河北省廊坊市第四中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：1．本试卷总分120分，考试时间90分钟。
2．答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。
4．考试结束，监考人员将答题卡收回。
卷Ⅰ（选择题，36分）
一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）
1. 下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练的掌握对顶角的定义． 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此判断即可．
【详解】解：∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项A不正确；
∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项B不正确；
∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项C不正确．
∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，
∴选项D正确；
故答案选：D．
2. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用二元一次方程的定义（含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程）分析得出答案．
【详解】解：A．含有未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意；
B．含有3个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不合题意；
C．符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意；
D．不是整式方程，故此选项不合题意．
故选：C．
3. 9的算术平方根是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．据此求解即可．
【详解】解：，
9的算术平方根是3，
故选：A．
4. 如图，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂线的定义，掌握垂线的定义是解题的关键．利用垂线的定义得出，然后利用角的和差求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 如图，一艘船在A处遇险后向相距80海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述救生船B相对于遇险船A的位置（ ）

A. 南偏西，80海里B. 南偏西，80海里
C. 北偏东，80海里D. 北偏东，80海里
【答案】C
【解析】
【分析】由图和已知条件直接得出答案即可．
【详解】解：由题意可得：海里，
由图可知：救生船相对于遇险船的位置是：（北偏东，海里），
故选：C．
【点睛】本题考查了利用有序实数对确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题关键．
6. 下列各点在第二象限的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据第二象限点的特征： 进行判断即可；
【详解】解：A、在轴上，不符合题意；
B、在第二象限，符合题意；
C、在轴上，不符合题意；
D、在第四象限，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平面坐标系下点的特征．熟练掌握不同象限点的特征是解题的关键．
7. 方程与某方程构成方程组的解为，则该方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据题意可得符号题意得方程的一个解为，据此把代入对应方程，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A：把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程解，不符合题意；
B、把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解，符合题意；
C、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
8. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 7的算术平方根是49B. 同旁内角互补
C. 相等的角是对顶角D. 若，则，都是正数或，都是负数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假、算术平方根、平行线的性质、对顶角、有理数的乘法，根据算术平方根的定义可以判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据对顶角的性质可以判断C；根据有理数的乘法可以判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、7的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原选项错误，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故原选项错误，不符合题意；
D、若，则，都是正数或，都是负数，故原选项正确，符合题意；
故选：D．
9. 小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题，如图，BD⊥AC与点D，点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥AC与点F，点G在AB上，连DG，GE．
小明说：“如果还知道∠GDB＝∠FEC，则能得到∠AGD＝∠ABC．”
小亮说：“如果∠AGD＝∠ABC，可得到∠GDB＝∠FEC．”
则下列判断正确的是（ ）
A. 小明说法正确，小亮说法错误B. 小明说法正确，小亮说法正确
C. 小明说法错误，小亮说法正确D. 小明说法错误，小亮说法错误
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得BD∥EF，则有∠DBC=∠FEC，由∠GDB=∠FEC可得∠DBC=∠GDB，则有GD∥BC，进而问题可求解．
【详解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠DBC=∠FEC，
当∠GDB＝∠FEC时，则有∠DBC=∠GDB，
∴GD∥BC，
∴∠AGD＝∠ABC；
当∠AGD＝∠ABC时，则有GD∥BC，
∴∠DBC=∠GDB，
∴∠GDB＝∠FEC，
∴小明与小亮的说法都正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
10. 如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平移性质可得，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为即可得．
【详解】由平移的性质得：，，
∵，
∴，
则阴影部分的面积为
，
故选：．
【点睛】此题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11. 如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为，表示宣武门的点的坐标为，那么坐标原点所在的位置是（ ）
A. 景山B. 天安门C. 正阳门D. 故宫
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了确定出原点、x轴，y轴的位置，解题的关键是：由东直门的坐标和宣武门的坐标，确定出每格的长度．由东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格表示的长度，再进一步确定坐标原点位置．
【详解】解：根据东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格的长度为1，
将宣武门的坐标向右平移两格，向上平移一格，即为原点坐标的位置，
根据图可知为：天安门，
故选：B．
12. 滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于M，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可．
【详解】解：延长交于M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
卷Ⅱ 非选择题
二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．）
13. 写出一个比大的无理数：_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数、实数的大小比较法则即可得．
【详解】解：，
，即，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
14. 已知点，则点P到y轴的距离为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值进行求解即可．
【详解】解；∵，
∴点P到y轴的距离为，
故答案为：4．
15. 如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，A，D两点分别落在处，若，则的大小是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等，求出，折叠求出，再利用平角的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将纸带沿折叠，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
16. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，平行于地面，则___________°．
【答案】270
【解析】
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：270．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤）
17. （1）计算
（2）计算
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：
（1）先计算开方和乘方，然后计算加减即可；
（2）先计算开方和绝对值，然后计算加减即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 解下列方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程组的解法，熟悉掌握代入法和加减消元法是解题的关键．
（1）利用代入法运算求解即可；
（2）利用加减消元法运算求解即可．
【小问1详解】
解：把代入可得：，
解得：，
把代入可得：，
∴此方程组的解为：；
【小问2详解】
解：把可得：，
∴可得：，
解得：，
把代入①可得：，
解得：，
∴此方程组的解为：．
19. 如图，已知ABCD，BE平分∠ABC，∠CDE = 150°，求∠C的度数．
【答案】∠C的度数为120°
【解析】
【分析】首先由∠CDE=150°和平角的概念得到∠CDB=30°；然后根据两直线平行，内错角相等得到∠ABD=∠CDB=30°，进而根据角平分线的定义求出∠ABC=60°，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠C的度数．
【详解】解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180°-∠CDE=30°，
又∵ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=60°，
∵ABCD，
∴∠C=180°-∠ABC=120°．
【点睛】本题考查平行线基本性质与邻补角关系，基础知识牢固是本题解题关键．
20. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．三角形ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出三角形ABC向上平移4个单位后的三角形（点A、B、C的对应点分别为点、、）．
（2）画出三角形向左平移5个单位后的三角形（点、、的对应点分别为点、、）；
（3）分别连接，，并直接写出三角形的面积为______平方单位．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）10
【解析】
【分析】本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）将三个顶点分别向上平移4个单位，再首尾顺次连接即可得；
（2）将三个顶点分别向左平移5个单位，再首尾顺次连接即可得；
（3）直接利用三角形面积公式计算可得．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：三角形的面积为，
故答案为：10．
21. 已知和分别是的两个平方根，是的立方根．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根和算术平方根．
【答案】（1）；；；
（2）；．
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
（1）根据平方根是一对相反数的概念可得到，运算出，把代入后平方即可得到的值，即可运算出；
（2）把（1）中算出的代入后，即可运算平方根和算术平方根．
【小问1详解】
解：∵和分别是a的两个平方根，
∴
解得：
∴
∴
解得：
小问2详解】
由（1）可得：
∴
∴的算术平方根为：；算术平方根为：．
22. 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是个“马”字，图②是其抽象的几何图形，其中，，．若试判断和的位置关系，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整．
解：，理由如下：
如图②，延长交的延长线于点，延长交于点，
∵，，
∴（依据：______）
∴
∴____________，（依据：______）
∵，
∴______，（依据：______）
∵，
∴，
∴____________，（依据：______）
∴（依据：______）
【答案】垂直的定义；；；同旁内角互补，两条直线平行；；两条直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质及判定等知识点，熟悉掌握平行线的性质及判定的方法是解题的关键．
根据平行线的性质及判定结合所给的推理过程逐一填空即可．
【详解】∵，，
∴（依据：垂直的定义）
∴，
∴，（依据：同旁内角互补，两条直线平行；）
∵，
∴，（依据：两条直线平行，同位角相等；）
∵，
∴，
∴，（依据：内错角相等，两条直线平行；）
∴（依据：平行于同一条直线的两条直线平行．）
23. 如图所示，已知：∠1=∠2，∠A=35°,∠C=∠D
(1) 证明：BD//CE ；
(2) 求∠F的度数．
【答案】(1)见解析； (2)∠F=35º.
【解析】
【分析】（1）由对顶角相等可知∠2=∠3，从而∠1=∠3，由同位角相等，两直线平行可证BD∥CE；
（2）由BD∥CE，可证∠C=∠DBA ，从而∠D=∠DBA，可证DF∥AC，再由两直线平行，内错角相等可求∠F=35º.
【详解】(1)∵∠1=∠2,又∠2=∠3，
∴∠1=∠3 ，
∴BD∥CE ；
(2)由(1)可知BD∥CE，
∴∠C=∠DBA ，
又∠C=∠D，
∴∠D=∠DBA，
∴DF∥AC，
则∠A=∠F,又∠A=35º，
∴∠F=35º.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24. 小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知．
（1）如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______；
（2）如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由．
（3）小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数．
【答案】（1）
（2）平分，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理：
（1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果；
（2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得；
（3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果；
准确找到各个角度是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
解：平分，理由如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
【小问3详解】
解：延长交于点G，如图所示：
，
由题可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．