江西省吉安市第八中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省吉安市第八中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含江西省吉安市第八中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题原卷版docx、江西省吉安市第八中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。

1. 某款手机芯片的面积大约仅有 ，将 0.00000000803用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.00000000803=．
故选：B
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
2. 如图，直线a，b相交于点O，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（ ）
A. 同角的余角相等B. 等角的余角相等
C. 同角的补角相等D. 等角的补角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的补角相等即可求解．
【详解】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．
故选：C
【点睛】本题考查了“同角的补角相等”这一定理的应用，熟知“同角的补角相等”是解题的关键．
3. 夏夏在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水侵染了， ，那么这部分内容可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式乘除运算法则求解即可．
【详解】解：∵．
∴被墨水侵染了的部分内容可能是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4. 如图，射线的端点在直线上，，点在平面内，与互余，则的度数为______．
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，角的和差．先根据互为余角的定义求出的度数，再分两种情况讨论：当在直线上方时；当在直线下方时；分别计算即可．
【详解】解：∵，与互余，
∴，
当在直线上方时，
；
当在直线下方时，
，
∴；
综上，的度数为90°或170°，
故选：D．
5. 若，则的值（ ）
A. 1B. 9C. 16D. 21
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．根据完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：D．
6. 设，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知变形得M=20212-2020×2022=20212-（2021-1）（2021+1），N=20212-4042×2022+20222=20212-2×2021×2022+20222，根据平方差公式和完全平方公式即可得到答案．
【详解】解：M=20212-2020×2022
=20212-（2021-1）（2021+1）
=20212-（20212-1）
=20212-20212+1
=1，
N=20212-4042×2022+20222
=20212-2×2021×2022+20222
=（2021-2022）2
=1，
∴M=N，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若（x＋2）0有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为： x≠﹣2．
【点睛】本题考查了零指数幂有意义的条件，即＝1，其中，掌握零指数幂有意义的条件是解题的关键．
8. 如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短原理解题．
【详解】过点作于点，将水泵房建在了处，
这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 已知，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数的幂的乘法，掌握同底数幂相乘底数不变，指数相加是解题的关键．
10. 若多项式恰好是另一个整式的平方，则的值是__________．
【答案】±6
【解析】
【分析】根据完全平方公式 可得k2=36，即可求出k值.
【详解】解：∵，
∴k2=36,
∴k=±6.
故答案为：±6.
【点睛】本题考查完全平方公式的灵活应用，两数的平方和，再加上或减去它们乘积的2倍，就构成了完全平方式.
11. 如图，直线相交于点比大，则______ °．

【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了余角的计算，对顶角的性质，根据题意，列式解答即可．
【详解】∵，
∴．
∵比大，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：16．
12. 若，则x的值为_________________．
【答案】，或
【解析】
【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂运算，解题的关键是注意进行分类讨论，根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零数的零次幂为1，进行求解即可．
【详解】解：当且时，解得；
当时，解得；
当，且是偶数时，解得，
故答案为：，或．
三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的运算方法进行计算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征；零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的运算方法是正确解答的前提．
14. 利用方格，按要求作图：
（1）过点画出直线的平行线；
（2）过点画出直线的垂线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点，过点画出直线的平行线；
（2）根据网格的特点，过点画出直线的垂线．
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求；
小问2详解】
解：如图所示，直线AQ即为所求．
【点睛】本题考查了画平行线，画垂线，掌握平行线以及垂线的画法是解题的关键．
15. 张老师在黑板上布置了一道题：
已知，求代数式值，小白和小红展开了下面的讨论：

根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
【答案】小红的说法正确；；
【解析】
【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：小红的说法正确；
，
把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
16. 已知一个角补角比它的余角的3倍小，求这个角是多少度？
【答案】这个角是
【解析】
【分析】本题主要考查了补角、余角的有关计算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据补角的定义列出方程．设这个角为x度，根据这个角的补角比它的余角的3倍小列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角为x度，根据题意得：
，
解得：，
答：这个角是．
17. 某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，请问正确的计算结果应该是多少?
【答案】
【解析】
【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以得出正确结果．
【详解】解：这个多项式是：
，
则正确的计算结果为：
．
【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．
四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 填空：已知，，平分，，
（1）如图，在内部时，求的度数．
解：，
，
，
，
（_________________）（填写推理依据），
，
，
平分，
_____=_____°（__________）（填写推理依据），
______°．
（2）若在外部，的度数为________．
【答案】（1）同角的余角相等，，，角平分线的定义，
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键．
（1）利用同角的余角及角平分线的定义，根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可；
（2）作出图形，类比（1）即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴．
故答案为：同角的余角相等，，，角平分线的定义，；
【小问2详解】
在外部时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
19. 已知常数、、是的三条边长．
（1）若是完全平方式，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，满足，试判断的形状．
【答案】（1）5 （2）等腰三角形
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值；
（2）将已知等式变形为：，然后利用非负数的性质求得、的值；然后等腰三角形的判定方法推知为等腰三角形．
【小问1详解】
解： 是完全平方式，
，
解得或（舍去）．
故的值是5；
【小问2详解】
由，得，
则：，，
故，．
由（1）知，．
故．
所以为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，等腰三角形的判定以及完全平方公式等知识点，解题时，需要注意：常数、、是的三条边长，所以它们都是正数．
20. (1)观察下列各式： ……
你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：
；
(2)请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性.
【答案】(1)50，74；(2)(n+2)2−n2=4(n+1)，说明见解析.
【解析】
【分析】(1)由62-42=4×5，5界于4和6之间的正整数，112-92=4×10，10界于11和9之间的正整数，172-152=4×16，16界于17和15之间的正整数，可得出512-492=4×50，752-732=4×74；
(2)由(1)推出该规律为：(n+2)2-n2=4(n+1)．
【详解】解：(1)由62−42=4×5，5界于4和6之间的正整数，
112−92=4×10，10界于11和9之间的正整数，
172−152=4×16，16界于17和15之间的正整数，
∴试着推出：512−492=4×50，50界于49和51之间的正整数，且左边=右边成立，
752−732=4×74，74界于75和73之间的正整数，且左边=右边成立；
(2)可以得出规律：(n+2)2−n2=4(n+1)，
左边=(n+2)2−n2=(n+2+n)(n+2−n)=4(n+1)，
左边=右边
故答案为(1)50，74；(2)(n+2)2−n2=4(n+1)，说明见解析.
【点睛】本题考查了数字变化规律的问题，本题实质是逆运用平方差公式进行求解，熟记平方差公式对规律的发现很有帮助．
五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图所示的是人民公园的一块长为米．宽为米的空地．预计在空地上建造一个网红打卡观景台，阴影部分．
（1）请用、表示观景台的面积．结果化为最简
（2）如果修建观景台的费用为元平方米．且已知米，米那么修建观景台需要费用多少元？
【答案】（1）平方米
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可；
（2）代入进行计算即可．
【小问1详解】
阴影部分的面积为：

；
答：观景台的面积为平方米；
【小问2详解】
当时，
原式
平方米，
元．
答：修建观景台需要费用为元．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系．
22. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
（1）______ ；若，则______ ；
（2）已知，，，若，求的值；
（3）若，，令．
①求的值；
②求的值．
【答案】（1）4，64
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；
（3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可．
【小问1详解】
解：，
；
，且，
．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，，，若，
，，．
，
，即，
；
【小问3详解】
解：①，，
，，
，，
；
②，
，
．
由①知：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键．
六．（本大题共1小题，共12分）
23. 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式： ．
②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 ．
（2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值．
我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30，
则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）=20﹣30=﹣10，
所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80．
【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值．
（3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重要部分LFKD是一个长方形，AL=8，CK=12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①通过用整体和部分的和两种形式表示图形的面积就得到该题结果；
②由①结果（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2可得，将x＋y＝8，x2＋y2＝40代入计算即可；
（2）设4−x＝a，5−x＝b，由（a−b）2＝a2−2ab＋b2可得a2＋b2＝（a−b）2＋2ab，将4−x＝a，5−x＝b代入计算即可；
（3）设正方形ABCD的边长为x，则正方形ELDN和正方形DKGM的边长为x−8和x−12，再设x−8＝a，x−12＝b，由（a−b）2＝a2−2ab＋b2可得，将x−8＝a，x−12＝b和a2＋b2＝400代入计算即可．
【小问1详解】
解：①由该正方形面积可表示为（x＋y）2，又可以表示为x2＋2xy＋y2，
可得等式（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，
故答案为：（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2；
②由（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2可得：
，
∴当x＋y＝8，x2＋y2＝40时，
．
故答案为：12．
【小问2详解】
由完全平方公式（a−b）2＝a2−2ab＋b2可得：
a2＋b2＝（a−b）2＋2ab，
设4−x＝a，5−x＝b，得
（4−x）2＋（5−x）2
＝[（4−x）−（5−x）]2＋2（4−x）（5−x）
＝（−1）2＋2×8
＝17．
故答案为：17．
【小问3详解】
设正方形ABCD的边长为x，则正方形ELDN和正方形DKGM的边长为x−8和x−12，
再设x−8＝a，x−12＝b，由（a−b）2＝a2−2ab＋b2可得，
∴当x−8＝a，x−12＝b，a2＋b2＝400时，
，
即长方形NDMH的面积为192．
【点睛】本题主要考查了数形结合对完全平方公式的理解与应用，关键是能结合图形对公式进行变式应用．