2024年广西南宁市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广西南宁市中考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最大的是( )
A. −3B. 0C. 2D. |−1|
2.下列四个图片表述的是宪法赋予我们的基本权利，其图标为中心对称图形的是( )
A. 男女平等B. 受教育权
C. 宗教信仰权D. 人身自由权
3.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为( )
A. B. C. D.
4.下列说法中，正确的是( )
A. 了解一批口罩的质量情况适合全面调查
B. 要反映南宁市一周内每天的最高气温的变化情况宜采用条形统计图
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是必然事件
D. “任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件
5.如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD/​/EF，若∠1=107°，则∠2的度数为( )
A. 63°
B. 73°
C. 83°
D. 107°
6.下列运算正确的是( )
A. 4a+b=4abB. a2⋅a3=a5
C. 3a2−2a2=1D. (a−b)2=a2−b2
7.关于x的一元二次方程x2+mx−4=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
8.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα=35，堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度为( )
A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m
9.在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A. y=(x+2)2+1B. y=(x+2)2−1C. y=(x−2)2−1D. y=(x−2)2+1
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB=35°，则∠BPC的度数是( )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
11.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 150(1+x)2=96B. 150(1−2x)=96
C. 150(1−x2)=96D. 150(1−x)2=96
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 3 2
D. 4 2
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.当x= ______时，分式x−1x+2=0．
14.因式分解：2x2−18=______．
15.在数学这个英语单词“maths”中，随机选中一个字母是t的概率为______．
16.不等式组x−3<23x+1≥2x的解集是______．
17.一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是______．
18.如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的负半轴上，点F在AB上，点B，E均在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，若点B的坐标为(−1,6)，则正方形ADEF的周长为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：−12024+ 9−|−2|+(−8)÷4．
20.(本小题6分)
解分式方程：1x+1=2x．
21.(本小题10分)
在格点图中，已知△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上．
(1)将△ABC向上移五格，得到△A1B1C1；
(2)用直尺作出△ABC的外接圆圆心O.(保留作图痕迹)
22.(本小题10分)
为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”.人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查.根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
(1)求所抽取的学生总人数；
(2)该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
(3)为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
23.(本小题10分)
已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
24.(本小题10分)
2010年秋冬北方严重干早，凤凰社区人畜饮用水紧张．毎天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂毎天最多可调出80吨，乙厂毎天最多可调出90吨．从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
(1)若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
(2)设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元．试写出W关于与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使毎天的总运费最省？
25.(本小题10分)
已知二次函数y=−(x−2)2+7．
(1)写出该函数图象的对称轴______．
(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标．
(3)当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
26.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，∠ACB=∠DEF=90°，其中∠A=∠D，之后，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)，当∠ABE=∠A时，延长DE交AB于点H，交AC于点G．

(1)试判断图2中的四边形BCGE的形状，并说明理由．
(2)在图2中，若AC=6，BC=4，求出HE的长．
(3)如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE，AM交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−1|=1，
∴−3<0<|−1|<2．
故选：C．
先化简|−1|，再比较各数大小得结论．
本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法和绝对值的意义是解决本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：由中心对称图形的定义可知，选项A中的图形是中心对称图形，
故选：A．
根据中心对称图形的定义进行判断即可．
本题考查中心对称图形，理解中心对称图形的定义是正确解答的前提．
3.【答案】C
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
．
故选：C．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4.【答案】D
【解析】解：A、为了解一批口罩的质量适合采用的调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、要反映南宁市一周内每天的最高气温的变化情况宜采用折线统计图，故B不符合题意；
C、“经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是随机事件，故C不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，则“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件，故D符合题意；
故选：D．
根据全面调查与抽样调查，统计图的选择，随机事件、必然事件、不可能事件以及三角形内角和定理，逐一判断即可．
本题考查了三角形内角和定理，方差，全面调查与抽样调查，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件特点是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图：
∵CD/​/EF，
∴∠1=∠3=107°，
∴∠2=180°−∠3=73°，
故选：B．
先利用平行线的性质可得∠1=∠3=107°，然后再利用平角定义进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、4a与b不能合并，故A不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故B符合题意；
C、3a2−2a2=a2，故C不符合题意；
D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故D不符合题意；
故选：B．
根据完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：对于一元二次方程x2+mx−4=0，
Δ=m2−4×1×(−4)=m2+16>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
判断出判别式的值，可得结论．
本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，sinα=35，
则BCAB=35，
∵BC=15m，
∴AB=25m，
故选：B．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=x2的顶点为(0,0)，
得向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后顶点为(2,−1)，
故所得抛物线对应的函数表达式为y=(x−2)2−1．
故选：C．
由二次函数y=x2的顶点为(0,0)，得向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后顶点为(2,−1)，故所得抛物线对应的函数表达式为y=(x−2)2−1．
本题主要考查抛物线的表达式，解题关键是抓住顶点的变化．
10.【答案】C
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°−∠ACB=90°−35°=55°，
∵∠A和∠P都对BC，
∴∠BPC=∠A=55°．
故选：C．
先根据圆周角定理得到∠ABC=90°，则利用互余计算出∠A=55°，然后再利用圆周角定理得到∠BPC的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
11.【答案】D
【解析】解：第一次降价后的价格为150×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是150(1−x)2=96．
故选：D．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=96，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
12.【答案】A
【解析】解：如图，连接CP，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB= 2AC=4 2，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC=∠PEC=90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE=CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP=BP，
∴CP=12AB=12×4 2=2 2，
∴DE的最小值为2 2，
故选：A．
连接CP，先求出AB的长，再证明四边形CDPE是矩形，得DE=CP，然后由垂线段最短，得出当CP⊥AB时，线段DE的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结果．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：由题意可得x−1=0且x+2≠0，
解得x=1．
故答案为x=1．
分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题考查了分式的值为0的条件．属于基础题．
14.【答案】2(x+3)(x−3)
【解析】解：2x2−18=2(x2−9)=2(x+3)(x−3)，
故答案为：2(x+3)(x−3)．
提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15.【答案】15
【解析】解：由题意可得，
在数学这个英语单词“maths”中，随机选中一个字母是t的概率为15，
故答案为：15．
根据maths这个单词可知，一共有5个字母组成，其中选中的一个字母是t的可能性有1种，从而可以计算出随机选中一个字母是t的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
16.【答案】−1≤x<5
【解析】解：x−3<2①3x+1≥2x②，
解不等式①，得：x<5，
解不等式②，得：x≥−1，
∴该不等式组的解集是−1≤x<5，
故答案为：−1≤x<5．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
17.【答案】24π
【解析】解：根据题意，这个圆锥的侧面积=12×8π×6=24π．
故答案为：24π．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】8
【解析】解：设正方形的边长是a(a>0)，
∵B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，点B的坐标为(−1,6)，
∴6=k−1，
∴k=−6，
∵OD=OA+AD=a+1，
∴E的坐标是(−1−a,a)，
把E(−1−a,a)代入y=−6x，
∴a=−6−1−a，
∴a=2或a=−3(舍)，
∴正方形的周长是4a=8．
故答案为：8．
设正方形的边长是a(a>0)，表示出E的坐标是(−1−a,a)，把B的坐标代入y=kx(x<0)得到y=−6x，把E的坐标(−1−a,a)代入y=−6x得到关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是把E(−1−a,a)代入y=−6x，列出关于a的方程．
19.【答案】解：−12024+ 9−|−2|+(−8)÷4
=−1+3−2+(−2)
=−1+3−2−2
=−2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：1x+1=2x，
方程两边都乘x(x+1)，得x=2(x+1)，
x=2x+2，
x−2x=2，
−x=2，
x=−2，
检验：当x=−2时，x(x+1)≠0，
所以分式方程的解是x=−2．
【解析】方程两边都乘x(x+1)得出x=2(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)△ABC的外接圆圆心O如图所示．
【解析】(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)分别作出线段BC与线段AC的垂直平分线，相交于点O，则点O即为所求．
本题考查了作图−应用设计作图，平移变换的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的作法，熟记线段垂直平分线的作法是解题的关键．
22.【答案】20 3
【解析】解：(1)抽取的学生总人数是：170÷85%=200(人)，
200×10%=20(人)，
200×(1−10%−85%)−7
=200×5%−7
=10−7
=13(人)．
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
(2)由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×(1−10%−85%)
=1600×5%
=80(人)．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
(3)答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
(1)从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；
(2)由扇形统计图可直接求脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
(3)根据数据提出一条建议即可．
本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
23.【答案】(1)证明：如图，连结OA，
∵∠AEC=30°，
∴∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠B=30°，
∴∠OAD=180°−∠AOC−∠D=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
(2)解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM=EM，
∵∠AMO=90°，∠AOM=60°，
∴∠OAM=30°，
∴OM=12OA=12×10=5，
∴AM= OA2−OM2= 102−52=5 3，
∴AE=2AM=2×5 3=10 3．
【解析】(1)连结OA，由圆周角定理可求得∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°，则∠OAD=90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM=EM，在Rt△AOM中，∠AMO=90°，∠AOM=60°，则∠OAM=30°，已知⊙O的半径OA=6，则OM=12OA=3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
24.【答案】解：(1)设从甲厂调运了x吨饮用水，从乙厂调运了y吨饮用水，
由题意得：20×12x+14×15y=26700x+y=120，
解得：x=50y=70，
∵50<80，70<90，
∴符合条件，
∴从甲、乙两水厂各调运了50吨、70吨饮用水；
(2)从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙调运水(120−x)吨，
∵x≤80，且120−x≤90，
∴30≤x≤80，
总运费W=20×12x+14×15(120−x)=30x+25200，
∵W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W最小=26100元，
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省．
【解析】(1)设从甲厂调运了x吨饮用水，从乙厂调运了y吨饮用水，然后根据题意毎天需从社区外调运饮用水120吨与某天调运水的总运费为26700元列方程组即可求得答案；
(2)首先根据题意求得一次函数W=20×12x+14×15(120−x)，又由甲厂毎天最多可调出80吨，乙厂毎天最多可调出90吨，确定x的取值范围，则由一次函数的增减性即可求得答案．
此题考查了二元一次方程组与一次函数的实际应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住等量关系．
25.【答案】直线x=2
【解析】解：(1)由题意，∵y=−(x−2)2+7，
∴该函数图象的对称轴是直线x=2．
故答案为：直线x=2．
(2)由题意，令y=0，
∴0=−(x−2)2+7．
∴x=2+ 7或x=2− 7．
∴该函数图象与x轴的交点坐标为(2+ 7,0)，(2− 7,0)．
(3)由题意，∵y=−(x−2)2+7，
∴当x=2时，y取最大值为7．
又当x=−1是，y=−2；当x=3时，y=6，
∴−2≤y≤7．
(1)依据题意，由y=−(x−2)2+7即可判断得解；
(2)依据题意，令y=0，从而0=−(x−2)2+7，即可求出x后判断得解；
(3)依据题意，由y=−(x−2)2+7，可得当x=2时，y取最大值为7，又当x=−1是，y=−2；当x=3时，y=6，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26.【答案】解：(1)四边形BCGE为正方形，
理由如下：
∵∠BED=90°，
∴∠BEG−=180°−∠BED=90°，
∵∠ABE=∠A，
∴AC/​/BE，
∴∠CGE=∠BED=90°，
∴∠C=90°，
∴四边形BCGE为矩形，
∵∠ACB=∠DEB，
∴BC=BE，
∴矩形BCGE为正方形；
(2)∵矩形BCGE为正方形，
∴GE=BC=CG=4，GE//CB，
∴AG=AC−GC=6−4=2，
∵GE//CB，
∴△AGH∽△ACB，
∴AGAC=GHCB，
∴GH=43，
∴HE=GE−GH=4−43=83，
∴HE的长为83；
(3)AM=BE，
理由如下：
∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN，
∴∠C=90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM，
∵AN=BN，
∴BC=AM，
由(1)得BE=BC，
∴AM=BE．
【解析】(1)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB≌△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE的形状；
(2)根据(1)知GE=BC=CG=4，再根据△AGH∽△ACB，对应线段成比例，即可求出GH，进而求出HE；
(3)由已知∠ABE=∠BAC，可得AN=BN，再由等积方法S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM，再结合已知即可证明结论．
本题考查了旋转的性质、三角形相似、正方形的判定等四边形综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相似的相关知识．类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
______
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
______
到凤凰社区供水点的路程(千米)
运费(元/吨⋅千米)
甲厂
20
12
乙厂
14
15
类别
检查结果
人数
A
正常
170
B
轻度侧弯
20
C
中度侧弯
7
D
重度侧弯
3