2023-2024学年天津市东丽区华新共同体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市东丽区华新共同体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. − 2B. 12C. 15D. a2
2.若式子 x−1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥1且x≠2B. x≤1C. x>1且x≠2D. x<1
3.下列计算正确的是( )
A. 3 2+2 3=5 5B. 8=4 2
C. 27÷ 3=3D. (−2)2=−2
4.若x、y都是实数，且 2x−1+ 1−2x+y=4，则xy的值为( )
A. 0B. 12C. 2D. 不能确定
5.由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. AB：BC：AC=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠CD. AB2=BC2+AC2
6.下列哪组条件能判定四边形ABCD是平行四边形∠A：∠B：∠C：∠D=( )
A. 2：3：6：7B. 4：5：4：5C. 1：2：3：4D. 3：5：7：9
7.如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑( )
A. 0.9m
B. 1.5m
C. 0.5m
D. 0.8m
8.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. ∠DAB=∠ABC，∠ADC=∠DCB
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB//DC
D. AB=AD，BC=DC
9.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
10.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为( )
A. 12B. 14C. 24D. 21
11.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. AB=2 5B. ∠BAC=90°
C. △ABC的面积为10D. 点A到直线BC的距离是2
12.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为( )
A. 4 5B. 4 3C. 10D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.式子 5−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14. 12与最简二次根式5 a+1是同类二次根式，则a= ．
15.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为______．
16.如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为______．
17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=35a，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.计算：
(1) 48+15 75−3 13；
(2)(2− 2)2+ 18−(13)−1
四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知x=1 3− 2，y=1 3+ 2，求下列各式的值：
(1)x2+xy+y2；
(2)yx+xy．
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O.求证：OB=OD．
22.(本小题10分)
为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
(1)求出空地ABCD的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
23.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：
(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
24.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若AB=2BC，∠F=36°.求∠B的度数．
25.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t(s)
(1)直接写出：QD=______，PC=______；(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？
(3)若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】
解：依题意，得
x-1≥0且x−2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：A、3 2与2 3不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 8=2 2，计算错误，不符合题意；
C、 27÷ 3=3，计算正确，符合题意；
D、 (−2)2=2，计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减、乘除以及性质判断即可．
此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的混合计算解答．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查被开方数的非负性，比较简单．
要使等式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值．
【解答】
解：要使 2x−1, 1−2x有意义，被开方数必须为非负数，
则2x−1≥0，1−2x≥0，
解得x=12，
∴y=4，
∴xy=2．
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、不妨设AB=3x，BC=4x，AC=5x，此时AB2+BC2=25x2=AC2，故△ABC是直角三角形；
C、∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；
D、AB2=BC2+AC2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故选：A．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
6.【答案】B
【解析】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有B符合条件．
故选：B．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项B符合．
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
7.【答案】D
【解析】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C=2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m，
∴B′C= A′B′2−A′C2= 2.52−22=1.5m，
∴BB′=B′C−BC=1.5−0.7=0.8m．
故选D．
先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8.【答案】B
【解析】解：A.∵∠DAB=∠ABC，∠ADC=∠DCB，
∴无法判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
C.∵AD=BC，AB//DC，
∴不能判断四边形是ABCD平行四边形，四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D.∵AB=AD，BC=DC，
∴无法判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选B．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．
根据题意先判定△ADC是等腰直角三角形，得到AD=CD=1，再根据含30°角的直角三角形的性质得出BC的长，最后利用勾股定理得BD的长．
【解答】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD=1，
∵∠B=30°，
∴BC=2CD=2，
∴BD= BC2−CD2= 3．
故选C．
10.【答案】A
【解析】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC= BD2+CD2= 42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长为EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=7，
∴四边形EFGH的周长为7+5=12．
故选：A．
利用勾股定理求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【解答】
解：A.∵AB2=22+42=20，
∴AB=2 5，本选项结论正确，不符合题意；
B.∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，本选项结论正确，不符合题意；
C.S△ABC=12AC·AB=5，本选项结论错误，符合题意；
D.设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2=32+42=25，
∴BC=5，
则12×5×h=5，
解得，h=2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选C．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB= AE2−BE2=4，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】
解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
∠AOF=∠COE OA=OC ∠OAF=∠OCE ，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE=5，
∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8，
∴AB= AE2−BE2= 52−32=4，
∴AC= AB2+BC2= 42+82=4 5；
故选：A．
13.【答案】x≤5
【解析】解：由题意得：5−x≥0，
解得：x≤5，
故答案为：x≤5．
根据二次根式有意义的条件可得5−x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】2
【解析】【分析】
先将 12化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【解答】
解：∵ 12与最简二次根式5 a+1是同类二次根式，且 12=2 3，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为2．
15.【答案】5或 7
【解析】【分析】
此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】
解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： 42−32= 7；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： 42+32=5；
综上，第三边的长为：5或 7．
故答案为5或 7．
16.【答案】(−2,−1)
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A(−1,2)，D(3,2)，
∴点A是点D向左平移4个单位所得，
∵C(2,−1)，
∴B(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
直接根据平移的性质可解答．
本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找出平移的规律．
17.【答案】45°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠DEC=60°．
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=(180°−∠ADE)÷2=15°，
∴∠AEC=∠DEC−∠AED=60°−15°=45°．
故答案为：45°．
根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°.根据等边三角形的性质得到∠CDE=∠DEC=60°.求得∠ADE=90°+60°=150°，求得∠DAE=∠DEA=(180°−∠ADE)÷2=15°，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，求出∠ADE的度数是解题的关键．
18.【答案】53或 53
【解析】【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB=BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
【解答】
解：分两种情况：
①如图1，当点B′落在AD边上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE=∠B′AE=12∠BAD=45°，
同理可得∠BEA=45°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=1，BE=35a，
∴35a=1，
∴a=53；
②如图2，当点B′落在CD边上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a，AB=CD=1，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，BE=B′E=35a，
∴在Rt△ADB′中，DB′= AB′2−AD2= 1−a2，CE=BC−BE=a−35a=25a，
在△ADB′与△B′CE中，
∵∠DAB′=∠CB′E=90°−∠AB′D，∠C=∠D=90°，
∴△ADB′∽△B′CE，
∴DB′CE=AB′B′E，即 1−a225a=135a，
解得a1= 53，a2=− 53(舍去)，
综上，所求a的值为53或 53，
故答案为：53或 53．
19.【答案】解：(1)原式=4 3+ 3− 3
=4 3；
(2)原式=4−4 2+2+3 2−3
=3− 2．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据完全平方公式和负整数指数幂的意义计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20.【答案】解：(1)∵x=1 3− 2，y=1 3+ 2，
∴x= 3− 2( 3− 2)( 3+ 2)= 3+ 2，y= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2，
∴x+y= 3+ 2+ 3− 2=2 3，xy=( 3+ 2)×( 3− 2)=3−2=1，
∴x2+xy+y2=(x+y)2−xy=12−1=11；
(2)yx+xy
=x2+y2xy
=(x+y)2−2xyxy
=12−21
=10．
【解析】(1)先利用分母有理化法则求出x= 3+ 2,y= 3− 2，进而得到x+y=2 3，xy=1，再根据完全平方公式的变形求解即可；
(2)根据yx+xy=(x+y)2−2xyxy进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵▱ABCD中，
∴AD=BC，AD//BC．
∴∠ADB=∠CBD．
又∵AE=CF，
∴AE+AD=CF+BC．
∴ED=FB．
在△EOD和△FOB中，
∠EOD=∠FOB∠EDO=∠FBOED=FB,
∴△EOD≌△FOB(AAS)
∴OB=OD．
【解析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据欲证明OB=OD，只要证明△EOD≌△FOB即可解答．
22.【答案】解：(1)连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，
而122+52=132，
即BC2+BD2=CD2，
∴∠DBC=90°，
则S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=12⋅AD⋅AB+12DB⋅BC=12×4×3+12×12×5=36m2；
(2)所以需费用36×200=7200(元)．
【解析】(1)连接BD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，四边形ABCD面积等于三角形ABD面积+三角形BCD面积，求出即可；
(2)由(1)求出的面积，乘以200即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF ∠AED=∠CFB AD=CB ，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF．
(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，
由(1)得AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，解此题的关键是证明△ADE≌△CBF．
(1)根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，根据平行线的性质得出∠ADE=∠CBF，求出∠AED=∠CFB=90°，根据AAS推出△ADE≌△CBF即可；
(2)证出AE/​/CF，即可得出结论．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，
∠D=∠ECFDE=CE∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=36°，
∴∠B=180°−2×36°=108°．

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质并证明三角形全等是解决问题的关键．．
(1)利用平行四边形的性质得出AD//BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；
(2)证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
25.【答案】解：(1)(8−t)cm，(10−2t)cm；
(2)∵四边形PQDC是平行四边形，而AD//BC，
∴DQ=PC，
由(1)知，DQ=8−t，PC=10−2t，
∴8−t=10−2t，
∴t=2，
即：t=2s时，四边形PQDC是平行四边形；
(3)由(1)知．AQ=t，BP=2t，DQ=(8−t)cm，PC=(10−2t)cm，
∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，
∴①当DP=QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，
∴AQ+12DQ=BP，
∴t+12(8−t)=2t，
∴t=83，
②当DQ=PQ时，如图，
Ⅰ、过点Q作QE⊥BC于E，
∴∠BEQ=∠OEQ=90°，
∵AD/​/BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴EQ=AB=6cm，BE=AQ=tcm，
∴PE=BP−BE=tcm，
在Rt△PEQ中，PQ= PE2+EQ2= t2+36cm，
∵DQ=(8−t)cm，
∴ t2+36=(8−t)cm，
∴t=74，
∵点P在边BC上，不和C重合，
∴0≤2t<10，
∴0≤t<5，
∴此种情况符合题意，
即：t=83或74秒时，△DPQ是等腰三角形．
【解析】解：(1)由运动知，AQ=tcm，BP=2tcm，
∵AD=8cm，BC=10cm，
∴DQ=AD−AQ=(8−t)cm，PC=BC−BP=(10−2t)cm，
故答案为(8−t)cm，(10−2t)cm；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)先有运动速度表示出AQ，BP，即可得出结论；
(2)先判断出DQ=PC，建立方程求解即可得出结论；
(3)分两种情况讨论计算，求出时间，判断时间是否符合题意．
主要考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解(2)的关键的关键是用DQ=PC建立方程求解，解(3)的关键是分情况讨论，是一道中等难度的题目．