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2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
展开这是一份2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，d=2，且a1=1，则a4等于( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V(单位：cm3)与半径R(单位：cm)的关系为V=43πR3，则R=7cm时体积V关于半径R的瞬时变化率为( )
A. 13723πcm2B. 196πcm2C. 98πcm2D. 16πcm2
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(π3)+sinx，则f(π3)=( )
A. 32−π3B. 32+π3C. 32D. − 32
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=4，S6=364，则S4为( )
A. 40或−36B. −36C. 40D. 32
5.已知：数列{an}满足a1=16，an+1−an=2n，则ann的最小值为( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.已知函数f(x)=13x3+a2x2+x+1在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为
( )
A. [−103,−52]B. −∞,−2C. −103,−2D. −103,−52
7.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=2n+3n+1，则a5b10的值为( )
A. 1311B. 2110C. 1322D. 2120
8.已知函数f(x)=ex−3，g(x)=12+lnx2，f(m)=g(n)成立，则n−m的最小值为( )
A. 1+ln2B. ln2C. 2ln2D. ln2−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是导函数y=f′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. (3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
B. (4,5)为函数y=f(x)的单调递增区间
C. 函数y=f(x)在x=3处取得极大值
D. 函数y=f(x)在x=4处取得极小值
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=−87，an+1−an=2，则( )
A. an=2n−33B. {Sn}中的最小值为S16
C. 使Sn<0的n的最大值为32D. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a20|=262
11.对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=−f(−x0)，则称点(x0,f(x0))与点(−x0,f(−x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=lnx,x>0−mx2−mx,x≤0的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m的取值可以是( )
A. 1B. eC. 1eD. e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lnx−2x+1在x=1处的切线为l，则直线l的方程为______．
13.对R上可导的函数f(x)，若满足f(x)+f′(x)>0，且f(−1)=0，则exf(x)>0的解集是______．
14.已知数列{an}的通项公式为an=1n+3,Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若对任意n∈N*，不等式4λ(n+3)Sn
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−ax−1(a∈R)．
(1)当a=3时，求函数f(x)在[0,3]的最值；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知数列{an}是正项等比数列，其前n项和为Sn，且a2a4=16，S5=S3+24．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an+lg2an}的前n项和为Tn，求满足Tn<2024的最大整数n．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=13x3−ax2+1，a>0．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)是否存在实数a，使得f(x)在[0,2]上的最小值为56？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=15，a1，a4，a13成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设{bnan}是首项为1，公比为3的等比数列，
(ⅰ)求数列{bn}的前n项和Tn；
(ⅱ)若不等式λTn−Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．
(1)当a=−1时，求f(x)的极值；
(2)讨论当a>0时函数y=f(x)的单调性；
(3)若函数g(x)=f(x)−ax2有两个不同的零点x1、x2，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}中，d=2，且a1=1，
则a4=a1+3d=1+6=7．
故选：B．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由V=43πR3，求导得V′=4πR2，
所以R=7时体积V关于半径R的瞬时变化率为V′=4π×72=196π．
故选：B．
根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可．
本题考查了瞬时变化率的定义应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2xf′(π3)+sinx，所以f′(x)=2f′(π3)+csx，令x=π3，则f′(π3)=2f′(π3)+csπ3，f′(π3)=−12，
则f(x)=−x+sinx，所以f(π3)=−π3+sinπ3= 32−π3．
故选：A．
根据题意，对等式两边求导，再令x=π3，求出f′(π3)=−12，从而求得f(π3)的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，
若S2=4，S6=364，则有(S4−S2)2=S2(S6−S4)，即(S4−4)2=4(364−S4)，
解可得S4=40或−36，
又由S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a1+a2)q2=(1+q2)S2>0，必有S4=40．
故选：C．
根据题意，由等比数列的性质可得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，由此可得(S4−S2)2=S2(S6−S4)，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：a2−a1=2，
a3−a2=4，
…
an+1−an=2n，
这n个式子相加，就有
an+1=16+n(n+1)，
即an=n(n−1)+16=n2−n+16，
∴ann=n+16n−1，
用均值不等式，知道它在n=4的时候取最小值7．
故选：B．
a2−a1=2，a3−a2=4，…，an+1−an=2n，这n个式子相加，就有an+1=16+n(n+1)，故ann=n+16n−1，由此能求出ann的最小值．
本题考查数更列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
先得到导函数f′(x)，由题结合二次函数与根的分布情况列出关于a的不等式组，解之即可．
【解答】
解：因为f(x)=13x3+a2x2+x+1，所以f′(x)=x2+ax+1，
因为函数f(x)在(−∞,0)，(3,+∞)上为增函数，在(1,2)上为减函数，则方程f′(x)=0的两个根分别在区间[0,1]和[2,3]上，
所以f′(0)≥0f′(1)≤0f′(2)≤0f′(3)≥0，即1≥01+a+1≤04+2a+1≤09+3a+1≥0，解得−103≤a≤−52．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=2n+3n+1，
设Sn=kn(2n+3)，Tn=kn(n+1)，
则a5=S5−S4=65k−44k=21k，
b10=T10−T9=110k−90k=20k，
故a5b10=21k20k=2120．
故选：D．
根据题意，设Sn=kn(2n+3)，Tn=kn(n+1)，由此用k表示a5、b10的值，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：不妨设f(m)=g(n)=t，
∴em−3=12+lnn2=t，(t>0)，
∴m−3=lnt，即m=3+lnt，n=2⋅et−12，
故n−m=2⋅et−12−3−lnt(t>0)，
令h(t)=2⋅et−12−3−lnt((t>0),
h′(t)=2⋅et−12−1t，
易知h′(t)在(0,+∞)上是增函数，且h′(12)=0，
当t>12时，h′(t)>0，
当0
此时h(12)=2−(3+ln12)=ln2−1，即n−m的最小值为ln2−1，
故选：D．
根据f(m)=g(n)=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
本题主要考查导数的应用，利用换元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由图象可知，x∈(3,5)时，f′(x)<0，
所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，x∈(4,5)时，f′(x)<0，
所以(4,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，f′(3)=0，
且当x∈(0,3)时，f′(x)>0，当x∈(3,5)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，
故函数y=f(x)在x=3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f′(4)≠0，故x=4不是函数的极值点，故D错误．
故选：AC．
对于AB选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于CD选项，利用函数的极值点的定义判断．
本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：依题意，等差数列{an}的公差d=2，由S3=−87，得3a2=−87，解得a2=−29，
数列{an}的通项an=−29+(n−2)2=2n−33，A正确；
显然等差数列{an}是递增数列，且a16<0，a17>0，则{Sn}中的最小值为S16，B正确；
又Sn=(−31+2n−33)n2=2n2−64n2=n2−32n<0，得0
故选：AB．
根据题意计算出a2和d即可得到{an}的通项公式，通过通项公式可以判断B，计算出Sn可判断C，根据B选项可知a16<0，a17>0，把绝对值去掉可计算D．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：依题意，函数f(x)=−mx2−mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)=mx2−mx与函数f(x)=lnx(x>0)的图象有两个交点，
即方程mx2−mx=lnx有两个根，
即m(x−1)=lnxx，
令h(x)=lnxx，∴h′(x)=1−lnxx2，
∴当0
又h(x)=lnxx在x=1处的切线方程为y=x−1，如图，
由图可知，要使方程mx2−mx=lnx有两个根，则0
观察四个选项可知，实数m的取值可以是e或1e或 e．
故选：BCD．
由题意可得，函数f(x)=−mx2−mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)=mx2−mx与函数f(x)=lnx(x>0)的图象有两个交点，再次转化为h(x)=lnxx(x>0)与y=m(x−1)的图象有2个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案．
本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，属于中档题．
12.【答案】x+y=0
【解析】解：因为函数f(x)=lnx−2x+1，
所以f′(x)=1x−2，
∴k=f′(1)=−1，
又f(1)=−1，
∴l：y−(−1)=(−1)×(x−1)，即：x+y=0．
故答案为：x+y=0．
求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线l的方程．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：令g(x)=exf(x)，g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]，而f(x)+f′(x)>0，
易知ex>0，故g′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，则g(x)在R上单调递增，
而g(−1)=e−1f(−1)=0，若exf(x)>0，则g(x)>g(−1)，则x∈(−1,+∞)．
故答案为：(−1,+∞)．
依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可．
本题主要考查了导数与单调性关系，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】(−∞,1]．
【解析】解：∵an=1n+3，则anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3−1n+4，
∴Sn=a1a2+a2a3+...+anan+1=14−15+15−16+...+1n+3−1n+4=14−1n+4=n4(n+4)，
又不等式4λ(n+3)Sn
又f(n)=1+3n+3+8n2+3n(n∈N*)是减函数，
∴λ≤1．
故答案为：(−∞,1]．
利用裂项法求出Sn，4λ(n+3)Sn
15.【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=x3−3x−1，
可得f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，
令f′(x)=0，解得x=−1和x=1，
则x，f′(x)，f(x)在[0,3]的变化情况如下：
所以f(x)min=f(1)=−3，f(x)max=f(3)=17．
(2)由函数f(x)=x3−ax−1，可得f′(x)=3x2−a，
因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立，即a≤3x2恒成立，
故a≤(3x2)min=0，
经检验，当a=0时，符合题意，
故实数a的取值范围是(−∞,0]．
【解析】(1)根据题意，求得f′(x)=3(x−1)(x+1)，求得函数的单调性和最值，即可求解；
(2)求得f′(x)=3x2−a，结合题意，转化为a≤3x2恒成立，进而实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．
16.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则a2a4=a32=16，即a3=4，
∵S5=S3+24，
∴S5−S3=a4+a5=4q+4q2=24，
化简整理，得q2+q−6=0，
解得q=−3(舍去)，或q=2，
∴an=a3⋅qn−3=4⋅2n−3=2n−1，n∈N*．
(2)由(1)可得，an+lg2an=2n−1+lg22n−1
=2n−1+n−1，
则Tn=(20+0)+(21+1)+(22+2)+…+[2n−1+(n−1)]
=(20+21+22+…+2n−1)+[0+1+2+…+(n−1)]
=20−2n1−2+n(n−1)2
=2n−1+n(n−1)2，
∴Tn+1=2n+1−1+n(n+1)2，
∵Tn+1−Tn=2n+1−1+n(n+1)2−[2n−1+n(n−1)2]
=2n+n>0，
∴数列{Tn}是单调递增数列，
∵当n=10时，T10=210−1+10×92=1068<2024，
当n=11时，T11=211−1+10×112=2102>2024，
∴满足Tn<2024的最大整数n的值为10．
【解析】(1)先设等比数列{an}的公比为q(q>0)，再根据题干已知条件及等比数列的性质列出关于公比q的方程，解出q的值，根据等比数列的通项公式即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{an+lg2an}的通项公式，再运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式计算出前n项和Tn的表达式，然后运用作差法分析出数列{Tn}是单调递增数列，进一步推导即可计算出满足Tn<2024的最大整数n．
本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，等比数列的性质，作差法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)a=1时，f(x)=13x3−x2+1，f′(x)=x2−2x，
故f′(1)=−1，f(1)=13，
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y−13=−(x−1)，
即3x+3y−4=0，
直线3x+3y−4=0在x轴，y轴上的截距均为43，
故所求三角形的面积为89；
(2)f′(x)=x2−2ax=x(x−2a)，
令f′(x)=0，解得：x=0或x=2a，
当0<2a<2，即0
当x∈[2a,2]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
则f(x)min=f(2a)=83a3−4a3+1=56，解得：a=12，
当2a≥2，即a≥1时，当x∈[0,2]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
则f(x)min=f(2)=83−4a+1=56，解得：a=1724<1，舍，
综上：存在a=12，使得f(x)在[0,2]上的最小值是56．
【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程，求出三角形面积即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
18.【答案】解：(1)依题意得a42=a1a13，S3+S5=50，
即有3a1+3×22d+5a1+4×52d=50(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3d=2，
∴an=a1+(n−1)d=3+2(n−1)=2n+1，即an=2n+1；
(2)①bnan=3n−1，bn=an⋅3n−1=(2n+1)⋅3n−1，
Tn=3+5⋅3+7⋅32+⋯+(2n+1)⋅3n−1，
3Tn=3⋅3+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n−1+(2n+1)⋅3n，
所以−2Tn=3+2⋅3+2⋅32+⋯+2⋅3n−1−(2n+1)3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)3n=−2n⋅3n．
∴Tn=n⋅3n；
②由(1)易求得Sn=n(n+2)，
所以不等式λTn−Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立，
即转化为λ≤2−n3n对一切n∈N*恒成立，
令f(n)=2−n3n(n∈N*)，则f(n)min≥λ，
又f(n+1)−f(n)=1−n3n+1−2−n3n=2n−53n+1，
当1≤n≤2时，f(n+1)−f(n)<0；n≥3时，f(n+1)−f(n)>0，
所以f(1)>f(2)>f(3)，且f(3)
所以实数λ的最大值为−127．
【解析】(1)根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
(2)①先计算{bn}的通项公式，再用错位相减法求解Tn；
②代入Tn，Sn，得到λ≤2−n3n对一切n∈N*恒成立，构造函数f(n)=2−n3n，再求f(n)的最小值，即可求得结果．
本题考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=−1时，f(x)=−x2−x+lnx的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=−2x−1+1x=−(2x−1)(x+1)x，
所以当x∈(0,12)时，f′(x)>0，当x∈(12,+∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减．
所以f(x)在x=12处取得极大值f(12)=−ln2−34，
所以f(x)的极大值为−ln2−34，无极小值．
(2)函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx的定义域为(0,+∞)，
又f′(x)=2ax−(a+2)+1x=(ax−1)(2x−1)x(a>0)．
当a>0时，令f′(x)=0则x=1a或x=12．
①当1a<12，即a>2时，当x∈(12,+∞)∪(0,1 a)时，f′(x)>0；当x∈(1a,12)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(12,+∞),(0,1 a)上单调递增，在(1a,12)上单调递减．
②当1a=12，即a=2时，f′(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．
③当1a>12，即0
所以f(x)在(0,12),(1a,+∞)上单调递增，在(12,1a)上单调递减．
综上，当a>2时，f(x)在(0,1a),(12,+∞)上单调递增，在(1a,12)上单调递减；
当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当0
即lnx−(a+2)x=0有两个不同正实根x1，x2，得a+2=lnxx有两个不同正实根x1，x2，
即y=a+2与y=lnxx有两个交点，
令G(x)=lnxx(x>0)，则G′ (x)=1−lnxx2，令G′(x)=0，得x=e，
当x∈(0,e)时，G′(x)>0，∴G(x)在(0,e)上单调递增，
当x∈(e,+∞)时，G′(x)<0，∴G(x)在(e,+∞)上单调递减，
所以x=e时，G(x)取得最大值1e，且G(1)=0，当x>1时G(x)>0，
得G(x)的大致图像如图所示：
所以0
【解析】(1)求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
(2)求出函数的导函数，再分a>2、a=2、0
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题．x
0
(0,1)
1
(1,3)
3
f′(x)
小于0
0
大于0
f(x)
−1
单调递减
极小值−3
单调递增
17
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