江苏省南京市玄武区南京玄武外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1. 在下列图形中，与是内错角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的知识点为内错角，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
【详解】解：A、与是内错角，故此选项符合题意；
B、与是同旁内角，故此选项不合题意；
C、与是同位角，故此选项不合题意；
D、与不是内错角，此选项不合题意；
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是同底数幂的乘除法运算，幂的乘方的运算，根据相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：．，符合题意；
．，不合题意；
．，不合题意；
．，不合题意；
故选：．
3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案．
【详解】解：A、，属于整式乘法；
B、，属于因式分解；
C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解；
D、，等式左边不是多项式，不属于因式分解；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键．
根据平方差公式，依次进行判断即可．
【详解】解：A． ，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
B． ，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
C． ，不能用平方差公式计算，故选项不符合题意；
D．，能用平方差公式计算，故选项符合题意．
故选：D．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 如果a2=b2，那么a=b
B. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C. 相等的两个角是对顶角
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、如果a2=b2，那么a=±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
6. 下列图中，作边上高正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可．
【详解】解：作边上高，是从顶点出发，引对边的垂线段，据此，符合题意的是选项B；
故选B．
7. 若，则代数式的值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．原式利用平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
详解】解：
∵，
∴，，
∴原式
．
故选：A．
8. 小明、小红在微信里互相给对方发红包，小明先给小红发2元，小红给小明发回4元，小明再给小红发6元，小红又给小明发回8元……，按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明第9次小红发红包后，小红突然不发回了，若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（ ）
A. 赚了18元B. 赚了16元C. 亏了18元D. 亏了16元
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查数字规律探究．根据一个回合小明赚2元，算出小明第9次前赚的钱减去第9次发的红包求出小明的收支情况，即可得出小红的收支情况．
详解】解：由题意，可得，一个回合小明赚2元，8次赚元，
小明第1次发2元，
小明第2次发元，
小明第3次发元，
，
小明第9次发元，
元，
∴小明亏了元，
∴小红赚了元；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9. 计算：______；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂和乘方运算．根据负整数指数幂和乘方运算法则计算即可求解．
【详解】解：；
．
故答案为：，．
10. 计算(a－b)2－(a＋b)2的结果是_____．
【答案】－4ab
【解析】
【分析】利用平方差公式因式分解，合并同类项，再计算单项式乘法即可．
【详解】解：(a－b)2－(a＋b)2，
=，
=，
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式因式分解，合并同类项，单项式乘法，掌握多项式因式分解，合并同类项，单项式乘法是解题关键．
11. 光的速度非常快，传播1米仅需要0.000000033秒，用科学记数法表示0.000000033为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：用科学记数法表示0.000000033为．
故答案为：．
12. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和等于___________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和．根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数， 再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和，掌握内角和公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为，
∴该正多边形的内角和等于．
故答案为：．
13. 若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法．逆用同底数幂的除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14. 分解因式的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式x，再利用平方差进行分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键．
15. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，
可简说成“内错角相等，两直线平行”．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
16. 如图，在中，，沿翻折使得A与B重合，若，则______．
【答案】58
【解析】
【分析】本题考查了折叠问题和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题．
求出的度数，再根据翻折求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
由翻折可得，．
故答案为：58．
17. 如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1＝20°，则∠2＝______．
【答案】56°
【解析】
【分析】过点B作BH //l1，交DE于点H，根据正多边形的性质可得，从而得到∠BAG=52°，再由BH //l1，可得∠ABH=∠BAG=52°，然后根据l1∥l2，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BH //l1，交DE于点H，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
∵∠1＝20°，
∴∠BAG=180°-108°-20°=52°，
∵BH //l1，
∴∠ABH=∠BAG=52°，
∴∠CBH=56°，
∵l1//l2，
∴BH //l2，
∴∠2=∠CBH=56°．
故答案为：56°
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，平行线的性质和判定，熟练掌握正多边形的内角和定理，平行线的性质和判定定理是解题的关键．
18. 如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设，则，由可得，，设，则，于是，，利用列出方程，求得，则．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，
，，
设，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
．
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负整指数幂，多项式乘多项式的法则，掌握相关的法则是解题的关键．
（1）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再算除法，最后算加减法，据此求解即可；
（2）把转化为，根据多项式乘多项式的法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先利用多项式的乘法运算法则去括号，整理，再利用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先计算完全平方公式，平方差公式，再合并同类项，化简后代入求值．
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，正确的计算，是解题的关键．
22. 画图并填空：
如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点．
（1）请画出；
（2）连接，，则这两条线段的关系是 ；
（3）利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高；
（4）线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）平行且相等
（3）见解析 （4）20
【解析】
【分析】（1）利用点C和的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点，即可；
（2）根据平移的性质进行判断；
（3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义作图；
（4）根据正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
与的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等
【小问3详解】
如图，、为所作；
【小问4详解】
线段在平移过程中扫过区域的面积．
故答案为：20
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，还考查了平移的性质、正方形的面积和直角三角形的面积等知识．
23. 已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①；②；③；④．请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，分别写出满足下列条件的命题．
（1）写出一个真命题，并写出证明；
（2）写出一个假命题，并举出反例．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．
（1）利用平行线的性质判断即可；
（2）写出假命题：如果②；③；那么④．由平行公理即可证明．
【小问1详解】
解：如果①；②；那么③；
证明：∵；∴，
∵，
∴，
∴；
如果①；③；那么②；
证明：∵；
∴，
∵，
∴，
∴；
如果②；③；那么①；
证明：∵，，
∴，
∴；
；
【小问2详解】
解：假命题：如果②；③；那么④．
证明：∵，，
∴，
∴；
∴是假命题．
24. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案1：第一次提价的百分率为p，第二次提价的百分率为q．
方案2：第一、二次提价的百分率均为．
其中p、q是不相等的正数．设产品的原单价为a元时，上述两种方案使该产品的单价变为：
（1）方案1：______；方案2：______；
（2）两种方案中哪种提价多？请说明理由．
【答案】（1），
（2）方案2提价最多
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，得出每种方案提价后的单价．利用作差法比较大小．
（1）根据各方案中的提价百分率，即可提出提价后的单价；
（2）用作差法即可进行比较．
【小问1详解】
解：方案1：提价后的单价：，
方案2：提价后的单价：，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：
，
∵，
∴，则，
∴，
∴提价最多的是方案2．
25. 如图，已知AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，GI、HI分别平分∠BGH、∠GHD．
（1）求证GI⊥HI．
（2）请用文字概括（1）所证明的命题： ．

【答案】（1）见解析；（2）两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直
【解析】
【分析】利用角平分线、平行线的性质及三角形的内角和定理，先求出∠I的度数，再说明两直线的关系．
【详解】证明：（1）∵ABCD，
∴∠BGH+∠GHD＝180°．
∵∠HGI＝∠HGB，∠GHI＝∠GHD，
∴∠HGI+∠GHI＝∠HGB+∠GHD
＝（∠HGB+∠GHD）
＝90°．
∵∠HGI+∠KHI+∠I＝180°，
∴∠I＝90°．
∴GIHI．
（2）文字可概况为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，同旁内角的角平分线互相垂直．
26
（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积．
（2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积．
（3）如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为6，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程）
【答案】（1）（2）（3）36
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式加减的运算：
（1）利用面积的和差计算：的面积等于四边形的面积减去三角形的面积，而四边形的面积等于梯形的面积与三角形的面积和，进行求解即可；
（2）与（1）的方法一样求解；
（3）连接，利用（1）、（2）的结论求出的面积和的面积，然后把它们相加即可．
【详解】解：（1）的面积；
（2）的面积．
（3）连接，如图3，由（1）可得的面积，由（2）可得：三角形的面积为，
∴的面积；
故答案为：36．
27. 如图，的内角的角平分线，与外角，的角平分线相交于点D，的角平分线交与点E，．
（1）求证；
（2）是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）写出所有与互余的角______．
【答案】（1）见解析 （2）不是定值，理由见解析
（3），，，
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，余角的定义，掌握相关的知识是解题的关键．
（1）根据邻补角的性质，三角形外角的性质和角平分线的定义求解即可；
（2）设，根据角平分线定义和平行线的性质求出，再求出后判定即可；
（3）根据（1）和（2）的结论可以得到，再找出和相等的角即可．
【小问1详解】
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：；
【小问2详解】
设，
∵，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
即
∴不是定值，会随着的变化而变化；
【小问3详解】
由（2）得，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
与互余的角有：，，，．
故答案为：，，，．