2023-2024学年河北省邢台市高二（下）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邢台市高二（下）第一次质检数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且Δx→0limf(3+Δx)−f(3)2Δx=2，则f′(3)=( )
A. 2B. 1C. 8D. 4
2.崆山白云洞位于河北省邢台市临城县境内，是崆山白云洞风景区的主要景点.崆山白云洞是全球同纬度最大的溶洞，洞内四季恒温17℃.甲游客去崆山白云洞旅游，计划从5种洞厅模型和8种溶洞石头模型中任选1种购买，则不同的选法共有( )
A. 40种B. 13种C. 20种D. 3种
3.(x+1)24的展开式中，系数最大的项是( )
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
4.为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的2700名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这2700名观众中男、女人数之比为5：4，若样本容量为135，则不同的抽样结果共有( )
A. C27001500⋅C1200135种B. C150075⋅C120060种C. A2700135⋅A1200135种D. A120075⋅A120060种
5.函数f(x)=ex−x+2在[−2,2]上的值域为( )
A. [3,e2]B. [3,e−2+4]C. [e−2+4,e2]D. [e+1,e2]
6.某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有( )
A. 3600种B. 2400种C. 360种D. 240种
7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)>13f′(x)，则必有( )
A. 函数y=f(x)e13x为增函数B. 函数y=f(x)e3x为增函数
C. 函数y=f(x)e13x为减函数D. 函数y=f(x)e3x为减函数
8.将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A盒子中只放一个小球，则不同的放法数为( )
A. 28B. 24C. 18D. 12
9.如图1，现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t=π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )
A. 33006πcm/s
B. 33005πcm/s
C. 31503πcm/s
D. 31502πcm/s
二、多选题：本题共5小题，共30分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=lnx−f′(1e)x+e，则( )
A. f′(1e)=eB. f′(2e)=0C. f(2)=ln2D. f(1)=e
11.若(3x+2 x)n各项的二项式系数之和为32，则( )
A. (3x+2 x)n的展开式共有5项
B. Cn1=Cn4
C. (3x+2 x)n的展开式的常数项为40
D. (3x+2 x)n的展开式的第5项的系数为5
12.已知函数f(x)的图象如图所示，且定义在(−2,4)上的函数g(x)的导函数为f(x)，f(x)的导函数为f′(x)，则( )
A. g(x)在(0,1)上单调递减
B. 1是g(x)的极大值点
C. f′(x)的零点是0和2
D. 不等式xf′(x)<0的解集为(−2,0)∪(0,2)
13.平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则( )
A. 这两组平行线有70个交点B. 这两组平行线可以构成140条射线
C. 这两组平行线可以构成525条线段D. 这两组平行线可以构成945个平行四边形
14.设a=(1e)tan1e,b=(1e3)133−1e2,c=(1e2)sin1e2，则( )
A. ba>1B. bc<1C. ac<1D. bc−a>0
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
15.曲线y=−x2+7x+lnx在点(1,6)处的切线的斜率为______．
16.已知某圆上有8个不同的点，每过4个点画一个圆内接四边形，则圆内接四边形的个数为______．
17.函数f(x)=x3−12x2−14x的极小值点为______，极大值为______．
18.若函数f(x)=xsinx+csx−12ax2在(0,+∞)上单调递增，则a的最大值为______．
19.C461+C463+C465+⋯+C4645被17除的余数为______．
四、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
已知(1+2x)m+(1−x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn,m,n∈N+,m≤n，且a1−a0=2．
(1)求2m−n；
(2)若m+1=n，求a0+a2+a4+a6．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+x．
(1)若第一象限内的点P在曲线y=f(x)上，求P到直线l：4x−y−4=0的距离的最小值；
(2)求曲线y=f(x)过点(0,−16)的切线方程．
22.(本小题13分)
如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
23.(本小题13分)
已知函数f(x)=ex−ax2+2ax+2有两个不同的极值点x1，x2(x1(1)求a的取值范围；
(2)证明：x2−1<1x1−1．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得f′(3)=Δx→0limf(3+Δx)−f(3)Δx=2Δx→0limf(3+Δx)−f(3)2Δx=4．
故选：D．
根据导数的定义直接计算即可．
本题考查了导数的定义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：不同的选法共有5+8=13种．
故选：B．
根据分类加法计数原理即可求解．
本题主要考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为(x+1)24的展开通项公式为Tr+1=C24rx24−r，
又当r=12时，C2412取最大值，
则系数最大的项是第13项T13=C2412x12．
故选：C．
根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在这2700名观众中，男观众的人数为2700×55+4=1500，女观众的人数为2700−1500=1200．
在被抽取的135名观众中，男观众的人数为135×55+4=75，女观众的人数为135−75=60．
故不同的抽样结果共有C150075⋅C120060种．
故选：B．
根据分层抽样与计数原理计算即可．
本题考查分层抽样与计数原理，考查应用意识与数据处理能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得f′(x)=ex−1，
当−2≤x<0时，f′(x)<0，当00，
故f(x)在[−2,0)上单调递减，在[0,2]上单调递增，
所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，故f(x)min=f(0)=3，
因为f(−2)=e−2+4故所求的值域为[3,e2].
故选：A．
求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域．
本题主要考查了导数与单调性及值域关系的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，
共有A55A62=3600种排法．
故选：A．
利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“插空法”的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由y=f(x)e13x可得y′=f′(x)e13x−13f(x)e13x(e13x)2=f′(x)−13f(x)e13x，
由于f′(x)−13f(x)的正负无法确定，由导数与单调性关系可知，无法判断函数y=f(x)e13x单调性，
由y=f(x)e3x得y′=f′(x)e3x−3f(x)e3x(e3x)2=13f′(x)−f(x)3e3x<0，
因此函数y=f(x)e3x为减函数，故D正确，ABC错误．
故选：D．
结合已知求导即可根据导函数的正负确定单调性．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了排列、组合的综合应用，属于中档题．
分两种情况讨论：第一种情况，将五个小球按1，1，3分为三组；第二种情况，将五个小球按1，2，2分为三组，然后求解．
【解答】
解：若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且A盒子中只放一个小球，
分两种情况讨论：
第一种情况，将五个小球按1，1，3分为三组，
则安排的方法有C31C21A22=12种；
第二种情况，将五个小球按1，2，2分为三组，
则安排的方法有C31C21=6种，
故不同的放法数为12+6=18种．
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：设注入溶液的时间为t(单位：s)时，溶液的高为hcm，
则13π⋅(15h)2⋅h=2t，得h=3150tπ．
因为h′=133150πt2，所以当t=π时，h′=133150π3=31503π，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为31503πcm/s．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由题意得f′(x)=1x−f′(1e)，f′(1e)=e2，
则f(x)=lnx−e2x+e,f′(x)=1x−e2，所以f′(2e)=0,f(2)=ln2,f(1)=e2．
故选：BC．
可求出导函数f′(x)，然后可求出f′(1e)的值，然后即可得出f(x)和f′(x)的解析式，从而得出正确的选项．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：已知(3x+2 x)n各项的二项式系数之和为32，
则2n=32，
即n=5，
对于选项A，(3x+2 x)n的展开式共有6项，
即选项A错误；
对于选项B，C51=C54，
即选项B正确；
又(3x+2 x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k(3x)5−k(2 x)k=C5k2kx10−5k6，
对于选项C，令10−5k6=0，
得k=2，
即(3x+2 x)5的展开式的常数项为C5222=40，
即选项C正确；
对于选项D，(3x+2 x)5的展开式的第5项的系数为C5424=80，
即选项D错误．
故选：BC．
由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由图可知，当00，当1所以g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)在(1,2)上单调递减，
1是g(x)的极大值点，A错误，B正确；
f(x)的单调递增区间为(−2,0]，[2,4)，单调递减区间为(0,2)，
当−20，
当0由xf′(x)<0，得−20，或0解得−2所以等式xf′(x)<0的解集为(−2,0)∪(0,2)，D正确．
故选：BCD．
根据函数f(x)的图象可求出函数g(x)的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数f(x)的单调区间即可得出其导函数f′(x)的零点及符号分布情况，即可判断CD．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数零点的求解及不等式的求解，属于中档题．
13.【答案】ACD
【解析】解：对于A，两组平行线相交有10×7=70个交点，A正确；
对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成4×70=280条射线，B错误；
对于C，10条平行线中的每一条有C72条线段，7条平行线中的每一条有C102条线段，
则可以构成10C72+7C102=525条线段，C正确；
对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，
则可以构成C102C72=945个平行四边形，D正确．
故选：ACD．
根据给定条件，利用两个计数原理，结合组合应用问题逐项分析计算得解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
14.【答案】ACD
【解析】解：对于A、B：由1e3−1e2<0，得b=(1e3)1e3−1e2>1，
由tan1e>0，sin2e2>0，
得0所以b>a>0，b>c>0，
则ba>1,bc>1，则A正确，B错误；
对于C、D：当x∈(0,π2)时，f(x)=tanx−x，
则f′(x)=1cs2x−1=1−cs2xcs2x>0，
所以f(x)在(0,π2)上单调递增，
得f(x)>f(0)=0，即tanx>x．
记g(x)=x−sinx，则g′(x)=1−csx>0，
所以g(x)在(0,π2)上单调递增，
得g(x)>g(0)=0，即x>sinx．
故当x∈(0,π2)时，tanx>x>sinx，
则tan1e>1e,1e2>sin1e2，
因为1e=ee2>2×1e2>2sin1e2，
所以tan1e>2sin1e2，
得a=(1e)tan1e<(1e)2sin1e2=(1e2)sin1e2=c，
则ac−a>0，故C，D正确．
故选：ACD．
根据指数函数的性质，可得b>a>0，b>c>0，继而可判断选项A，B；构造函数f(x)=tanx−x及g(x)=x−sinx，利用导数可判断单调性，继而可得tanx>x>sinx，进一步分析即可判断选项C，D．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】6
【解析】解：∵y=−x2+7x+lnx，∴y′=−2x+7+1x，
∴曲线y=−x2+7x+lnx在点(1,6)处的切线的斜率为−2+7+11=6．
故答案为：6．
求出原函数的导函数，代入x=1得到答案．
本题考查导数的几何意义及应用，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
16.【答案】70
【解析】解：过圆上任意四个不同的点都可以画出一个内接四边形，
故得到圆内接四边形的个数为C84=70．
故答案为：70．
根据组合数公式进行计算即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
17.【答案】x=73 18
【解析】解：由f(x)=x3−12x2−14x得f′(x)=3x2−x−14=(x+2)(3x−7)，
令f′(x)>0，解得x>73或x<−2，
令f′(x)<0，解得−2所以f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,73)上单调递减，在(73,+∞)上单调递增，
故f(x)在x=73处取极小值，在x=−2处取极大值，
故f(x)极大值=f(−2)=−8−2+28=18，
故答案为：x=73，18．
求导，即可得函数的单调性，结合极值点的定义即可求解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
18.【答案】−1
【解析】解：因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0，x∈(0,+∞)，
由题意得f′(x)=xcsx−ax=x(csx−a)≥0，
因为x>0，所以csx−a≥0，
即a≤csx在x∈(0,+∞)恒成立，等价于在x∈(0,+∞)上，a≤(csx)min，
而csx在x∈(0,+∞)的最小值为−1，
即a≤−1．
故答案为：−1．
利用导数研究函数的单调性可得f′(x)≥0，x∈(0,+∞)，再由函数不等式恒成立问题求函数最值即可得出结论．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
19.【答案】15
【解析】解：由题意得C461+C463+C465+⋯+C4645=12×246=2×244，
因为2×244=2×1611=2×(17−1)11=2×(C1101711−C1111710+⋯+C1110171−C1111170)
=2C1101711−2C1111710+⋯+2C1110171−2=17a−2=17(a−1)+15,a∈N+，
所以所求的余数为15．
故答案为：15．
根据二项式系数的性质得到C461+C463+C465+⋯+C4645=2×244，再化简得到2×244=2C1101711−2C1111710+⋯+2C1110171−2=17(a−1)+15,a∈N+，得到答案．
本题考查的知识点：二项式的展开式，整除问题的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)令x=0，则a0=1+1=2，
又a1−a0=2，所以a1=4．
由题意得Cm1⋅2x+Cn1⋅(−x)=a1x=4x，
得2m−n=4．
(2)由2m−n=4m+1=n，得m=5n=6．
令x=1，得(1+2)5+(1−1)6=a0+a1+a2+⋯+a6，①
令x=−1，得(1−2)5+(1+1)6=a0−a1+a2−⋯+a6，②
①+②，得2(a0+a2+a4+a6)=35+0−1+26=306，
所以a0+a2+a4+a6=153．
【解析】(1)令x=0，求得a0，可得a1，利用通项公式求得答案；
(2)根据题意可求得m，n，分别令x=1，x=−1，两式相加求得结果．
本题考查的知识点：赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设P(x0,x03+x0)，由题意得f′(x)=3x2+1，
当曲线y=f(x)在P的切线与l平行时，P到l的距离最小，
此时f′(x0)=3x02+1=4，
得3x02=3，即x0=1，则P(1,2)，
故P到l的距离的最小值为|4−2−4| 42+12=2 1717；
(2)设所求切线的切点为(x1,x13+x1)，
由(1)得f′(x1)=3x12+1，则3x12+1=x13+x1+16x1，
解得x1=2，∴切点为(2,10)，
切线的斜率为3×22+1=13．
故所求的切线方程为y−10=13(x−2)，
即y=13x−16．
【解析】(1)设P(x0,x03+x0)，求出在点P的切线斜率与直线l的斜率相等时，点P的坐标，进一步计算即可；
(2)设出切点坐标，利用斜率相等建立方程，解出后求得切点坐标，进一步计算即可．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)由全排列可得，共有A55=120种不同的种植方案；
(2)第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有C52C41=120种方案，
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有A33=6种方案，
所以共有40×6=240种不同的种植方案；
(3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花，
第一类，E区域种植红色的花，A，B，C，D4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在A，D或B，C区域，共有1×A31A21A22=12种方案，
第二类，E区域种植黄色的花，同理可得，共有1×A31A21A22=12种方案，
第三类，E区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花，
故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有1×A21A21A22=8种方案，
第四类，E区域种植白色的花，同理可得，共有1×A21A21A22=8种方案，
综上，共有12×2+8×2=40种不同的种植方案．
【解析】(1)由全排列公式求出答案；
(2)先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
(3)对E区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)已知f(x)=ex−ax2+2ax+2，函数定义域为R，
可得f′(x)=ex−2ax+2a，
当a≤0时，f′(x)在R上单调递增，
此时f′(x)不存在两个不同的零点，
即f(x)没有两个不同极值点x1，x2，不符合题意；
当a>0时，
不妨令f′(x)=0，
解得12a=x−1ex，
不妨设g(x)=x−1ex，函数定义域为R，
可得g′(x)=2−xex，
当x<2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x>2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x=2时，函数g(x)取得极大值，极大值g(2)=1e2，
因为当x<1时，g(x)<0，当x→+∞时，g(x)→0，
所以0<12a<1e2，
解得a>e22，
则a的取值范围为(e22,+∞)；
(2)证明：由(1)知g(x)=x−1ex，
因为g(1)=0，
所以1不妨令g(x1)=g(x2)，
可得ex2ex1=x2−1x1−1，
即x2−x1=ln(x2−1)−ln(x1−1)，
整理得x2−1−ln(x2−1)=x1−1−ln(x1−1)，
不妨设h(x)=x−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=1−1x=x−1x，
当0当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
不妨设k(x)=h(x)−h(1x)，
可得k′(x)=h′(x)+1x2h′(1x)=(x−1)2x2≥0，
所以函数k(x)在(0,+∞)上单调递增，
又k(1)=h(1)−h(1)=0，
所以当0即h(x)因为1所以0即h(x2−1)=h(x1−1)因为1x1−1>1，x2−1>1，
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增，
故x2−1<1x1−1．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤0和a>0这两种情况，利用导数得到函数f(x)的单调性和极值，进而即可求解；
(2)结合(1)中信息推出1本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．