江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

展开

这是一份江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题原卷版docx、江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （）
A. B. C. D.
2 已知向量，若与垂直，则（）
A. 13B. C. 11D.
3. 在中，若，则（）
A. B. C. D.
4. 在中，内角所对的边分别为，则（）
A. 1B. 2C. D.
5. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
6. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）
A. B. C. 1D. 5
7. 在平行四边形中，，则（）
A. 12B. 16C. 14D. 10
8. 已知，且，，则的值为（）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 计算下列各式，结果为是（）
A.
B.
C.
D.
10. 对于有如下命题，其中正确的是（）
A. 若，则钝角三角形
B. 若，则的面积为
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若且有两解，则的取值范围是
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（）
A. 的外接圆的半径为
B. 的内切圆的半径为
C. 若为的中点，则
D. 若为的外心，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为______海里．
13. 已知，则________.
14. 已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，的夹角是60°，计算
（1）计算，；
（2）求和的夹角的余弦值.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
18. 已知函数，xR.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最小值并指出此时的取值；
（3）若，求的值.
19. 如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.

（1）当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；
（2）若的面积，求木栈道长；
（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的.
①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域；
②求木栈道的最小值.