2023-2024学年广东省佛山市禅城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市禅城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列描述，能确定具体位置的是( )
A. 祖庙附近B. 教室第2排
C. 北偏东55°D. 东经118°，北纬40°
2.下列实数中，是无理数的是( )
A. 15B. 3.1415926C. 2D. 38
3.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )
A. 1，2，3B. 3, 4, 5C. 6，8，10D. 13、14、15
4.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则周长C与r的函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.下列算式，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−33)3=−3C. (− 2)2=−2D. (−6)2=−6
6.801班拟从甲、乙、丙三人中选一人参加校运会的跳高比赛，最近的十次练习中，他们的平均成绩都是155cm，方差分别是S甲2=51.5，S乙2=102.6，S丙2=213.8，则成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定
7.下列命题中，是假命题的是( )
A. 若AB/​/EF，则∠4=∠B
B. 若DE/​/BC，则∠2=∠4
C. 若∠1=∠B，则∠3=∠C
D. 若∠1=∠2，则∠2=∠4
8.我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是( )
A. x+y=944x+2y=35B. x+y=942x+4y=35C. x+y=352x+4y=94D. x+y=354x+2y=94
9.凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1=30°，∠2=55°，则∠ABP的度数是( )
A. 150°B. 155°C. 160°D. 165°
10.若一次函数y=kx+1(k≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为2，则下列说法正确的是( )
A. k的值为14或−14
B. y的值随x的增大而增大
C. 该函数图象经过第一、二、三象限
D. 在−4≤x≤0的范围内，y的最大值为1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.比较大小： 5 ______2.(填“<”或“>”)
12.2023年立冬(11月8日)后某市一周内每天的最高气温如表：
分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是______℃.
13.计算：( 3+ 2)( 3− 2)= ______．
14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE/​/BC交AC于点E，若∠ACB=62°，则∠EDC的度数是______．
15.已知x=ay=1是方程2x−y=5的一组解，则a的值为______．
16.如图射线①是公共汽车线路收支差额y(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象，目前该线路亏损.射线②是公司提高票价后的函数图象.两射线与x轴的交点坐标分别是(1.5,0)、(0.6,0)，则当乘客为1万人时，提高票价后的收支差额较提价前增加______万元．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：2 28+ 17− 63．
18.(本小题4分)
解方程组：4x+3y=52x−y=−5
19.(本小题6分)
已知：如图，点E、F在线段BC上，BF=EC，且AB/​/CD，∠A=∠D，求证：AE=DF．
20.(本小题6分)
由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示.通过剪贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形．
(1)拼成的大正方形的边长为______；
(2)将剪贴示意图画在网格图中．
21.(本小题8分)
某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，开展经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果，学校在活动初期，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，并根据调查结果绘制成不完整的条形、扇形统计图如图所示：
活动初期学生“一周诗词诵背数量”统计计图：

诗词大赛结束后一个月，再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
大赛后学生“一周诗词诵背数量”统计表：
请根据上述调查的信息分析：
(1)活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______(首)；
(2)估计大赛后该校学生(总数1200人)“一周诗词诵背数量”不少于6首的人数；
(3)选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
22.(本小题10分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−2,4)、B(−4,1)、C(−1,2)，直线l与x轴平行且经过点(0,−1)．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出与△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2；
(3)点P(m,n)关于直线l的对称点为Q(−n,2m)，则点P的坐标是______．
23.(本小题10分)
综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？(计算过程中的π取3)
素材1.如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物．
(1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米.将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径(此路径记为“路线二”)，此时最短路程是______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______(用“一”或“二”填空)．

素材2.如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线(借助细线来反映爬行的路线)、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，(1)中两种路线路程的长度如表所示(单位：厘米)：
(2)填空：表格中a的值是______；表格中b表示的大小关系是______；
(3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？
24.(本小题12分)
赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)，并根据该图证明了勾股定理.弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．

(1)“勾股定理”用文字叙述是______；
(2)类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF是等边三角形.点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△DEF的面积为2，求△ABC的面积；
(3)在长方形ABCD内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”(如图3)，其中点M、N、P、Q分别在长方形的边BC、CD、AB、AD上，当AB=34，BC=29时，求小正方形的边PQ的长度．
25.(本小题12分)
综合应用
如图1，直线l1：y=2x+3与x轴交于点B，直线l2与x轴交于点C(32,0)，l1、l2交于y轴上一点A．

(1)特征探究：求直线l2的表达式；
(2)坐标探究：过x轴上一点D(−3,0)，作DE⊥AC于点E，交y轴于点F，求E点坐标；
(3)规律探究；将△ABC将向左平移m个单位长度(0答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.祖庙附近，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
B.教室第2排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
C.北偏东55°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意；
D.东经118°，北纬40°，能确定具体位置，故此选项符合题意．
故选：D．
根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：15，3.1415926是分数，38=2是整数，它们都不是无理数；
2是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵12+22≠32，∴此组数据能不作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；
B、∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；
C、∵62+82=102，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意；
D、∵(15)2+(14)2≠(13)2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可知C=2πr，
所以周长C与r的函数图象可能是选项A的图象．
故选：A．
根据C=2πr可得答案．
本题考查了函数的图象，得出C与r的函数关系式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、(−33)3=−3，故B符合题意；
C、(− 2)2=2，故C不符合题意；
D、 (−6)2=6，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，立方根，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了实数的运算，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵甲、乙、丙三人的平均成绩都是155cm，S甲2=51.5，S乙2=102.6，S丙2=213.8，
∴S甲2∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、若AB/​/EF，则∠4=∠B，是真命题，不符合题意；
B、若DE/​/BC，则∠2=∠4，是真命题，不符合题意；
C、当∠1=∠B时，DE/​/BC，则∠3=∠C，故本选项命题是真命题，不符合题意；
D、当∠1=∠2时，AB/​/EF，不能证明∠2=∠4，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
根据平行线的性质和判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，熟记平行线的性质和判定定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+y=354x+2y=94，
故选：D．
根据上有三十五头，下有九十四足，列出二元一次方程组即可．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠1=30°，
∴∠1=∠POF=30°，
∵∠2是△OPF的一个外角，
∴∠OFP=∠2−∠POF=25°，
∵AB/​/OF，
∴∠ABF=180°−∠OFP=155°，
故选：B．
先利用对顶角相等可得∠1=∠POF=30°，再利用三角形的外角性质可得∠OFP=25°，然后利用平行线的性质可得∠ABF=155°，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=kx+1(k≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为2，
∴一次函数y=kx+1(k≠0)与y轴交于(0,1)，
∴一次函数的图象直线与x轴的交点坐标有(−4,0)或(4,0)两种情况，
当交点坐标为(−4,0)时，−4k+1=0，
解得：k=14；
当交点坐标为(4,0)时，4k+1=0，
解得：k=−14，
∴A选项正确；
当k=−14时，y的值随x的增大而减小，故B选项不正确；
当k=−14时，该函数图象经过第一、二、四象限，故C选项不正确；
当k=−14时，在−4≤x≤0的范围内，当x=−4时，取得最大值y=2，故D选项不正确．
故选：A．
根据一次函数y=kx+1(k≠0)与y轴交于(0,1)，结合与坐标轴围成的三角形的面积为2，分与x轴的交点坐标(−4,0)或(4,0)两种情况讨论，求出k的值，结合一次函数的图象与性质，逐项判断，选择答案即可．
本题考查了一次函数的图象与性质，分类讨论求解出k的值是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】解：∵2= 4，
又∵ 5> 4，
∴ 5>2，
故答案为：>．
先把2写成 4，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12.【答案】10
【解析】解：这周每天的最高气温的极差为：28−18=10(°C)，
故答案为：10．
根据极差的概念，用表中最大数据减去最小数据，即可得出答案．
本题考查了极差的概念；掌握极差的定义是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】原式=( 3+ 2)( 3− 2)=3−2=1．
故答案为：1．
利用二次根式的乘法法则和平方差公式即可求解．
本题考查了二次根式的乘法法则和平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则．
14.【答案】31°
【解析】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，∠ACB=62°，
∴∠BCD=12∠ACB=31°，
∵DE/​/BC，
∴∠EDC=∠BCD=31°．
故答案为：31°．
先根据角平分线的定义得出∠BCD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：将x=ay=1代入原方程得2a−1=5，
解得：a=3，
∴a的值为3．
故答案为：3．
将x=ay=1是代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：根据图象得到成本为1万元，
①每人的票价为：(1×10000)÷(1.5×10000)=23(元)，
②每人的票价为：(1×10000)÷(0.6×10000)=53(元)，
(53−23)×10000=1(万元)，
故答案为：1．
根据图象得到运营的成本，再计算出两种票价，最后算出1万人增加的收支差额．
本题考查了函数图象，关键是通过图象获得相关的信息来解答．
17.【答案】解：原式=4 7+ 77−3 7
=8 77．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
18.【答案】解：由②，得y=2x+5③，
代入①，得4x+3(2x+5)=5，
解得x=−1．
将x=−1代入③，得y=3．
故原方程组的解为x=−1y=3．
【解析】方程②中y的系数是−1，用代入消元法进行消元比较简便．
解二元一次方程组时，如果方程组中同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法比较简便；如果方程组中有一个未知数的系数的绝对值是1或者常数项是0时，用代入消元法比较简便．
本题用代入消元法解方程组也比较简便．
19.【答案】证明：∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C，
∵BF=EC，
∴BF−EF=EC−EF，
即BE=CF，
在△ABE与△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=DF．
【解析】由平行线的性质得∠B=∠C，再证BE=CF，然后证△ABE≌△CDF(AAS)，即可得出结论．
此题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】 5
【解析】解：(1)∵大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长 5．
故答案为： 5；
(2)图形如图所示．
(1)利判断出大正方形的面积可得结论；
(2)根据边长 5，利用数形结合的射线画出图形．
本题考查作图−应用与设计作图，正方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
21.【答案】4.5
【解析】解：(1)本次调查的学生有：20÷60°360∘=120(名)，
背诵4首的有：120−15−20−16−13−11=45(人)，
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：(4+5)÷2=4.5(首)，
故答案为：4.5；
(2)大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的有：1200×42+23+20120=850(人)，
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背不少于6首以上的有850人；
(3)活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
(1)根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
(2)根据表格中的数据可以解答本题；
(3)根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(−2,2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)∵点P(m,n)关于直线l的对称点为Q(−n,2m)，
∴m=−nn+2m=−1×2，
解得m=−2n=2，
∴点P的坐标是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)几何轴对称的性质可列方程为m=−nn+2m=−1×2，求出m，n的值即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23.【答案】15 二 9 x【解析】解：(1)图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为12πd=12×3×6=9．
根据勾股定理，此时最短路程为 122+92=15．
∵15<18．
由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二．
故答案为：15，二．
(2)a=3+6=9，
∵9<9.49．
∴表格中b表示的大小关系是x故答案为：9，x(3)根据题意可得h+2r= h2+(3r)2，
即h2+4hr+4r2=h2+9r2，
∴r=45h，
故当r=45h时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
(1)根据勾股定理以及线段长度即可求解．
(2)利用圆柱形木块的高为3，底面半径为6，得出路程进行比较．
(3)构造方程h+2r= h2+(3r)2，即可得出结论．
本题考查了平面展开图的最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
24.【答案】在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
【解析】解：(1)“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方；
故答案为：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方；
(2)解：如图，连接，
∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，
∴S△BDF=S△DEF=S△ABF=S△BDC=S△DEC=S△AEF=S△AEC，
∴S△ABD=S△AFC=S△BEC，
∴S△ABD=S△AFC=S△BEC=2S△DEF，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF=7S△DEF，
∵S△DEF=2，
∴S△ABC=14．
(3)设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，
∵AB=34.BC=29，
∴2x+2y=342x+y=29，
解得x=12y=5，
∴小正方形的边长为： 122+52=13．
(1)写出勾股定理即可；
(2)连接BF，DC，AE，由点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点可得S△BDF=S△DEF=S△ABF=S△BDC=S△DEC=S△AEF=S△AEC，即可得出S△ABC=7S△DEF即可求解；
(3)根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，根据AB=34，BC=29得二元一次方程组，即可求出x和y，进一步求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，三角形面积，根据题意运用赵爽弦图是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把x=0代入y=2x+3，得y=3，
∴点A的坐标为(0,3)，
设l2的表达式为y=kx+b，把A(0,3)，C(32,0)代入，
得b=332k+b=0，解得k=−2b=3，
∴l2的表达式为y=−2x+3；
(2)由DE⊥AC，l2的表达式为y=−2x+3，
设直线DE的解析式为y=12x+b，把D(−3,0)代入，
解得b=32，
∴直线DE的解析式为y=12x+32，
把x=0代入y=12x+32，解得y=32，
∴点F的坐标为(0,32)，
联立y=12x+32y=−2x+3，解得x=35y=95，
∴点E的坐标为(35,95)；
(3)OM的长度不变，理由如下：
如图1，由B(−32,0)，C(32,0)，
∴OB=OC，且BC=3，
∵∠BOA=∠COA=90°，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC，
∴AB=AC，
过点Q作DQ⊥x轴，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠DBQ，
∵BQ=CP，∠BDQ=∠COP=90°，
∴△BDQ≌△COP(AAS)，
∴DB=OC，DQ=OP，
∴OD=DB+OB=OC+OB=BC=3，
∵∠MDQ=∠MOP=90°，∠DMQ=∠OMP，DQ=OP，
∴△MDQ≌△MOP(AAS)，
∴DM=OM，
∴OM=12OD=32．

【解析】(1)把x=0代入y=2x+3求出点A的坐标，结合点C的坐标求出l2的表达式；
(2)根据题意求出直线DE的解析式，从而求出点E和点F的坐标；
(3)OM的长度不变，理由如下，过点Q作DQ⊥x轴，证明△BDQ≌△COP得到DB=OC，DQ=OP，再证明△MDQ≌△MOP，得到OM=12OD，从而求出OM的长度．
本题考查了待定系数法求函数解析式，求函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，本题的关键在于构造全等三角形，找到线段的等量关系，从而证明OM是定值．日期
9日
10日
11日
12日
13日
14日
15日
最高气温(℃)
28
28
24
24
19
18
23
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
9
11
15
42
23
20
圆柱高度
沿路线一路程x
沿路线二路程y
比较x与y的大小
5
11
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