河北省邢台市部分高中2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附答案）

这是一份河北省邢台市部分高中2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列集合关系不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．B．C．或1D．或1
4．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期B．的图像关于点中心对称
C．的图像关于直线对称D．在区间上单调递增
7．已知实数，满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的是（ ）
A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和2
10．若关于的不等式在上恒成立，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
11．把底面为椭圆且母线与底面均垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴，短轴，，为下底面椭圆的左、右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，为线段上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则（ ）
A．当平面时，为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的射影，且，与下底面所成角分别为，，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则________．
13．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________．
14．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
16．（15分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
17．（15分）
“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，记表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．
18．（17分）
将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为．记，，过点的直线与交于不同的两点，，直线，与的另一个交点分别为，．
（1）求的方程；
（2）设直线，的倾斜角分别为，．当时．
（i）求的值；
（ii）若有最大值，求的取值范围．
19．（17分）
在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为）．
则．
（1）用洛必达法则求；
（2）函数（，），判断并说明的零点个数；
（3）已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
参考答案及解析
一、选择题
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．B
二、选择题
9．BCD10．AB11．ACD
三、填空题
12．313．100014．
四、解答题
15．（1）证明：取的中点，连接，，
则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
过点作直线的垂线交于点，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，，．
在等腰梯形中，，，
所以，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
所以令，则，，
所以．
设平面的法向量为，则
取．
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
16．（1）解：由，得当时，，
两式相减得，当时，，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以．
（2）证明：由（1）知．
当时，；当时，，
所以，所以，
所以当时，．
综上，．
17．解：（1）由题意知的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
．
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则．
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，
则
，
由，，，得，
则，
又，所以．
设，所以，，由二次函数可知当时取得最大值，
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为．
18．解：（1）设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为，
根据题意可得即
代入方程，可得，整理得，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）（i）设直线的方程为，，，，，
联立方程组整理得，
则，且，，
可得，
所以，
可得，所以，
同理可得．
又因为，，三点共线，可得，
即，
所以，
所以．
（ii）设直线的方程为，其中，
由（i）知，直线的斜率为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
联立方程组整理得，
则，解得．
若有最大值，则，
又，所以的取值范围为．
19．解：（1）．
（2），，
所以，．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
当时，，所以仅在时存在1个零点．
（3），所以，，…，
将各式相乘得，
两侧同时运算极限，所以，
即，
令，原式可化为，又，
由（1）得，由题意函数的定义域为，
综上，
0
1
2
3