2023-2024学年广东省佛山市顺德区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=tan(πx−1)的最小正周期为( )
A. 2B. 1C. πD. 2π
2.已知sinα= 66，则cs2α=( )
A. −23B. 56C. 23D. −56
3.已知向量a=(2,1),b=(3,2),c=(6,λ)，若(3a−b)//c，则λ的值为( )
A. 2B. 12C. 18D. 6
4.sin50°(1+ 3tan10°)的值为( )
A. 3B. 2C. 2D. 1
5.已知向量a=(4,3),b=(1,2)，则向量a在b上的投影向量的坐标为( )
A. (2 55,4 55)B. (2 5,4 5)C. (−2,−4)D. (2,4)
6.若单位向量a,b,c满足a⋅b=−12，b⋅c= 32，则a⋅c=( )
A. 0B. 12C. 0或−12D. 0或− 32
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，D(5,0)，B(2,A)，BC⋅CD=0，则( )
A. f(x)=2 10sin(π6x+π6)
B. f(x)=2 10sin(π3x+π6)
C. f(x)= 10sin(π6x−π6)
D. f(x)=2 10sin(π6x+π3)
8.如图，OPQ是半径为1，∠POQ=α的扇形，C是弧PQ上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，csα=35，当x=θ时四边形ABCD的面积S取得最大，则csθ的值为( )
A. 55
B. 2 55
C. 1010
D. 3 1010
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 在正方形ABCD中，AB=BC
B. 0的模长为0
C. 若|a|=1，则向量a是单位向量
D. 若向量a与向量b是共线向量，则向量a与向量b的方向相同
10.将函数g(x)=2cs(x+π3)图象上所有的点向右平移π6个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数f(x)的图象，则( )
A. f(x)=2cs(2x+π3)B. f(x)的图象关于直线x=35π12对称
C. f(x)的图象关于点(−4π3,0)对称D. f(x+π6)为奇函数
11.已知声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，被称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=2sinx−sin3x，则( )
A. π是f(x)的一个周期B. f(x)在[0,2π]上有7个零点
C. f(x)的最大值为3D. f(x)在[0,π6]上是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(λ,3),b=(2,λ−5)，若a⊥b，则λ的值为______．
13.已知，0<β<α<π4，cs(α−β)=1213，且sin(α+β)=45，则sin2α的值为______．
14.已知函数f(x)=11+csωx(ω>0)在[π6,π4]上单调递减，则ω的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,−2)，|b|=4，且(2a+b)⋅b=32．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|2a−b|的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(2csx,1),b=(−cs(x+π3),12),x∈[0,π2]．
(1)若x=π3，求a⋅b；
(2)记f(x)=a⋅b，若对于任意x1,x2∈[0,π2],|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，求λ的最小值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，5AB=3AC=15,∠BAC=π3,AF=15AC，BF与BC边上的中线AE相交于点M．
(1)请用AB,AC表示AE,BF；
(2)求AE⋅BF的值；
(3)求cs∠EMF的值．
18.(本小题17分)
设t∈R，函数f(x)=2cs2x−2csx−t,x∈(0,π2)．
(1)当t=3时，求f(x)的值域；
(2)讨论f(x)的零点个数．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6)．
(1)①证明：cs∠ABC+cs∠ADC=0；
②证明：存在点P使得PA=PB=PC=PD.并求出P的坐标；
(2)过C点的直线1将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：y=tan(πx−1)的最小正周期T=ππ=1．
故选：B．
利用正切函数的周期公式计算即可．
本题考查正切函数的周期性，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为sinα= 66，
所以cs2α=1−2sin2α=1−2×16=23．
故选：C．
由题意利用二倍角公式即可求解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：a=(2,1),b=(3,2)，则3a−b=(3,1)，
因为(3a−b)//c，c=(6,λ)，
所以3λ=6，解得λ=2．
故选：A．
根据已知条件，结合向量公式的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：sin50°(1+ 3tan10°)=sin50°(cs10°+ 3sin10°)cs10°=sin50°⋅2(sin10°cs30°+cs10°sin30°)cs10∘=sin50°⋅2sin40°cs10∘=2sin50°cs50°cs10∘=sin100°cs10∘=cs10°cs10∘=1
故选：D．
利用正切化正弦、余弦，然后同分，利用两角和的正弦函数、二倍角公式化简，最后利用诱导公式求出结果．
本题是基础题，考查三角函数的公式的灵活运应，考查计算能力，基本知识的掌握的熟练程度．
5.【答案】D
【解析】解：因为向量a=(4,3),b=(1,2)，
所以向量a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|2b=4+61+4b=(2,4)．
故选：D．
根据投影向量的定义，计算即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知单位向量a,b,c满足a⋅b=−12，b⋅c= 32，
则cs=−12，cs= 32，
则=2π3，=π6，
则〈a,c〉=π2或5π6，
故a⋅c=0或a⋅c=1×1×(− 32)=− 32．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可知T4=5−2=3，即T=12，
因为ω>0，所以ω=2πT=π6，所以f(x)=Asin(π6x+φ)，
因为函数f(x)的图象过点B(2,A)，
所以f(2)=Asin(π3+φ)=A，即π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=Asin(π6x+π6),C(0,A2)，
因为BC⋅CD=(−2,−A2)⋅(5,−A2)=−10+A24=0，解得A=2 10(负根已舍去)，
所以f(x)=2 10sin(π6x+π6)．
故选：A．
由函数的周期性可得ω的值，代入点B的坐标，可求得φ的值，再根据BC⋅CD=0，求出A的值，即可得解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，熟练掌握y=Asin(ωx+φ)中A，ω，φ的几何意义与求法，平面向量的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：∵在直角△OBC中，OB=csθ，BC=sinθ，
又∵在直角△OAD中：ADOA=tanα，
又∵csα=35，
∴OA=34AD=34BC=34sinθ，
S矩形ABCD=AB⋅BC=(csθ−34sinθ)sinθ
=sin2θ2−38(1−cs2θ)
=58sin(2θ+φ)−38，
当sin(2θ+φ)=1时，S最大．
即45sin2θ+35cs2θ=1⇒58sinθcsθ+35(cs2θ−sin2θ)=cs2θ+sin2θ.
即(2sinθ−csθ)2=0，2sinθ=csθ，
∵sin2θ+cs2θ=1，0<θ<π2，
∴csθ=2 55．
故选：B．
先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．
本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．
9.【答案】BC
【解析】解：在正方形ABCD中，AB与BC的方向不同，A错误；
0的模长为0，B正确；
若|a|=1，则向量a是单位向量，C正确；
若向量a与向量b是共线向量，则向量a与向量b的方向相同或相反，D错误．
故选：BC．
根据相等向量的定义判断A的正误；根据零向量的定义可判断B的正误；根据单位向量的定义可判断C的正误；根据共线向量的定义可判断D的正误．
本题考查了单位向量、零向量和共线向量的定义，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：依题意得f(x)=2cs(2x+π6)，即选项A错误；
f(35π12)=2cs(35π6+π6)=2，即选项B正确；
f(−4π3)=2cs(−8π3+π6)=0，即选项C正确；
f(x+π6)=2cs(2x+π2)=−2sin2x，是奇函数，即选项D正确．
故选：BCD．
根据函数图象的变换法则，可得f(x)的解析式，从而判断A；再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析选项BCD，即可得解．
本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，f(x)=2sinx−sinxcs2x−csxsin2x
=2sinx−sinx(1−2sin2x)−2sinxcs2x
=4sin3x−sinx，
由于f(x+π)=4sin3(x+π)−sin(x+π)=−4sin3x+sinx≠f(x)，
所以可得π不是f(x)的一个周期，故错误；
对于B，由f(x)=4sin3x−sinx=sinx(4sin2x−1)=0，得sinx=0或sinx=±12，
当x∈[0,2π]时，可得x=0,π6,5π6,π,7π6,11π6,2π，
所以可得f(x)在[0,2π]上有7个零点，故正确；
对于C，由题意可得f(π2)=2sinπ2−sin3π2=3=2+1，故正确；
对于D，因为f(0)=f(π6)=0，所以f(x)在[0,π6]上不是增函数，故错误．
故选：BC．
先化简函数f(x)，利用函数周期，零点，最值以及复合函数单调性之间的性质分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，化简f(x)，利用函数周期，零点，最值以及复合函数单调性之间的性质是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】3
【解析】解：向量a=(λ,3),b=(2,λ−5)，a⊥b，
则2λ+3(λ−5)=0，解得λ=3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】6365
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．
由0<β<α<π4，可得0<α−β<π4，0<α+β<π2，利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin(α−β)，cs(α+β)的值，根据sin2α=sin[(α−β)+(α+β)]由两角和的正弦函数公式即可求值．
【解答】
解：∵0<β<α<π4，cs(α−β)=1213，sin(α+β)=45，
∴0<α−β<π4，0<α+β<π2，
∴sin(α−β)= 1−cs2(α−β)=513，cs(α+β)= 1−sin2(α+β)=35，
∴sin2α=sin[(α−β)+(α+β)]
=sin(α−β)cs(α+β)+cs(α−β)sin(α+β)
=513×35+1213×45
=6365．
故答案为：6365．
14.【答案】(0,4]∪{12}
【解析】解：函数f(x)=11+csωx(ω>0)在[π6,π4]上单调递减，
所以可得ωx∈[ωπ6,ωπ4]，
则ωπ6≥2kπ,ωπ4≤π+2kπ(k∈Z)，
解得12k≤ω≤4+8k(k∈Z)，
由4+8k>0,12k≤4+8k(k∈Z)，
解得−12因为k∈Z，
所以k=0或1，
则0<ω≤4或ω=12，即ω的取值范围为(0,4]∪{12}．
故答案为：(0,4]∪{12}．
由题意可得ωx∈[ωπ6,ωπ4]，利用余弦函数的单调性可得12k≤ω≤4+8k(k∈Z)，讨论k的取值即可得解ω的取值范围．
本题考查了余弦函数的单调性的应用，考查了函数思想，属于中档题．
15.【答案】解：(1)已知向量a=(2,−2)，|b|=4，且(2a+b)⋅b=32．
设向量a与b的夹角为θ，
因为(2a+b)⋅b=32，
所以2|a||b|csθ+|b|2=32，
即16 2csθ+16=32，
解得csθ= 22，
又θ∈[0,π]，
所以θ=π4，
即向量a与b的夹角为π4．
(2)由(1)知a⋅b=|a||b|csπ4=8，
故|2a−b|= (2a−b)2= 4a2−4a⋅b+b2= 4×8−4×8+16=4．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解；
(2)由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角及模的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)已知向量a=(2csx,1),b=(−cs(x+π3),12),x∈[0,π2]，
因为x=π3，
所以a=(1,1),b=(12,12)，
所以a⋅b=12+12=1．
(2)f(x)=a⋅b=−2csxcs(x+π3)+12=−2csx(12csx− 32sinx)+12
= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−1+cs2x2+12=sin(2x−π6)，
因为x∈[0,π2]，
所以2x−π6∈[−π6,5π6]，
所以−12≤sin(2x−π6)≤1．
当2x−π6=−π6，即x=0时，f(x)取得最小值−12；
当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)取得最大值1，
因为|f(x1)−f(x2)|≤λ恒成立，
且|f(x1)−f(x2)|≤1−(−12)=32，
所以λ≥32，
故λ的最小值为32．
【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算求解；
(2)由平面向量数量积的运算，结合三角函数最值的求法求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数最值的求法，属中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，AF=15AC，
又BF与BC边上的中线AE相交于点M．
则AE=12(AB+AC)，
即BF=AF−AB=15AC−AB；
(2)由(1)可得：
AE⋅BF=12(AB+AC)⋅(15AC−AB)=110AB⋅AC−12AB2+110AC2−12AB⋅AC
=−25AB⋅AC−12AB2+110AC=−25×3×5csπ3−12×9+110×25=−5；
即AE⋅BF的值为−5；
(3)|AE|=12 (AB+AC)2=12 9+25+2×3×5csπ3=72，
|BF|= (15AC−AB)2= 125×25−25×3×5csπ3+9= 7，
则cs∠EMF=AE⋅BF|AE||BF|=−572× 7=−10 749，
即cs∠EMF的值为−10 749．
【解析】(1)由平面向量的线性运算求解；
(2)结合平面向量数量积的运算求解；
(3)由平面向量数量积的运算及平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
18.【答案】解：(1)当t=3时，f(x)=2cs2x−2csx−3，
令k=csx∈(0,1)，则g(k)=2k2−2k−3=2(k−12)2−72，
g(k)在(0,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，
则g(k)min =g(12)=−72，
g(1)=g(0)=−3，
故g(k)的值域为[−72,−3)，即f(x)的值域为[−72,−3)．
(2)令f(x)=0，即2cs2x−2csx−t=0，得2cs2x−2csx=t，
令k=csx∈(0,1)，则2k2−2k∈[−12,0),2k2−2k=t,
因为y=csx在(0,π2)上单调递减，
所以f(x)的零点个数等价于h(k)=2k2−2k−t(0当t≥0或t<−12时，2k2−2k=t无解；
当t=−12时，2k2−2k=t仅有一解；
当−12综上，当t≥0或t<−12时，f(x)无零点；
当t=−12时，f(x)有一个零点，
当−12【解析】(1)利用换元法，转化为二次函数求解；
(2)令k=csx∈(0,1)，则2k2−2k∈[−12,0),2k2−2k=t，问题转化为二次函数在指定区间上零点的个数问题求解．
本题考查函数值域的求法，函数零点个数的判断方法，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①∵A(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6)，
∴BA=(−8,0)，BC=(1,3)，DA=(−8,−6)，DC=(1,−3)，
∴cs∠ABC=BA⋅BC|BA||BC|=−88 10=− 1010，
cs∠ADC=DA⋅DC|DA||DC|=1010 10= 1010，
∴cs∠ABC+cs∠ADC=0；
②由PA=PB=PC=PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心，
∵AB=(8,0)，BC=(0,6)，∴AB⋅BC=0，
∴AB⊥BC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，
∴点P的坐标为(6,3)；
(2)由两点间的距离公式可得，AB=8，BC=CD= 10，AD=10，
∵过C点的直线1将四边形ABCD分成周长相等的两部分，
∴EC=9AE，
设E的坐标为(x,y)，则EC=(10−x,6−y)，AE=(x−2,y)，
∴10−x=9(x−2)6−y=9y，∴x=145y=35，
∴点E的坐标为(145,35)．
【解析】(1)①利用夹角公式可得cs∠ABC+cs∠ADC=0；②由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心，根据AB⋅BC=0，可得AB⊥BC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，然后求出点P的坐标；
(2)根据条件可得EC=9AE，然后设E的坐标为(x,y)，根据10−x=9(x−2)6−y=9y，可得E的坐标．
本题考查了向量的夹角公式，向量相等，向量的运算性质，两点间的距离公式等，考查了转化思想和方程思想，属中档题．