江西省赣州市十八县市二十四校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（Word版附答案）

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试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．考查范围：必修第一册占30%，必修第二册第一章占35%，必修第二册第二章1～5节占35%．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，结合集合运算法则求即可.
【详解】解不等式，可得或，
所以或，
又，
则或．
故选：B．
2. 角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.
【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于y轴对称，
所以．
故选：D．
3. 随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（ ）
A. 110B. 115C. 120D. 125
【答案】C
【解析】
【分析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，根据分层抽样的性质列方程求解.
【详解】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则，
解得．
所以在老年人中发放的调查问卷份数是.
故选：C．
4. 已知向量，向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题意结合数量积的坐标运算求得，进而可求模长.
【详解】设，则，解得，
即，所以．
故选：A．
5. 春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格（元/盒）与时间t（天）的关系：一位顾客在这两周里在该水果店购买了若干盒草莓，总共消费212元，其中在后6天买了4盒，则前8天一共买了（ ）
A. 7盒B. 6盒C. 5盒D. 4盒
【答案】B
【解析】
【分析】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，列式得，结合m，n均为非负整数，求得.
【详解】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则，整理得，
因为m，n均为非负整数，所以是11的整数倍，当时，，得．
故选：B．
6. 函数图象经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件列方程求，结合正切函数的性质求的单调递增区间.
【详解】依题意，，且，
即且，
因为，所以，
则，
所以，化简得，
因为，所以时，故，
所以．
由，得，
所以的单调递增区间是．
故选：D．
7. 已知是上的奇函数，满足．若，则（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的性质，分别求得和的值，即可求解.
【详解】由函数是上的奇函数，可得，
又由及，
可得，，则．
故选：C．
8. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出，然后作差计算出，则可得到答案.
【详解】，
则，
因，所以，
所以；
，
因为，所以，
所以，
所以．
故选:D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量与的夹角为，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量是D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量线性运算的坐标公式求，判断选项A，根据向量垂直的坐标表示判断选项B，根据投影向量公式判断选项C，根据向量夹角公式判断选项D.
【详解】因为，，
相加，得，
所以，代入中，得，选项A正确；
因为，所以，选项B正确；
在上的投影向量是，选项C错误；，选项D正确．
故选：ABD．
10. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由条件利用比差法比较的大小，判断A，由条件推出，结合不等式性质判断B，再结合不等式性质判断CD.
【详解】因为，
所以，所以，选项A错误；
因为，，所以，选项B正确；
由，，得，两边平方，得，选项C错误；
由，两边平方，得，即，选项D正确．
故选：BD．
11. 设，已知在上有且只有6个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 在上有4个最大值点
C. 是图象的一个对称中心D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
详解】由且，可得，
因为在上有且只有6个零点，则，解得，
又因为，所以，选项A正确；
由函数，令，可得，
当时，，所以在上有3个最大值点，选项B错误；
由，即，取，得，
所以是图象的一个对称中心，选项C正确；
由，可得，
所以的单调递增区间是，
当时，得到一个单调递增区间，
因为，所以在上单调递增，选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可.
【详解】原式.
故答案为：.
13. 一组数据：12，8，6，15，12，10，8，17，20，12的分位数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】将这组数据从小到大排列：6，8，8，10，12，12，12，15，17，20，共10个数据，
可得，所以这组数据的80%分位数是．
故答案为：.
14. 如图所示，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，，则_________；若，则当取得最小值时，_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】解法一：由条件结合向量的线性运算可得，再利用数量积定义可求，
取线段AD的中点E，结合向量运算可得，由平面几何知识求的最小值，由此确定.
解法二：建立平面直角坐标系，利用向量的运算求，，再求的最小值即可.
【详解】解法一：
因为为等边三角形，，
所以，，
因为为等腰三角形，，，
所以，所以，，
即，，
取的中点为，
所以,
因为，，，
所以，，
故；
取线段AD的中点E，，
因此当最小时，取得最小值，
过点E作线段BC的垂线，垂足为P，
过点作，则四边形为矩形，
由已知，，
所以，
所以．
解法二：因为为等边三角形，，
所以，，
因为为等腰三角形，，，
取的中点为，
所以,
因为，，，
所以，，
以BD，AC分别为x，y轴建立平面直角坐标系；
故，
故；
而，则，则，
所以点的坐标为，
故，，
故，
可知当时，取得最小值．
故答案：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：
（1）求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字）
（2）若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平均数的定义和方差的计算公式求解；
（2）确定样本空间的样本点个数，再求事件取到的销售额中仅有个“近均值销售额”中所含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解.
【小问1详解】
，
，
所以销售额的平均数可为，方差为．
【小问2详解】
在后5天的销售额中，满足的是，，，
从，，，，中任取个，共有个不同结果：，．
其中，仅含有，，中一个的有6个不同结果．
所以，所求概率为．
16. 已知点在角的终边上，点在角的终边上，．
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合三角函数定义求，由此可得函数解析式；
（2）化简可得，解不等式可得结论.
【小问1详解】
设O为坐标原点，则，所以，
因为α是第二象限角，β是第三象限角，
所以，
，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以化为，
即，
所以，
整理得，
所以不等式的解集为．

17. 已知是夹角为的两个单位向量，与的夹角为．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合数量积的运算律及性质，根据向量夹角余弦公式求，结合夹角范围求，
（2）根据向量共线定理由条件求，根据向量垂直的向量表示列方程求，由此可得结论.
【小问1详解】
因为是夹角为的两个单位向量，
，故，
，故，
，
所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，
所以，存在非零实数k满足，
即，
因为不共线，所以，且，
解得，
由已知，所以，
即，
由（1）知，
所以，得，
所以．
18. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的值；
（2）当时，求的单调区间和最值．
【答案】（1）
（2）在上单调递减，在上单调递增，最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）结合三角函数图象变换法则求出在变换后的解析式，结合条件求出，再求的值；
（2）由正弦函数性质求出函数在上的单调区间，再求其在上的单调区间，并结合单调性求其最值.
【小问1详解】
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移2π个单位长度，
得到，
又，
所以，且，
又，解得，
所以，
所以．
【小问2详解】
先求的单调区间．
由，得，
所以的单调递增区间是；
由，得，
所以的单调递减区间是．
时，的单调递减区间是，
时，的单调递增区间是．
所以当时，在上单调递减，在上单调递增，
因为
所以时，函数的最大值为1，最小值为．
19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：
①数乘运算：；
②加法运算：；
③数量积运算：；
④向量的模：，
对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：
①；
②；
（2）已知线性无关，试判断否线性相关，并说明理由；
（3）证明：对于中的任意两个元素，均有，
【答案】（1）①线性相关，②线性相关
（2）线性无关，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解；
（3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证.
【小问1详解】
对于①，假设与线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，即，
可取，所以线性相关，
对于②，假设线性相关，
则存在不全为零的实数使得，
则，得，
可取，所以线性相关.
【小问2详解】
假设线性相关，
则存在不全为零的实数，
使得，
则，
因为线性无关，
所以，得，矛盾，
所以向量线性无关.
【小问3详解】
设，
则，
所以，
又，
所以
，
当且仅当同时成立时，等号成立，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解.
第天
销售额（万元）