安徽省淮南第二中学2023-2024学年高二下学期期中教学检测数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间: 120分钟， 试题满分: 150分
注意事项：
1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号(智学号)；
2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效；
3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.
1. 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（ ）种取法.
A. 8B. 7C. 12D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由分类加法计数原理计算．
【详解】任取1本可分三类：第一类取是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，
由此可得取法为．
故选：A．
2. 已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的图象，得到函数的单调区间，根据导数的正负与函数的单调性的关系，得到导数的正负区间，然后做出选择即可.
【详解】由的图象及导数的几何意义可知，
当时，为减函数，故，排除A、C；
当时，先增再减后增，故先正再负后正，排除B.
故选：D.
3. 的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出二项式展开式通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.
【详解】的展开式的通项为：，
令可得，
所以含项的二项式系数为，
故选：D.
4. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
【答案】A
【解析】
【分析】先确定第一天和第二天播放节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.
故选：A
5. 已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的哪项之积为常数即可.
【详解】令，则，所以．
在中，的展开式的通项，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A
【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．
6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意函数不存在极值，则在上恒成立，从而可解.
【详解】函数，
则，
因为函数不存在极值，则在上恒成立，
则，得
故选：A
7. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.
【详解】，
令，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，从而可知.
故选：B.
8. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B.
C. 第2020行的第1010个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.
【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；
而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比，故D正确；
故答案为：ABD.
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上单调递减
B. 恰有一个极大值
C. 当时，有三个零点
D. 当时，有三个实数解
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时需注意函数值的变化趋势.
【详解】A：当时，，则，
所以函数在上单调递减，故A正确；
B：当时，，则，
所以函数在上单调递增；
当时，，则，
所以函数在上单调递增；结合选项A的分析，
知是函数的极大值点，是函数的极小值点，故B正确；
C：当时，，，
当时，，
所以当时，方程无实根，即函数无零点，故C错误；
D：当时，，由以上讨论，知当时，，
而，如图，
由图可知，方程有3个实根，所以有3个实根，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意可得，求出，即可求得二项式系数最大的项.
【详解】由题意得，得，
所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，
所以，
故答案为：.
13. 某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．
【答案】60
【解析】
【分析】分两种情况分类计算，一种是A基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可.
【详解】当A基地只有甲同学在时，那么总的排法是种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.
故答案为：60.
14. 已知函数，若存在区间，当时，的值域为，且，其中表示不超过的最大整数，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将题意转化为有两个实数根，再利用参变分离，转化为，通过构造函数，利用数形结合转化为函数图象的交点问题，利用临界分析，即可求解.
【详解】由题意可知，有两个实数根，
即，设，即与有2个交点，并且满足
，，，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
并且，当时，，
如图，画出函数的图象，

因为，
当时，，则，不满足，
当，，则，不满足，
当，此时，满足，
，，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.
（Ⅰ）甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）；
（Ⅱ）至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？（用数字作答）．
【答案】（Ⅰ）70种；（Ⅱ）186种.
【解析】
【分析】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，结合组合数即可求出结果；
（Ⅱ）至多有3男当选时，根据分类计数原理应分三类：第一类是3男2女；第二类是2男3女；第三类是1男4女，然后利用分步计数原理求解即可.
【详解】（Ⅰ）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法；
（Ⅱ）至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有种选法；
第二类是2男3女，有种选法；
第三类是1男4女，有种选法，
由分类加法计数原理知：共有种选法．
16. （1）计算：；(请用数字作答)
（2）解关于正整数n的方程：
【答案】（1）448；（2）
【解析】
【分析】（1）利用组合数的性质将原式化简重组即可求得结果；
（2）先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得.
【详解】（1）原式
；
（2）由化简得
展开得，
因，故可化简得：，
解得或 (舍)，故方程的正整数解为.
17. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.
【答案】（1）；（2）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，分和两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；
（2）根据（1）中解析式，分别求出和两种情况下，的最大值，即可得出结果.
【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，
由题意可得，当时，；
当时，；
所以；
（2）由（1）可得，当，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，则，
所以，当时，，即函数单调递增；当时， ，即函数单调递减；
所以当时，取得最大值；
综上，当时，取得最大值万元；
即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.
【点睛】思路点睛：
导数的方法求函数最值的一般步骤：
（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；
（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解单调性，
（2）由（1）可得，即可将问题转化为，构造函数，求导确定函数单调性，即可利用最值求解.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
证明：由（1）知，当时，.
要证明成立，只要证明，
即证.
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
（2）已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）① 证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；
（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；
②根据题意，转化为时，在恒成立，
设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
【小问1详解】
解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
【小问2详解】
解：①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．