2023-2024学年甘肃省武威市天祝一中、民勤一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市天祝一中、民勤一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量AO，BO，OC是( )
A. 相同的向量B. 模相等的向量C. 共线向量D. 共起点的向量
2.已知|a|=2，b在a上的投影为13，则a⋅b=( )
A. 13B. −13C. 23D. −23
3.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
4.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a：b：c=1：2： 7，则角C=( )
A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π6
5.已知向量|a|=1,|b|=2，它们的夹角为23π，则|2a+b|=( )
A. 4B. 12C. 2D. 2 3
6.在△ABC中，AB= 7,AC=2,C=120°，则sinA=( )
A. 714B. 2114C. 5 714D. 3 2114
7.如图，在△ABC中，AB=4DB,P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12AC
B. −14AB+13AC
C. −58AB+12AC
D. −58AB+13AC
8.在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A=π3，CE=3ED，则AE⋅BE=( )
A. −9B. −3C. 3D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中，错误的是( )
A. λa⋅b=(λa)⋅b=a⋅(λb)B. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
C. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)D. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
10.在△ABC中，AB= 3，AC=1，B=π6，则△ABC的面积可以是( )
A. 32B. 1C. 33D. 34
11.若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
A. λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ，μ有无数多对
C. λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D. 若存在实数λ，μ，使λe1+μe2=0，则λ=μ=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(3,6)，则与向量a平行的单位向量为______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=4，且△ABC的面积为a2+b2−c2，则△ABC的外接圆的面积为______．
14.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD，若AE⋅AC=18，则|AE|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,4),b=(m,1),c=(1,2)，且(a−2b)⊥c．
(1)求m的值；
(2)求向量a−b与2b−3c的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 3bcsC=csinB．
(1)求角C；
(2)若b= 2，△ABC的面积为2 3，求c．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=( 3a,b),n=(3csA,sinB)且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7,c=2，求△ABC内切圆的半径．
18.(本小题17分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 3,∠BAC=30°，F是线段AC上的动点(异于端点)，BC=3BE．
(1)若F是AC边的中点，求AE⋅BF的值；
(2)当AE⋅BF=−7+ 34时，请确定点F的位置．
19.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中(B,D在AC的两侧)，AD=CD=1，∠ADC=120°．
(1)若∠DAB=90°,BC=3 22，求∠ABC；
(2)若AB=2BC，求四边形ABCD的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵O是正△ABC的中心，∴向量OA，OB，OC分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
∵O是正三角形的中心，∴O到三个顶点的距离相等，
即|AO|=|OB|=|OC|，
但是向量AO，BO，OC它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量．
故选：B．
根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解．
本题考查相等向量的定义，属基础题，正三角形中心的定义，正确理解相等向量的定义是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：因为|a|=2，b在a上的投影为13，
所以a⋅b|a|=13，
所以a⋅b=13|a|=13×2=23．
故选：C．
根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解．
本题考查平面向量的数量积运算，涉及投影，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，
∴不存在λ，使AB=λBC，
故A，B，C三点不共线，
故选项A错误；
∵BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使CD=λBC，
故B，C，D三点不共线，
故选项C错误；
∵AC=AB+BC=−a+13b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使AC=λCD，
故A，D，C三点不共线，
故选项D错误；
故选：B．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：不妨设a=k，b=2k，c= 7k，
则由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=k2+4k2−7k22×k×2k=−12，
又C∈(0,π)，解得：C=2π3．
故选：B．
不妨设a=k，b=2k，c= 7k，余弦定理可得csC=−12，又C∈(0,π)，即可解得C的值．
本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2，且它们的夹角为23π，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs23π=−1，
所以|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4a⋅b+b2= 4+(−4)+4= 4=2．
故选：C．
先根据已知条件计算出a⋅b，然后根据|2a+b|= (2a+b)2化简计算，即可得到本题的答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：△ABC中，AB= 7,AC=2,C=120°，
由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，可得sinB=ACABsinC=2 7⋅ 32= 217，
所以csB= 1−sin2B=2 77，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC= 217⋅(−12)+2 77⋅ 32= 2114．
故选：B．
由正弦定理可得sinB的值，可得csB的值，再由两角和的正弦可得sinA的值．
本题考查正弦定理的应用及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，可得BD=−14AB，BC=AC−AB，
因为BP是△DBC的中线，所以BP=12(BD+BC)=−18AB+12(AC−AB)=−58AB+12AC．
故选：C．
根据题意，以AB,AC作为基底，依次表示出BD,BC，然后根据三角形中线的性质算出答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵AE=AD+DE=AD+14DC=AD+14AB,BE=BC+CE=AD+34CD=AD−34AB，
∴AE⋅BE=(AD+14AB)⋅(AD−34AB)=AD2−12AB⋅AD−316AB2=9−6csπ3−3=3．
故选：C．
以AD,AB为基底表示出AE,BE，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果．
本题考查了平面向量数量积的定义和运算律，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，λa⋅b=(λa)⋅b=a⋅(λb)，符合平面向量数量积的运算律，故A项正确；
对于B，若b=0，则满足a//b且b/​/c，但是a,c不一定平行，故B项不正确；
对于C，(a⋅b)⋅c=λc表示与c共线的向量，a⋅(b⋅c)=μa表示与a共线的向量，
因此(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)不一定成立，C项不正确；
对于D，若a⋅c=b⋅c，则(a−b)⋅c=0，可知a−b与c互相垂直，
不一定有a−b=0，即a=b不一定成立，故D项不正确．
故选：BCD．
根据平面向量数量积的运算律，判断出A项的正误；根据两个向量平行的概念与性质，判断出B项的正误；根据数量积的定义，结合举反例加以说明，判断出C、D两项的正误．
本题主要考查平面向量平行的概念、向量的数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵AB= 3，AC=1，B=π6，
∴由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，
∴sinC=AB⋅sinBAC= 32，
∴C=π3，A=π2，S=12AB⋅ACsinA= 32
或C=2π3，A=π6，S=12AB⋅ACsinA= 34．
故选：AD．
先由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．
本题主要考查了正弦定理和三角形面积公式的应用．考查了学生对解三角形基础知识的灵活运用．
11.【答案】BC
【解析】解：由题意知，e1，e2可以看成一组基底向量，
根据平面向量基本定理知，A，D正确，B错误；
对于C，当λ1=λ2=μ1=μ2=0时，则λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2=0，
此时任意实数λ均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，所以选项C错误；
故选：BC．
根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断．
本题考查了平面向量基本定理应用问题，是基础题．
12.【答案】( 55,2 55)或(− 55,−2 55)
【解析】解：因为a=(3,6)，所以|a|= 32+62=3 5，所以与向量a平行的单位向量为a|a|=a3 5=( 55,2 55)或−a|a|=a−3 5=(− 55,−2 55)．
故答案为：( 55,2 55)或(− 55,−2 55)．
利用与向量a平行的单位向量为±a|a|，求解即可．
本题考查的知识点：单位向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】17π4
【解析】解：因为△ABC的面积为a2+b2−c2，所以a2+b2−c2=12absinC，
根据余弦定理得即2abcsC=12absinC，即14sinC=csC，
又sin2C+cs2C=1，sinC>0，所以sinC=4 1717，
设△ABC的外接圆的半径为r，所以2r=csinC= 17，解得r= 172，
所以△ABC的外接圆的面积为πr2=17π4．
故答案为：17π4．
利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
14.【答案】3
【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且AE⊥BD，
记AC∩BD=O，
又AE⊥BD，
则AE⊥OE，
所以AE⋅EO=0，
所以AE⋅AC=2AE⋅AO=2AE⋅(AE+EO)=2AE2+2AE⋅EO=2AE2=18，
解得|AE|=3．
故答案为：3．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
15.【答案】解：(1)(a−2b)⊥c，a−2b=(2,4)−2(m,1)=(2−2m,2)，
所以(a−2b)⋅c=2−2m+2×2=0，解得m=3．
故m的值为3．
(2)a−b=(2,4)−(3,1)=(−1,3),2b−3c=2(3,1)−3(1,2)=(3,−4)，
所以|a−b|= 10,|2b−3c|=5,(a−b)⋅(2b−3c)=3×(−1)+3×(−4)=−15，
所以cs〈a−b,2b−3c〉=(a−b)⋅(2b−3c)|a−b||2b−3c|=−15 10×5=−3 1010．
故a−b与2b−3c的夹角的余弦值为−3 1010．
【解析】(1)运用平面向量垂直的坐标公式计算即可．
(2)运用平面向量夹角公式计算即可．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由正弦定理及 3bcsC=csinB，得 3sinBcsC=sinCsinB，
因为sinB≠0，所以 3csC=sinC，即tanC= 3，
因为C∈(0,π)，
所以C=π3．
(2)由(1)得，C=π3，
因为S△ABC=12×absinC= 34ab=2 3，所以ab=8，
又b= 2，所以a=4 2，
由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcsC=32+2−8=26，
所以c= 26．
【解析】(1)利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，可得tanC= 3，结合C∈(0,π)，得C的值；
(2)先利用三角形的面积公式，求ab的值，从而得a，再利用余弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为向量m=( 3a,b)与n=(3csA,sinB)平行，
所以 3asinB−3bcsA=0，
由正弦定理得 3sinAsinB−3sinBcsA=0，
又sinB≠0，所以 3sinA−3csA=0，
所以tanA= 3，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2cbcsA，
所以7=b2+22−2b，解得b=3或b=−1(舍)，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=3 32，
设△ABC内切圆的半径为r，
所以S=12(a+b+c)r=12×(2+3+ 7)r=3 32，解得r=5 3− 216．
【解析】(1)根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得tanA，即可求得A；
(2)利用余弦定理求得b，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径．
本题考查向量平行的坐标运算、正弦定理、余弦定理、等面积法、三角形内切圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为BC=3BE，所以AE=23AB+13AC，
由于F是AC边的中点，因此BF=BA+12AC，
因此AE⋅BF=(23AB+13AC)⋅(−AB+12AC)=−23|AB|2+16|AC|2=−32；
(2)因为F是线段AC上的动点(异于端点)，
所以可设AF=λAC,λ∈(0,1)，因此BF=−AB+λAC，
因为AB=AC= 3,∠BAC=30°，AB⋅AC=|AB||AC|cs∠BAC= 3× 3× 32=3 32，
所以AE⋅BF=(23AB+13AC)⋅(−AB+λAC)=−23|AB|2+λ3|AC|2+2λ−13AB⋅AC
=−2+λ+(2λ−1)⋅ 32=( 3+1)λ−2− 32=−7+ 34，解出λ=14，
故F是线段AC靠近A处的四等分点．
【解析】(1)由平面向量的线性运算将AE,BF用AB,AC表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可；
(2)设AF=λAC,λ∈(0,1)，由将BF用AB,AC表示出来，再由平面向量的数量积运算建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)在△DAC中，由余弦定理得|AC|2=|DA|2+|DC|2−2|DA|⋅|DC|cs∠ADC=3，
即|AC|= 3．
因为|AD|=|CD|=1，∠ADC=120°，所以∠DAC=30°，
又∠DAB=90°，所以∠BAC=∠BAD−∠DAC=60°．
在△ABC中，由正项定理得|AC|sin∠ABC=|BC|sin∠BAC，
所以sin∠ABC=|AC|sin∠BAC|BC|= 3× 323 22= 22，
又|BC|=3 22> 3=|AC|，所以∠ABC0)，所以|BA|=2m．
在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC=BA2+BC2−AC22BA⋅BC=m2+4m2−34m2=5m2−34m2．
所以△ABC的面积
S=12|BA|⋅|BC|sin∠ABC=12m⋅2m 1−(5m2−34m2)2=14 −9(m2−53)2+16，
所以Smax=1，此时m2=53，
又△DAC的面积S△DAC=12|DA|⋅|DC|sin∠ADC= 34，
所以四边形ABCD的面积的最大值为Smax+S△DAC=1+ 34．
【解析】(1)在△DAC中用余弦定理求出|AC|，再由角度之间的关系，在△ABC中用正弦定理可求出∠ABC；
(2)将四边形ABCD，分成△ABC，△DAC，△DAC的面积为定值，△ABC的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．