江西省吉安市十校联盟2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟、全卷满分120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，完全平方公式以及同底数幂的除法，根据相关运算法则逐项计算即可判断
【详解】解：A.，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，此选项计算正确，符合题意；
故选：D
3. 如图，几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：左面看，得到的图形是：
．
故选：B．
4. 如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD度数为（ ）
A. 28°B. 29°C. 30°D. 31°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．
详解】解：，，
，
，
，
平分，
，
直线直线，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5. 如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，若，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长．解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是解决问题的关键．根据旋转不变性得到，设，在中结合勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得：，
故选:．
6. 如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（ ）
A. 5B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．
通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，从而得出，当P为的中点时，由股定理求出长度．
【详解】解∶因为P点是从A点出发的，A为初始点，
观察图象时，则，P从A向B移动的过程中，是不断增加的
而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，
此时，
即，，
由勾股定理得：
解得：
当点P为中点时，，
．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值______．
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件，二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答．
【详解】解：要使若在实数范围内有意义，
则，
即，
则写出一个满足条件的的值为．
故答案为：答案不唯一．
8. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 已知是方程的两个实数根，求的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知中，是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
可得，，
．
所以的值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若，是一元二次方程的两根时，，．
10. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接，过点作于点，连接，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形中位线定理，角所对直角边等于斜边一半，勾股定理等，根据中位线定理求出，由得由勾股定理求出，再求出由勾股定理可求出
【详解】解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴
∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∵，即
∴
∴
在中，
又
∴，
故答案为：
11. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，，是轴正半轴上的两点，，，若的面积为4，则的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】过点作于点，连接，根据可知，再由可知，故可得出，进而可得出的面积，根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
【详解】解：过点作于点，连接，
，的面积为4，
∴．
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：12．
12. 如图，在中，已知，，，点P为边上一动点，若为直角三角形，则的长为__________．
【答案】2或4或10
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，解一元二次方程．分情况讨论，当时，为直角三角形，由，设，则，利用勾股定理求得，；当时，为直角三角形，作于点，求得，利用正切函数的定义列式求解即可．
【详解】解：当时，为直角三角形，
∵，设，则，
∵，
∴，解得，
∴，；
当时，为直角三角形，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
解得或，经检验或都是方程的解，
∴或，
∴或，此时点与点重合，
综上，的长为2或4或10，
故答案为：2或4或10．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，点，分别是边，上的点，．求证：．
【答案】（1）；（3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及相似三角形的判定．
（1）先化简零次幂、绝对值、正弦值，再进行加减运算，即可作答．
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】解：（1）
；
（2），，
，
，
∴．
14. 先化简，再求值：，其中：
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键．
15. 如图，点在上，点在内，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中作弦，使；
（2）在图2中作矩形，使矩形的面积是面积的8倍．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理的应用：
（1）通过延长交于点，延长交于点，连接，即可完成作图任务；
（2）通过延长交于点，延长交于点，连接并延长，交于点，依次连接，即可完成作图任务
【小问1详解】
解：如图，即为所作；

理由如下：
∵，，
∴，
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，矩形即为所作；

理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，为的直径，
∴，
∴四边形是矩形，且
16. 随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
（1）若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
（2）若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是；
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，
∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为．
17. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
【答案】（1）每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元
（2）5辆
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为96万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元；
【小问2详解】
解：设销售型车辆，则销售型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为5．
答：型车至少销售5辆．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
（1）求k值；
（2）求的面积．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
【小问1详解】
解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
【小问2详解】
解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
19. 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：）
【答案】（1）
（2）当α从变化到的过程中，高度增加了
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，进而可求解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【小问1详解】
解：过点C作于点F，过点B作于点M，
，
由题意得：，
四边形为矩形，
．
，
．
，
．
，
答：支点C离桌面l的高度为；
【小问2详解】
解：过点C作，过点E作于点H，
，
，
，
当时，；
当时，；
，
∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了．
20. 某区积极响应国家“双减”政策，为了了解全区4000名七年级的学生完成作业时间情况，随机抽取几所学校七年级学生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次调查活动抽取的七年级有______人，扇形统计图中的值是______；
（2）补全频数分布直方图，并估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有______人；
（3）若平均每天完成作业时长在100分钟以下学生认定为“学习轻松者”，那你估计一下全区有多少位七年级的孩子是“学习轻松者”?
【答案】（1）200；10
（2）图见解析，400
（3）2200名
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体．
（1）根据选A人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，即可得到m的值；
（2）根据（1）的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再用样本估计总体即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：此次调查活动抽取的七年级人数为：（人），
（人），
，
即m的值是10，
故答案为：200，10；
【小问2详解】
解：补充统计图如图所示：
（人），
即估计全区平均每天完成作业时长在“”分钟的学生约有400人．
故答案为：400；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计全区有2200位七年级的孩子是“学习轻松者”．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点．

（1）判断的形状，并证明；
（2）若，．
①求的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）是等腰三角形，详见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，根据垂直定义可得，从而可得，然后根据已知可得，从而可得，进而可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得，进而根据等角对等边即可解答；
（2）①由（1）得故可得所以再证明通过解直角，求出；②连接，可得是等边三角形，故有根据可得结论．
【小问1详解】
是等腰三角形，理由如下：
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
①∵
∴
∵即
∴
∵
∴
∴
∴
在直角中，∵，
∴
∵
∴；
②连接如图，

∵
∴是等边三角形，
∴
又
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形的面积等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 阅读下列材料并完成问题．
抛物线（）的图象如图（1）所示，我们把点称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径，把直线称为该抛物线的准线，抛物线上任意一点到准线的距离称为准距．
[知识感悟]
（1）抛物线的焦点的坐标是______，若抛物线上点的坐标为，则焦半径______，准距______．
[问题探究]
（2）对于抛物线（）上点，试猜想焦半径与准距的数量关系，并说明理由．
[知识应用]
（3）如图（2），已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，当时，求点的坐标．
【答案】（1），4，4（2），理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质的应用：
（1）根据示例中的定义求解即可；
（2）设点，根据两点间距离公式求出的长即可判断；
（3）连接，证明是等边三角形，求出，设，得，求出方程的解即可得出点P的坐标
【详解】解：（1）∵，
∴焦点A的坐标为
∴点与焦点的距离，
点到准线的距离为：
故答案为：，4，4
（2），理由如下：
由题意知，焦点为，准线为直线，
设点，
∴，，
∴
（3）连接，
由（2）知，，，
∴是等边三角形，
∴，
由题意知，，
∴，
∵与直线垂直，
∴
∴
∴；
设，得，
解得，，
∴点的坐标为或
六、解答题（本大题共12分）
23. （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系是______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．求，，之间的数量关系；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】（1）（2）（3）（4）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出，再利用第3小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出．
【详解】解：（1），
理由如下：如图1所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：
（2），
理由如下：如图2所示：
证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），
理由如下：如图3所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）如图4所示：连接，以为直径作圆，
由题意，取满足条件的点P，，则．，
∵，
∴，
∴，
连接，作于点F，在上截取，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（3）可得：，
∴，
∴，
延长至点，使，过点A作于点，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故的面积为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．