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上海市文来中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份上海市文来中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含上海市文来中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、上海市文来中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
满分：150分 完卷时间：120分钟
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线的一个方向向量为，
则，故.
故答案为：.
2. 已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
3. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．
【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r
当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，
∴它的系数是C5322＝40
故答案为40．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.
4. 函数的导数是______
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
5. 双曲线的两条渐近线的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，解得，
根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.
6. 已知，若，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由组合数和排列数的计算公式求解.
【详解】，则.
故答案为：
7. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．
【答案】12
【解析】
【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.
【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，
剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，
根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.
故答案为：12.
8. _____________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.
【详解】设函数，则；
.
故答案为：.
9. 设．若直线与曲线仅有一个公共点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得.
故答案为：.
10. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．
【答案】.
【解析】
【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，联立方程，再次里由韦达定理求得，从而可求出，即可得解.
【详解】解：由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
因为点，的横坐标恰好是方程的根，
所以，
联立，消得，
则，
所以，所以，
经检验，符合题意，
所以直线的方程为.
故答案为：.
11. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．则概率为；
考点：相互独立事件及互斥事件概率算法．
12. 已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
分析】首先利用不等式求得，通过减少变量得，再利用导数求出其值域即可.
【详解】由题意得，
由得,得,所以,
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
13. 若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.
【详解】直线与直线垂直，
则，解得，
故选：B.
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，
故选：A．
15. 函数（ ）
A. 严格增函数
B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数
【答案】D
【解析】
【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【详解】解：已知，，则，
令，即，解得，
当时，，所以在上是严格减函数，
当时，，所以在上是严格增函数，
故选：D.
【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
16. 已知函数，其导函数为，有以下两个命题：
①若为偶函数，则为奇函数；
②若为周期函数，则也为周期函数．
那么（ ）．
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.
【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题；
对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题.
故选：D
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；
（2）等体积法求解点到平面的距离.
【小问1详解】
因为四棱柱为正四棱柱，
所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
因为平面ABCD，所以⊥BD，
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，
因为正方形的边长为，，
所以，，
由三线合一可得：⊥BD，且，
由勾股定理得：，
所以，
故，
又，平面
故，
由，
故点A到平面的距离为.
18. 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
（1）事件A，B，C只发生两个的概率；
（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案；
（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可．
【详解】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＋＋＝，
∴事件A，B，C只发生两个的概率为．
（2）记“事件A，B，C至多发生两个”A2，
则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，
故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝．
∴事件A，B，C至多发生两个的概率为．
19. 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）19683
（2）118098 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解；
（2）求导得，令即可求解；
（3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
在中，令，可得，
.
【小问2详解】
令，
从而，
同样在上式中令，可得.
【小问3详解】
的展开式通项为，
从而的展开式中系数绝对值通项为，
设第项的系数绝对值最大，
则有，即，
也就是，解得，经检验符合题意，
所以此时，对应的项为.
20. 已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D.
（1）若E是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若，，求的面积；
（3）判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
【答案】（1）
（2）
（3）以BD为直径的圆与直线PF相切，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，然后利用列方程得到，再结合，解方程得到即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据得到椭圆方程，根据得到直线AP的方程为，联立直线和椭圆方程得到点坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；
（3）设，得到直线AP的方程为，跟直线的方程联立得到，BD中点，然后根据点到直线的距离和半径的关系判断以为直径的圆与直线的位置关系即可.
【小问1详解】
由题意，，，，
由题意，，，，故，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当时，椭圆方程为，则，，
由对称性，不妨设点P在x轴上方，则直线AP的方程为，代入椭圆方程，得
，解得（舍去），，所以，
所以.
【小问3详解】
设，则，
直线AP的方程为，
令则，所以，BD中点，
当直线PF的斜率不存在时，方程为；
当直线PF的斜率不存在时，方程为即，
经检验满足，故直线PF方程为，
点M到直线PF的距离，
所以以BD为直径的圆与直线PF相切.
【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）只有1个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
（3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.
【小问1详解】
解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
【小问3详解】
解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.极小值
↗
0
0
↗
极大值
极小值
↗
满分：150分 完卷时间：120分钟
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线的一个方向向量为，
则，故.
故答案为：.
2. 已知事件A与事件B相互独立，如果，，那么__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式计算即可.
【详解】解：因为事件A与事件B相互独立，，
则，
所以，
故答案为：
3. 在的展开式中，的系数为___.（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于2，得出式子中的系数的表示式，得到结果．
【详解】∵（2x+1）5的通项式式是C5r（2x）5﹣r＝∁5r25﹣rx5﹣r
当5﹣r＝2时，即r＝3时，得到含有x2的项，
∴它的系数是C5322＝40
故答案为40．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项.
4. 函数的导数是______
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数求导法则进行求导即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
5. 双曲线的两条渐近线的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，
设直线的倾斜角为，则，解得，
根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.
6. 已知，若，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由组合数和排列数的计算公式求解.
【详解】，则.
故答案为：
7. 今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．
【答案】12
【解析】
【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.
【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，
剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，
根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.
故答案为：12.
8. _____________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.
【详解】设函数，则；
.
故答案为：.
9. 设．若直线与曲线仅有一个公共点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由题意可得，解得.
故答案为：.
10. 已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为______．
【答案】.
【解析】
【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，联立方程，再次里由韦达定理求得，从而可求出，即可得解.
【详解】解：由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
因为点，的横坐标恰好是方程的根，
所以，
联立，消得，
则，
所以，所以，
经检验，符合题意，
所以直线的方程为.
故答案为：.
11. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．则概率为；
考点：相互独立事件及互斥事件概率算法．
12. 已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
分析】首先利用不等式求得，通过减少变量得，再利用导数求出其值域即可.
【详解】由题意得，
由得,得,所以,
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）
13. 若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.
【详解】直线与直线垂直，
则，解得，
故选：B.
14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球
C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．
【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
故选项A中事件互斥不对立，A正确，
选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，
选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，
选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，
故选：A．
15. 函数（ ）
A. 严格增函数
B. 在上是严格增函数，在上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在上是严格减函数，在上是严格增函数
【答案】D
【解析】
【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【详解】解：已知，，则，
令，即，解得，
当时，，所以在上是严格减函数，
当时，，所以在上是严格增函数，
故选：D.
【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
16. 已知函数，其导函数为，有以下两个命题：
①若为偶函数，则为奇函数；
②若为周期函数，则也为周期函数．
那么（ ）．
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解.
【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题；
对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题.
故选：D
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；
（2）等体积法求解点到平面的距离.
【小问1详解】
因为四棱柱为正四棱柱，
所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，
因为平面ABCD，所以⊥BD，
因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，
因为正方形的边长为，，
所以，，
由三线合一可得：⊥BD，且，
由勾股定理得：，
所以，
故，
又，平面
故，
由，
故点A到平面的距离为.
18. 已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
（1）事件A，B，C只发生两个的概率；
（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案；
（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可．
【详解】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＋＋＝，
∴事件A，B，C只发生两个的概率为．
（2）记“事件A，B，C至多发生两个”A2，
则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，
故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝．
∴事件A，B，C至多发生两个的概率为．
19. 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）19683
（2）118098 （3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解；
（2）求导得，令即可求解；
（3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
在中，令，可得，
.
【小问2详解】
令，
从而，
同样在上式中令，可得.
【小问3详解】
的展开式通项为，
从而的展开式中系数绝对值通项为，
设第项的系数绝对值最大，
则有，即，
也就是，解得，经检验符合题意，
所以此时，对应的项为.
20. 已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D.
（1）若E是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若，，求的面积；
（3）判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
【答案】（1）
（2）
（3）以BD为直径的圆与直线PF相切，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，然后利用列方程得到，再结合，解方程得到即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据得到椭圆方程，根据得到直线AP的方程为，联立直线和椭圆方程得到点坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；
（3）设，得到直线AP的方程为，跟直线的方程联立得到，BD中点，然后根据点到直线的距离和半径的关系判断以为直径的圆与直线的位置关系即可.
【小问1详解】
由题意，，，，
由题意，，，，故，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当时，椭圆方程为，则，，
由对称性，不妨设点P在x轴上方，则直线AP的方程为，代入椭圆方程，得
，解得（舍去），，所以，
所以.
【小问3详解】
设，则，
直线AP的方程为，
令则，所以，BD中点，
当直线PF的斜率不存在时，方程为；
当直线PF的斜率不存在时，方程为即，
经检验满足，故直线PF方程为，
点M到直线PF的距离，
所以以BD为直径的圆与直线PF相切.
【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）只有1个，理由见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
（3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.
【小问1详解】
解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
【小问3详解】
解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.极小值
↗
0
0
↗
极大值
极小值
↗
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