北京市第一七一中学2021—2022学年度八年级下学期期中数学试卷(含答案)

这是一份北京市第一七一中学2021—2022学年度八年级下学期期中数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B. C. D.
2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，
C. 6，8，11D. 5，12，23
3. 平行四边形的一个内角是70°，则其他三个角是（ ）
A. 70°，130°，130°B. 110°，70°，120°
C. 110°，70°，110°D. 70°，120°，120°
4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
B. 3
C. D. 2
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互 相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
7. 如图，在△中, ，，边上的中线，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图（1）中对角线AC的长为（ ）
A 20cmB. 30cmC. 40cmD. cm
10. 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为4的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB，CK=1．线段KG的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ( ).
A. B. C. D.
二、填空题
11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________.
12. 比较大小：________.
13. 菱形的两条对角线长分别为5和8，则这个菱形的面积为__________．
14. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．
15. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________．
16. 如图，中，，，BD是的平分线，,______________．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为__________．
18. 如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B2的坐标是_________，点B2022的坐标是_________
三、解答题
19. 计算下列各式：
（1）
20. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC重直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
21. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，EF、BD相交于点O，求证：OE＝OF．
已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6值．
23. 在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.
（1）求证.
（2）若,且,求.
24. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.
(1)求证：△ABC为直角三角形．
(2)求AE的长．
25. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
26. 已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．
（1）如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是(点M与端点B不重合) ；∠NCE与∠BAM的数量关系是 ；
（2）若点M在BC的延长线时；
①依题意，补全图2；
②（1）中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．
27. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为__________．
(2)当时，求的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案与解析
一、选择题
1-5ABCBD 6-10CACDD
二、填空题
11.x≥8 12. 13.20 14. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.
15. 3 16.N 17. 18.
三、解答题
19.解：（1）原式；
（2）原式．
20. 解：（1）如图即为补全的图形；
（2）证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21. 证明：方法1，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
方法2，四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
在和中，，
，
．
22. 解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1+1）2-7，
＝5﹣7，
＝﹣2．
23. （1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=8．
24. （1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
又∵42+32=52，
即AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
设AE=x，则EC=4-x．
∴x2+32=（4-x）2．
解之得x=，即AE的长是．
25. （1）证明： ∵ 菱形ABCD
∴AD∥BC ， AD=BC
∵CF=BE
∴BC=EF
∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF=90°
∴平行四边形AEFD是矩形
（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF,AB=CD,CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积=
26.解：（1）连接AC，则∠BAC=45°，
∵M在BC上，不与B重合，
∴≤45°，
∵AB=BC，∠ABN=∠CBN=45°，BN=BN，
∴△BAN≌△BCN，
∴∠BAM=∠BCN，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME，
∴∠BAM=∠ECM，
∴∠NCE=∠BCN+∠ECM=2∠BAM，
故答案为≤45°；（或）；
（2）①补全图如下：
②有变化；∠NCE=180°-2∠BAN.理由如下：
如图：连接AC，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴NA=NC，
∴∠NAC=∠NCA，
∴∠ENC=2∠NAC，
∵∠NAC=∠BAN-45°，∠ENC=90°-∠NCE，
∴90°-∠NCE=2（∠BAN-45°），
∴∠NCE=180°-2∠BAN.（或）．
27. 解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当时，的最小值为2；当时，的最大值为-2；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．