为数列an的前n项和，数列an满足：a1=1，(n−1)an−nan−1=1(n≥2)，记不超过x的最大整数为[x]，则i=120241Sn的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.对任意的x∈[1e,+∞)，不等式2ae2ax−ex(2lnx+1)≥0恒成立，则正实数a的最小值为( )
A. eB. 1C. 2 eD. 1 e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有6种
B. 所有的放法共有21种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种
10.已知数列an满足a1=3，3an+1=2an+2，则( )
A. a3=229B. 数列{lg32(an−2)}是等差数列
C. {a2n}的前n项和为65[1−(49)n]+2nD. 数列{an+1+(32)n}的最小项为4
11.已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，g(x)为偶函数，g(x)=g(4−x)，f(x)=1−g′(x)，下列说法正确的是( )
A. 函数g′(x)关于(2,0)对称B. g′(2022)=0
C. f(x)关于点(2,0)对称D. k=12024f(k)=2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(π4)csx−sinx，则f′(π4)=__________.
13.已知函数f(x)=e3−x−tx(t∈R)在(0,+∞)内单调递增，则t的最小值为__________.
14.计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.若将一个十进制数n(n∈N*)表示为n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak×20，其中a0=1，ai∈{0,1}(i=1,2,3,⋯,k)则其二进制为(a0a1a2⋯ak)2(k∈N)，例如：自然数1在二进制中就表示为(1)2，2表示为(10)2，3表示为(11)2，4表示为(100)2，7表示为(111)2.记f(n)为a0，a1，a2，⋯，ak中0的个数，如f(2)=1，f(4)=2，f(7)=0，则f(127)=__________;从1到127这些自然数的二进制表示中f(n)=2的自然数有__________个.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(x2+ax)n的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为−1.
(1)求正整数数n和实数a的值;
(2)求(x2+ax)n的展开式中x2项的系数.
16.(本小题15分)
已知数列an是单调递增的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=b1=1，b2+1是a1和a4的等差中项，b2是a1和a5的等比中项.
(1)求数列an，{bn}的通项公式;
(2)若Sn为数列anbn的前n项和，求证：1≤Sn<3.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=aex−x+2a2(e为自然常数，e≈2.71828).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+2.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3+ax2−a2x(a>0).
(1)当a=1时，以点T(1,f(1))为切点作曲线f(x)的切线，求切线方程;
(2)证明：函数f(x)有3个零点;
(3)若f(x)在区间(a−5,3−a)上有最小值，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
如果一个正项数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都大于同一个常数q，那么这个数列就叫做类等比数列，这个常数q叫做类等比数列的类比.
(1)若数列an是一个类等比数列，且a1=1，q=13，证明an>13n;
(2)对于一个正项数列{an}，且首项a1=1，满足anean+1=ean−1;
①证明：数列{an}为递减数列;
②证明：an>12n.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题．
根据题意，由极限的性质可得limΔx→0f(x0)−f(x0+Δx)3Δx=−13×limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f(x)在x=x0处的导数为6，
则limΔx→0f(x0)−f(x0+Δx)3Δx
=−13×limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=−13×6=−2.
故选A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质以及求和公式，是基础题.
利用等差数列的性质以及求和公式计算即得.
【解答】
解：由a4+a13=6+a5，又a4+a13=a5+a12，
所以a12=6
由题意得S23=23(a1+a23)2=23a12=23×6=138 .
故选C.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.
先求导，利用导数得出单调性，可得函数的最值.
【解答】
解：f′(x)=xcsx，
当x∈[0,π2]时，f′(x)>0，f(x)在[0,π2]单调递增，
当x∈[π2,π]时，f′(x)<0，f(x)在[π2,π]单调递减，
∴f(x)max=f(π2)=π2.
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于中档题．
因为f(x)为奇函数可求得x>0时的解析式，由f′1=0，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程.
【解答】
解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
当x<0时，f(x)=1x+xln(−x)，
设x>0，则f(−x)=−1x−xlnx，
所以x>0，f(x)=−f(−x)=1x+xlnx，
所以x>0，f′(x)=−1x2+lnx+1
所以f′1=−1+1=0，
又f(1)=1，
则切线为y=1，
故选B.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查组合与组合数公式，属于基础题.
根据组合数性质求出n的取值范围，进而得到n，再根据组合数公式求解即可.
【解答】解：由0≤9−2n≤2n0≤2n≤10−n，94≤n≤920≤n≤103，
∴94≤n≤103，又n∈N*，∴n=3，
∴原式=C63+C76=27.
故选A
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的综合应用，是中档题.
分三个景点选择的人数之比为1:2:3、1:1:4和2:2:2三种情况，利用排列与组合的综合应用可得结果.
【解答】
解：若三个景点选择的人数之比为1:2:3，则有C61C52A33=360种选法；
若三个景点选择的人数之比为1:1:4，则有C61C51A22⋅A33=90种选法；
若三个景点选择的人数之比为2:2:2，则有C62C42A33⋅A33=90种选法，
故共有360+90+90=540种不同的选法.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了根据数列的递推公式求通项公式以及裂项相消法求和，是中档题.
先由递推关系得{an+1n}为常数列，可得an=2n−1，Sn=n2，由放缩法和裂项相消可得i=120241Sn的取值范围，可得结果.
【解答】解：当n≥2时，(n−1)an−nan−1=1，
∴ann−an−1n−1=1(n−1)n=1n−1−1n，
∴an+1n=an−1+1n−1，则{an+1n}为常数列，
∴an+1n=a1+11=2，
∴an=2n−1，Sn=n(1+2n−1)2=n2，
又n≥2时，1Sn=1n2<1n−1−1n，
∴i=120241Sn<1+(1−12)+(12−13)+⋯+(12023−12024)=2−12024<2，
又易得i=120241Sn>1，
∴[i=120241Sn]=1，
故选D.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，利用导数研究闭区间上函数的最值，考查运算化简的能力和化归与转化思想，属于较难题.
由题意得2axe2ax≥ex2lnex2，令f(x)=xex，研究其单调性，进而问题转化为a≥1+2lnx2x恒成立问题，通过求导可得结论.
【解答】
解：∵2ae2ax−ex(2lnx+1)≥0恒成立，∴2axe2ax−ex2lnex2≥0恒成立，
∴2axe2ax≥ex2lnex2恒成立，
令f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
由2axe2ax−1−x2lnex2≥0，即f(2ax)≥f(lnex2)，
∵f(x)在(−1,+∞)为增函数，且lnex2≥−1，
∴2ax≥lnex2=(2lnx+1)恒成立，
∴a≥1+2lnx2x恒成立，令g(x)=1+2lnx2x，
g′x=2−4lnx4x2=1−2lnx2x2，
当x∈1e, e时,g′x>0,x∈ e,+∞时,g′x<0,
∴g(x)在[1e, e)单调递增，( e,+∞)单调递减，
∴g(x)max=g( e)=1 e，所以a≥1 e.
故选D.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查排列组合与计数原理的综合应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
A选项，3个球全放3个盒中，没有空盒则全排列即可求得；
B选项，有3个球，每个球有3种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完；
C选项，恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球；
D选项，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子故只有1号盒子放2号球，2号盒子放3号球，3号盒子放1号球，或1号盒子放3号球，2号盒子放1号球，3号盒子放2号球这两种方法
【解答】解：A选项，没有空盒子的方法：3个球全放3个盒中，没有空盒则全排列共A33=6种，故A正确；
B选项，所有的放法，有3个球，每个球有3种放法共33=27种，故B错误；
C选项，恰有一个空盒子，说明另外2个盒子都有球，而球共3个，必然有一个盒子中放了两个球，
先将3盒中选一个作为空盒，再将3球中选出两球绑在一起，再排列共C31C32A22=18种，故C错误；
D选项，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子故只有1号盒子放2号球，2号盒子放3号球，3号盒子放1号球，或1号盒子放3号球，2号盒子放1号球，3号盒子放2号球这两种方法，故D正确.
故选AD.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】本题考查等比数列和等差数列的判定或证明、数列的通项公式，属于中档题.
根据递推关系结合每个选项依次求解，即可求出结果.
【解答】
解：由3an+1=2an+2，得an+1−2=23(an−2)，又a1−2=1，
所以{an−2}是首项为1，公比为23的等比数列，可得an−2=(23)n−1，即an=(23)n−1+2(n∈N*)，
从而a3=229，A正确;
lg32an−2=lg32(23)n−1=1−n，因为 lg32 (an−2)−lg32 (an−1−2)=−1，
所以 lg32 (an−2)是等差数列，B正确；
因为an=(23)n−1+2，所以a2n=(23)2n−1+2，从而{a2n}的前n项和为231−49n1−49+2n=651−49n+2n，C正确；
an+1+(32)n=(23)n+(32)n+2≥2 23n×32n+2=4，
当且仅当(23)n=(32)n即n=0时等号成立，D错误.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性、奇偶性以及对称性，属于中档题.
求导，然后根据函数的周期性、奇偶性以及对称性进行求解即可。
【解答】解：∵g(x)关于x=2对称，∴g(x)=g(4−x)则g′(x)=−g′(4−x)，∴g′(x)关于(2,0)对称∴A正确
∵g(x)为偶函数，g′(x)为奇函数，
由g′(x)=−g′(4−x)可得g′(x)=g′(x−4)，∴g′(x)周期为4，
∴g′(2022)=g′(4×505+2)=g′(2)=0，∴B正确；
∵g′(x)=1−f(x)，∴g′(4−x)=1−f(4−x)，则1−f(x)=−[1−f(4−x)]，
∴f(4−x)+f(x)=2f(x)关于(2,1)对称，∴C错误；
∵f(x)=1−g′(x)，g′(x)周期为4.∴f(x)的周期也为4，f(1)=1−g′(1)，f(2)=1−g′(2)=1
f(3)=1−g′(3)=1+g′(1)，f(4)=f(0)=1−g′(0)=1
∴i=12024f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=2024∴D正确。
12.【答案】 22−1
【解析】【分析】本题考查导数的运算，属基础题.
先算出导函数f′(x)=−2f′(π4)sinx−csx，再将x=π4代入求解即可.
【解答】
解：f(x)=2f′π4csx−sinx，
∴f′(x) =−2f′(π4)sinx−csx，
令x=π4，则f′(π4)=− 2f′(π4)− 22，
∴f′(π4)= 22−1.
13.【答案】4e
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求最值，属于一般题.
求出函数f(x)的导数，利用给定的单调性建立恒成立的不等式，再分离参数构造函数并求出最小值即得.
【解答】
解：f′(x)=−e3−x+tx2，
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
∴−e3−x+tx2≥0，即t≥(x2⋅e3−x)max，
令g(x)=x2⋅e3−x，∴g′(x)=(2x−x2)e3−x，
x∈0,2时,g′x>0,x∈2,+∞时,g′x<0,
∴g(x)在(0,2)上单调递增，在[2+∞)上单调递减，
∴g(x)max=g(2)=4e，所以t≥4e，∴tmin=4e.
14.【答案】0 ； 35
【解析】【分析】
本题考查了组合数公式，考查了二进制，是中档题.
由二进制表示可求f(127)，由当k=2时，有1个，当k=3时，有C32个，当k=4时，有C42个，当k=5时，有C52个，当k=6时，有C62个，可求得答案
【解答】解：因为127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，所以f(127)=0;
当k=2时，有1个，当k=3时，有C32个，当k=4时，有C42个，
当k=5时，有C52个，当k=6时，有C62个，则一共1+C32+C42+C52+C62=C33+C32+C42+C52+C62=C73=35个，
所以从1到127这些自然数的二进制表示中f(n)=2的自然数有35个.
15.【答案】解：(1)由条件可知2n=128(a+1)n=−1⇒n=7a=−2；
(2)(x2+ax)n=(x2−2x)7=(x2−2x−1)7，
∵(x2−2x−1)7展开式的通项为：Tk+1=C7k(x2)7−k(−2x−1)k=C7k(−2)kx14−3k(k=0,1,⋯,7)
令14−3k=2，即k=4时，x2项的系数为C74(−2)4=560，
∴x2项的系数为560.
【解析】本题考查二项展开式的通项、二项式定理，属于中档题.
(1)由条件得2n=128(a+1)n=−1，即可求解；
(2)利用展开式的通项，即可求解.
16.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由已知可得a1+a4=2(b2+1)a1⋅a5=b22⇒2+3d=2(q+1)1+4d=q2，
消去q得：9d2−16d−4=0，解得d=2或d=−29，
因为等差数列{an}单调递增，所以d>0
于是d=2，q=3⇒an=2n−1，bn=3n−1.
(2)由anbn=2n−13n−1得：
Sn=1+331+532+⋯+2n−33n−2+2n−13n−1，⋯⋯⋯①
13Sn=13+332+⋯+2n−33n−1+2n−13n，⋯⋯⋯②
①-②得：23Sn=1+2(13+132+⋯+13n−1)−2n−13n
=1+2⋅131−(13)n−11−13−2n−13n=2−2(n+1)3n.
于是Sn=3−n+13n−1(n∈N+)<3，
又anbn=2n−13n−1>0⇒{Sn}单调递增⇒Sn≥S1=1.
综上说述：1≤Sn<3.
【解析】本题考查等差数列等比数列的通项公式，以及错位相减法求通项公式，属于一般题，
(1)根据题意设出公差以及公比，求出d以及q，利用通项公式即可；
(2)利用错位相减法求得Sn=3−n+13n−1，显然小于3，根据单调性得大于等于1，即可.
17.【答案】解：(1)因为f(x)=aex−x+2a2，定义域为R，所以f′(x)=aex−1，
①当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)=aex−1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
②当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，
当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−ln a,+∞)上单调递增，
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=ae−lna+lna+2a2=1+2a2+lna，
要证f(x)>2lna+2，即证1+2a2+lna>2lna+2，即证2a2−1−lna>0恒成立，
令g(a)=2a2−1−lna(a>0)，则g′(a)=4a−1a=4a2−1a，
令g′(a)<0，则00，则a>12，
所以g(a)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g(12)=ln2−12=ln2−ln e=ln 2 e>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+2恒成立，证毕.
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数解(证明)不等式，属于难题.
(1)求导后，分a≤0和a>0进行讨论即可得答案；
(2)要证f(x)>2lna+2，即证1+2a2+lna>2lna+2，即证2a2−1−lna>0恒成立，
令g(a)=2a2−1−lna(a>0)，利用导数求得g(a)min即可.
18.【答案】解：
(1)当a=1时，f′(x)=3x2+2x−1，f(1)=1，f′(1)=4，
所以切线方程为y−1=4(x−1)，即y=4x−3;
(2)f′(x)=3x2+2ax−a2=(x+a)(3x−a)(a>0⇒−a由f′(x)>0⇒x<−a或x>a3由f′(x)<0⇒−a则函数f(x)在(−∞,−a)上单调递增，在(−a,a3)上单调递减，在(a3,+∞)上单调递增;
由函数f(x)的单调性可知：f(x)极大值=f(−a)=a3>0，f(x)极小值=f(a3)=−527a3<0
于是：由零点存在定理函数f(x)有3个零点.
(3)由(2)可知f(x)的极小值点为a3，极大值点为−a，且f(a3)=a327+a39−a33=−5a327，
∴当f(x)=−5a327⇒x=a3或x=−5a3，∵f(x)在区间(a−5,3−a)上有最小值，
∴最小值为函数的极小值，则a−5<3−a−5a3≤a−5a3，解得158≤a<94，
则a的取值范围为[158,94).
【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点，属于中档题.
(1)对函数求导，代值可得斜率，求出函数值，得出切线方程；
(2)对函数求导，讨论函数的单调性，得出单调区间，根据零点存在性定理求解；
(3)由(2)得到f(x)极值点，联立方程组，解得a的范围.
19.【答案】(1)解：∵数列an是一个类等比数列，且a1=1，q=13，∴anan−1>13n≥2，
∴an=anan−1⋅an−1an−2⋯a2a1⋅a1>13n−1⋅1>13n.
(2)证明：①∵anean+1=ean−1，
∴ean+1=ean−1an，则ean+1−ean=ean−1an−ean，
则ean+1−ean=ean−1−aneanan，
令fx=ex−1−xexx>0，
则f′x=−xex<0，∴f(x)在0,+∞上单调递减，则fx令x=an，则ean+1−ean=ean−1an−ean<0，
∴an+1②令gx=ex−1−xe12xx>0，
g′x=e12xe12x−12x−1，
令hx=ex−x−1，
则h′x=ex−1，
当x<0时，h′x<0时，h(x)为减函数，
当x>0时，h′x>0时，h(x)为增函数，
hxmin=h0=0，则ex≥x+1，
∴e12x−12x−1≥0，
∴g′x≥0，g(x)在定义域上单调递增，gx>g0=0.
令x=an，则ean−1−ane12an>0⇒ean−1−ane12anan>0⇒ean−1an>e12an
又∵ean+1=ean−1an，∴ean+1>e12an⇒an+1an>12.
∴an=anan−1⋅an−1an−2⋯a2a1⋅a1>12n−1⋅1>12n
【解析】本题主要考查了数列的新定义，数列的单调性，利用导数确定函数的最值，属于较难题.
(1)由题意得出anan−1>13n≥2，即可进行证明；
(2)①由anean+1=ean−1，得出ean+1−ean=ean−1−aneanan，令fx=ex−1−xexx>0，利用导数得出fx②令gx=ex−1−xe12xx>0，g′x=e12xe12x−12x−1，利用导数先证得ex≥x+1，则gx>g0=0.令x=an，即可进行证明.