上海市闵行区教育学院附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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卷面分值：150分 考试时间：120分钟
一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分）
1. 函数的驻点为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据驻点的定义，即可求解.
【详解】，由，得或，
所以函数的驻点为.
故答案为：
2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答）
【答案】32
【解析】
【分析】根据题意，可知每位同学都有2种报名方法，结合分步乘法计数原理，即可求解.
【详解】由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，
则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法，
故答案为：32
3. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数__________．（用数字作答）
【答案】48
【解析】
【分析】根据捆绑法求解即可.
【详解】由题意，先将甲乙排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种.
故答案为：48
4. 已知数列的前n项和为，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解.
【详解】.
故答案为：
5. 若排列数，则________
【答案】3
【解析】
【详解】 由，所以，解得.
6. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，由等差数列的性质可知，，
所以.
故答案为：
7. 函数的最小值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值.
【详解】由题意可知，，
令，有或（舍），
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
故答案为：
8. 设函数，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】首先求函数的导数，再求导数值.
【详解】，.
故答案为：2
9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是__________．
①是函数的极值点； ②是函数的最小值点；
③是函数的极小值点； ④在区间上单调递增
⑤在处切线的斜率大于零； ⑥是函数的驻点也是极值点．
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】根据导数与单调性、极值的关系逐个选项判断即可.
【详解】对①④，根据导函数图象可知当时，；当时，，
∴函数在上单调递减；在上单调递增，故①④正确；
对②，因为在上单调递增，故，故不是函数最小值点，故②错误；
对③⑥，因为左右两侧导函数均大于0，故不是极小值点，故⑥错误；
对⑤，由图可得，故在处切线的斜率大于零，故⑤正确.
综上①④⑤正确.
故答案为：①④⑤
10. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：“心有灵犀”数有或，则他们“心有灵犀”的概率为．
考点：古典概型．
11. 已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的特征，即可求，即可求解的值.
【详解】，，，，
发现函数的导函数中第一部分是周期为4的函数，第二部分的导数不变，
，所以，，
则.
故答案为：.
12. 关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知：函数的图象在区间上的图象与直线有三个不同的交点，求出直线与相切时的值，以及过点时的值，数形结合即可求解.
【详解】令，
则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，
等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，
设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，
所以，，所以，
所以切线方程为，整理可得：，
因为切线过原点，所以，即，所以，
所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，
记，则直线的斜率为，
由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，
则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，
所以实数的取值范围是
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、选择题（本大题共4题，其中13、14题每题4分；15、16 题每题5分，共18分）
13. 数列满足，，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列中项的关系式，即可求解.
【详解】.
故选：C
14. 函数的导函数为，“在区间上，导函数”是“函数在该区间上严格增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的性质判断充分性，再举反例判断必要性即可.
【详解】充分性：若，则显然为增函数，充分性得证.
必要性：若，则为增函数，但，必要性不得证.
所以“在区间上，导函数”是“函数在该区间上严格增”的充分不必要条件.
故选：A
15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断符号，由此求得不等式的解集.
【详解】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
16. 对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（ ） 种．
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，，再根据列举法求解即可.
【详解】因为函数的定义域，值域为，
所以要满足“增函数”的定义，一定是，；
元素的取值情况有如下几种：
①三个元素均与7对应，即，符合题意；
②三个元素中有2个元素与7对应，则有，或，，两种情况；
③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有，或，，或，，三种情况；
综上可得共有6种情况.
故选：B
三、解答题（本大题共5题，其中第17-19题每题14分，20、21题每题18分，共78分）
17. 一种装有10颗巧克力的礼盒里有草莓和牛奶两个口味，其中草莓味的有4颗，现从中随机取出2颗．
（1）求恰有1颗是草莓味的概率；
（2）记取出2颗全是牛奶味的方法数为n，试解关于正整数x的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据所有可能的情况数与满足条件的情况数计算即可；
（2）根据组合数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意，草莓味的有4颗，牛奶味的有6颗，
从10颗巧克力的礼盒中随机取出2颗，所有可能的情况有种，
其中恰有1颗是草莓味的情况有种，故恰有1颗是草莓味的概率为
【小问2详解】
由题意，，则有或，
解得或
18. 已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量求出的通项公式，设等比数列的公比为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
因为，，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故；
设等比数列的公比为，又，，所以，
解得或（舍去），所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
.
19. 如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为，宽为．已知梁的抗弯强度为．
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）求的值使得抗弯强度最大．
【答案】（1），定义域为
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得出，即可得出关于的函数，结合实际情况写出该函数的定义域；
（2）利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的的值.
【小问1详解】
由勾股定理可得，则，
所以，，其中，即该函数的定义域为.
【小问2详解】
对函数求导得，由可得，列表如下：
所以，当时，取得极大值，亦即最大值，且
20. 已知函数，
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值．
【答案】（1）
（2）当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入，根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导后分与讨论即可；
（3）求导后可得，再求导分析的单调性，进而可得的正负区间，从而得到的单调性证明即可.
【小问1详解】
当时，，，则，，
故曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由题意，，则当时，恒成立，单调递增；
当时，令有，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上，当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
由题意，，，则，
令，则，即增函数.
又，故在上，在上.
故在上单调递减，在上单调递增.
故当实数时，函数在处取得极小值.
21. 已知函数的定义域为，其导函数为，对任意的都有，则称函数为上的“梦想函数”．
（1）已知函数，试判断是否是其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
（2）已知函数，．试求一个定义域，使成为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
（3）已知函数，为其定义域上的梦想函数，求实数的取值范围；当取最大负整数时，进一步求出函数的值域．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2），理由见解析
（3），的值域为
【解析】
【分析】（1）举反例判断即可；
（2）根据“梦想函数”满足对任意的都有求解即可；
（3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离得，再构造函数利用导数分析单调性与最值求解可得.
【小问1详解】
函数不是其定义域上的“梦想函数”.
理由如下：
的定义域为，存在，使得，
故不是其定义域上的“梦想函数”
小问2详解】
则，由题意区间上恒成立，即，解得，故可取
【小问3详解】
，
依题意有对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而.
综上，满足条件的实数的取值范围是.
当取最大负整数时，，.
此时，故为减函数，又，，
故的值域为.
【点睛】方法点睛：
（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键；
（2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏；增
极大值
减