四川省达州市渠县第二中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
【详解】解：从上面看有2行，上面一行是横放2个正方形，右下角一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．根据科学记数法指一个数写成（其中，为整数）的形式即可．
【详解】解：．
故选：C．
3. 五边形的外角和等于（）
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【详解】解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. x2+x2=x4B. （x﹣y）2=x2﹣y2C. （x2y）3=x6yD. （﹣x）2x3=x5
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的运算逐项计算求解即可．
【详解】A. x2+x2=2 x2，故该选项不正确，不符合题意；
B. （x﹣y）2=x2-2xy+y2，故该选项不正确，不符合题意；
C. （x2y）3=x6y3 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. （﹣x）2x3=x5故该选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂运算，是解题的关键．
6. 如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．
7. 如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ）

A. 54°B. 56°C. 64°D. 66°
【答案】A
【解析】
【分析】根据所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，最后根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 将抛物线向右平移2个单位长度，所得到的抛物线与直线的交点坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先求出抛物线向右平移2个单位长度后所得到的抛物线，再将代入解方程即可求解．
【详解】由抛物线向右平移2个单位长度可得：
，
令，即
解得：或0，
∴交点坐标为或．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象问题，涉及到二次函数图象平移及函数图象交点坐标问题，解题的关键是正确求得抛物线向右平移2个单位长度后所得到的抛物线解析式．
9. 用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，正四边形和正八边形分别有（ ）
A. 2个和1个B. 1个和2个
C. 3个和1个D. 1个和3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出正四边形和正八边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：正四边形即正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是，
∵，
∴用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面，则在某一个顶点处，有1个正四边形和2个正八边形，
故选：B．
10. 抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示
从上表可知，下列说法错误是（ ）
A. 抛物线与x轴的一个交点坐标为B. 抛物线与y轴的交点坐标为
C. 抛物线的对称轴是直线D. 抛物线在对称轴左侧部分是上升的
【答案】C
【解析】
【分析】根据当时，即可判断A；根据当时，即可判断B；根据当和当的函数值相同，即可判断C；根据即可判断D．
【详解】解：∵当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为，故A不符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，故B不符合题意；
∵当和当的函数值相同，
∴抛物线对称轴为直线，故C符合题意；
∵，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
11. 方程组的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：两个方程相加可得，
∴，
将代入，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可．
【详解】根据题意得，
解得．
故答案．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长.
【详解】∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握定义及相关方法即可.
14. 在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小，则点在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】先根据一次函数中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限．
【详解】解：∵在一次函数中，函数y的值随x值的增大而减小，
∴，
∴点在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】本题考查的是一次函数增减性质与系数k的关系，判断点所处的象限，根据题意判断出k的符号是解答此题的关键．
三、解答题（本题共6小题，共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）3；（2）x<2.
【解析】
【详解】解：（1）
=
=
=3；
（2）
解①得：x<3，
解②得：x<2，
∴不等式组的解集为：x<2.
16. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简、正确计算是解题的关键．先将化为，再将化为，再根据分式混合运算顺序进行计算，最后将的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
17. 在四川省达州市渠县有庆中学的文化建设进程中，“打造书香校园”一直是其最重要的内容之一．我校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小红与小明每人从四类图书中任选一种，用树状图或列表法求二人恰好选择文史类的概率是多少？
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：喜欢文史类的人数为76人，占总人数的，
此次调查的总人数为：人，
故答案为：200；
【小问2详解】
解：喜欢生活类书籍的人数占总人数的，
喜欢生活类书籍的人数为：人，
喜欢小说类书籍的人数为：人，
如图所示：
【小问3详解】
解：记社科类图书为、文史类图书为、生活类图书为、小说类图书为，
画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能情况，其中二人恰好选择文史类的只有1种结果，
所以二人恰好选择文史类的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18. 某社团的同学使用卷尺和自制测角仪测量观景台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观景台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进15m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．求观景台最高点A距离地面的高度（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）．
【答案】11.6
【解析】
【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝15m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝15＋x，解直角三角形即可得到结论；
【详解】解：过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝15m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝15＋x，
∵∠ABE＝22°，
∴AE＝BE•tan22°，即x＝（15＋x）×0.40，
∴x=10（m），
∴AD＝10＋1.6＝11.6（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为11.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19. 如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接OD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC=∠BOD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CD，求BC和BD的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）根据，可得，根据已知条件即可证明，即可证明是⊙O的切线；
（2）根据题意证明，根据相似三角形的性质求解可得的长，进而根据勾股定理求得的关系，利用相似三角形的性质求解可得的长．
【小问1详解】
【小问2详解】
是的直径
即
又
⊙O的半径为2，
解得（负值舍去）
在中，
，
解得（负值舍去）
，
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
20. 已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
（2）如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）①；②或
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标；
（2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可．
【小问1详解】
解：①∵ 在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点，
则，
解得：或，
∴，
∴，
如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于，
设的距离为，则，
解得：，
∴、的距离为，
∴，

∵，令，则，令，则，即，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
点的坐标为或；
【小问2详解】
解：过点作于，交于点，交于点，如图，

∴，
∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即是的中点，
联立，解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键．
B卷（50分）
四、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
21. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=5、a+b=−1，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：a、b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
．
故答案为
【点睛】本题考查了根与系数关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=5、a+b=−1是解题的关键．
22. 有五张正面分别标有数-2，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解分式方程，因为分式方程的解为正整数，进而根据概率公式求解即可．
【详解】∵，
∵分式方程的解为正整数，
∴a+1>0，
∴a>-1，
∴a＝0，1，3
当a=3，x＝1（分式分母为0，不合题意，舍去），
∴a＝0，1，
∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解含参的分式方程和求概率的问题，确定分式方程有正整数解时的a的值是解题关键．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，过点作，证明，进而可得，即可得在射线上运动，且，根据点到直线的距离垂线段最短，以及等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图，取的中点，连接，过点作
，
四边形是正方形
，
，
是等腰直角三角形
，且点在射线上运动，
时，最短，
此时是等腰直角三角形，则
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，判断出点的运动路径是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，坐标原点在边上，反比例函数（）的图象恰好经过顶点，，并与边交于点若：，的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，作轴于点，轴于点．根据，的面积为，可求出，再设，则，利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接，作轴于点，轴于点，
∴，
∵，的面积为，
∴，
设，则，
∵的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积梯形的面积，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数与几何图形的面积关系，根据已知条件求出的面积是解题的关键．
25. 将矩形沿虚线剪切（如图①）得四边形，又将四边形沿对角线翻折，点A落在的点F上，（如图②）连接交于点E，点O是的中点．射线以点O为旋转中心，顺时针旋转交于N．过点O作交于M，连接．若，，则周长的最小值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接，易得为等腰直角三角形，进而推出原四边形为正方形，证明，得到，进而推出为定值，得到当最小时，的周长最小，即：最小，根据垂线段最短，得到当时，的周长最小，进一步求解即可．
【详解】解：连接，
∵原四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴原四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，即：最小，
∴当时，的周长最小，如图③：
则：，
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，，
∴周长的最小值为；
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形．
五、解答题（本题共3小题，共30分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
26. 农经公司以30的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求值（直接写出答案）．
【答案】（1）
（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
（3）的值为2
【解析】
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想与是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润与销售价格之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润与销售价格之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得的值．
【小问1详解】
解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为，
则，
解得：，，
，
检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式，
所求的函数关系为；
【小问2详解】
解：设日销售利润，
即，
当时，有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
【小问3详解】
解：日获利，
即，
对称轴为，
①若，则当时，有最大值，
即（不合题意）；
②若，则当时，有最大值，
将代入，可得，
当时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
27. 抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标为(2，-5) 或(-4，-5) 或(-2，3)．
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可
（2）由（1）知：y＝-x2﹣2x+3，令x=0，求出y的值，得到点C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（m，-m2-2m+3），则E（m，m+3），表示出PE，结合二次函数的性质可得PE的最大值，易知△AOC是等腰直角三角形，则∠ACO＝45°，由平行线的性质易得△PEF是等腰直角三角形，表示出S△PEF，据此求解；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，易证△PQG≌△ACO，得到PG＝AO＝3，由抛物线的表达式可得对称轴，设点P（x，y），则|x+1|＝3，求出x的值，据此可得点P的坐标；②当AC为平行四边形的对角线时，设AC的中点为M，易得点M的坐标，由点Q在对称轴上，可得点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x，由中点坐标公式可得x的值，据此可得点P的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线（）与轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为，将点C（0，3），代入
解得
【小问2详解】
设直线的解析式为，将A（-3，0），C（0，3），代入得，
解得
直线的解析式为
设，则
，
的最大值为
的最大值为
【小问3详解】
解：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中， ，
∴△PQG≌△ACO(AAS)，
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵ ，
∴抛物线对称轴为直线x＝-1，
设点P(x，y)，则PG =|x+1|=3，
解得：x＝2或x＝-4，
当x＝2时，代入，得：y＝-5，
当x＝-4时，代入，y＝-5，
∴点P坐标为(2，-5)或(-4，-5)；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图，设AC的中点为M，
∵A(-3，0)，C(0，3)，
∴M(-，)，
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为-1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+(-1)=2×(-)=-3，
∴x=-2，此时y=3，
∴P(-2，3)；
综上所述，点P的坐标为(2，-5) 或(-4，-5) 或(-2，3)．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数的对称轴、顶点式、最值，利用待定系数法求解析式等．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键．
28. （1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理计算出，利用平行线分线段成比例定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，证明，得出，求出，，计算的值即可；
（3）①证明，推出，由此即可解决问题；②证明，推出，，推出即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵折叠，使点与点重合，折痕为，
∴垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
由题意得垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①由折叠的性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为线段上的一个动点，，，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，正确寻找相似三角形是解题的关键．x
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