2023-2024学年甘肃省兰州一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知平行四边形ABCD的顶点A(−1,−2)，B(3,−1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为( )
A. (1,4)B. (1,5)C. (2,4)D. (2,5)
3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，如图提供了随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是
( )
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A. 623B. 328C. 253D. 007
4.已知向量a=(m,−2)，b=(−12,1)，c=(m,−m)，若a//b，则cs〈c,a〉=( )
A. 1010B. 3 1010C. 3 55D. 55
5.已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是( )
A. 150，15B. 150，20C. 200，15D. 200，20
6.在△ABC中，三个内角A，B，C依次成等差数列，若sin2B=sinAsinC，则△ABC形状是( )
A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ=( )
A. 43B. 53C. 158D. 2
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac=6，sinB+2sinCcsA=0，则△ABC面积的最大值为( )
A. 32B. 32C. 34D. 34
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A−结伴步行，B−自行乘车，C−家人接送，D−其他方式．并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 扇形图中D的占比最小
B. 柱形图中A和C一样高
C. 无法计算扇形图中A的占比
D. 估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半
10.下列命题中错误的有( )
A. a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若a/​/b，则存在实数λ，使得a=λb
D. ||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B则sinA>sinB
B. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为(1,+∞)
C. 若点O为△ABC内一点，且OA+OB+OC=0，则SBOC：SABC=1：6
D. 若△ABC是锐角三角形，a=2，b=3，则边长c的取值范围是( 5, 13)
12.已知非零向量a，b的夹角为θ，现定义一种新运算：a⊗b=|a||b|sinθ.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3)，则( )
A. a在b上的投影向量的模为a⊗b|a|B. ∃θ∈[0,π2]，a⊗b=a⋅b
C. a⊗b=|x1y2−x2y1|D. a⊗(b−c)=a⊗b−a⊗c
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143，140，144，142，142，145，148，147，147，150，这10名同学数学成绩的60%分位数是______．
14.已知a=(1,2),b=(1,−7),c=2a+b，则c在a方向上的投影为______．
15.如图，为了测定河两岸点B与点C间的距离，在点B同侧的河岸选定点A，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，则点B与点C间的距离为______m.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA= 3sinC，B=30°，△ABC的面积为 3，则△ABC的周长是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按90：1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方图(如图所示)，由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍．
(1)求a和b的值；
(2)若次数在120以上(含120次)为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
(3)估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？
18.(本小题12分)
已知向是a,b满足|a|= 2|b|=2，且(a+b)⋅(a−2b)=2．
(1)求向是a,b的夹角；
(2)求|2a+b|．
19.(本小题12分)
某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其物理成绩(单位：分)，得到如下数据：
12名男生的物理成绩分别为72，68，72，76，80，76，72，80，88，68，72，76；
8名女生的物理成绩分别为66，76，68，68，66，68，80，68．
(1)求这12名男生物理成绩的平均分x1−与方差s12；
(2)经计算得这8名女生物理成绩的平均分x2−=70，方差s22=23，求这20名学生物理成绩的平均分与方差．
附：分层随机抽样的方差公式：s2=i=1nwi[si2+(x−i−x−)2]，wi(i=1,2)表示第i(i=1,2)层所占的比例．
20.(本小题12分)
平面内给出三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，求解下列问题：
(Ⅰ)若向量a+b与向量mc+b的夹角为锐角，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若(a+kc)⊥(2b−a)，求实数k的值．
21.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3．
(1)若c=2b，证明：(sinA+sinB)(sinA−sinB)=sinBsinC；
(2)若a=2，求△ABC周长的最大值．
22.(本小题12分)
如图所示，在△ABO中，OC=13OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M.设OA=a，OB=b．
(1)试用向量a,b表示OM；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB，其中λ，μ∈R.当EF与AD重合时，λ=1，μ=12，此时1λ+2μ=5；当EF与BC重合时，λ=13，μ=1，此时1λ+2μ=5；能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，
在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．
综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，
故选：A．
一般地，设一个总体含有N个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样，据此定义逐项判断即可．
本题主要考查简单随机抽样的概念，属于基础题，解答此题的关键是正确理解简单随机抽样的定义．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，设D的坐标为(x,y)，
在平行四边形ABCD中，AB=(4,1)，DC=(5−x,6−y)，
又AB=DC，即(4,1)=(5−x,6−y)，解可得x=1，y=5，
即D坐标为(1,5)．
故选：B．
根据题意，设出点D的坐标，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
本题考查向量的坐标的求法；注意相等向量的坐标相同，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用随机数表进行抽样，属于基础题．
从表中第5行第6列开始向右读取数据，求出得到的前6个编号，由此能得出结果．
【解答】
解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，623，
则得到的第6个样本编号是623．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：a=(m,−2)，b=(−12,1)，a//b，
则1×m=(−2)×(−12)=1，解得m=1，
c=(1,−1)，a=(1,−2)，
则|c|= 1+1= 2，|a|= 1+4= 5，a⋅c=1×1+(−1)×(−2)=3，
故cs〈c,a〉=a⋅c|a||c|=3 2× 5=3 1010．
故选：B．
结合直线平行的性质，先求出m，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由图1得样本容量为(350+200+450)×15%=1000×15%=150，
抽取贫困户的户数为200×15%=30户，则抽取C村贫困户的户数为30×0.5=15户．
故选：A．
将饼图中的A、B、C三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以10%得出样本容量，在C村人口户数乘以15%，再乘以50%可得出C村贫困户的抽取的户数．
本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】本题已知三角形满足的条件，判断三角形的形状．着重考查了等差中项的定义、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
根据sin2B=sinAsinC利用正弦定理，可得b2=ac.由三角形内角和定理与等差中项的定义算出B=60°，再利用余弦定理列式，解出(a−c)2=0，进而得到a=b=c，可得△ABC是等边三角形．
解：∵在△ABC中，sin2B=sinAsinC，
∴由正弦定理可得b2=ac，
又∵A+B+C=180°，且角A、B、C依次成等差数列，
∴A+C=180°−B=2B，解得B=60°．
根据余弦定理得：csB=a2+c2−b22ac=12，
即a2+b2−ac2ac=12，化简得(a−c)2=0，可得a=c．
结合b2=ac，得a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B
7.【答案】B
【解析】【分析】
考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出AM=AB+12AD,BD=AD−AB，代入AC=λAM+μBD并进行向量的数乘运算便可得出AC=(λ−μ)AB+(λ2+μ)AD，而AC=AB+AD，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．
【解答】
解：AC=AB+AD，AM=AB+BM=AB+12AD，BD=AD−AB；
∴AC=λAM+μBD
=λ(AB+12AD)+μ(AD−AB)
=(λ−μ)AB+(λ2+μ)AD；
∴由平面向量基本定理得：λ−μ=1λ2+μ=1；
解得λ=43,μ=13；
∴λ+μ=53．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：∵sinB+2sinCcsA=0，
∴sin(A+C)+2sinCcsA=0，
即sinAcsC+csAsinC+2sinCcsA=0，
即sinAcsC+3csAsinC=0，
得a⋅b2+a2−c22ab+3×b2+c2−a22bc×c=0，
整理得2b2=a2−c2，
∵ac=6，
∴a=6c，
∴b2=36c2−c22=18c2−c22，
∴csB=a2+c2−b22ac=36c2+c2−(18c2−c22)12=18c2+32c212≥2 18c2⋅3c2212= 32，
当且仅当18c2=3c22，即c2=2 3，b2=2 3，a2=6 3时取等号，
∴sinB≤12，
则△ABC面积的最大值为S=12acsinB≤12×6×12=32．
故选：B．
根据正弦定理，余弦定理进行化简，结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由条形统计图知，B−自行乘车上学的有42人，C−家人接送上学的有30人，D−其他方式上学的有18人，
采用B，C，D三种方式上学的共90人，
设A−结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A−结伴步行上学与B−自行乘车上学的学生占60%，
所以x+42x+90=60100，解得x=30，
故条形图中A，C一样高，扇形图中A类占比与C一样都为25%，A和C共占约50%，故D也正确．
D的占比最小，A正确．
故选：ABD．
利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图和扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A：a=b的充要条件是|a|=|b|且方向相同，故A错误；
对于B：当b=0时，原式不成立，故B错误；
对于C：当a≠0，b=0时，不存在实数λ，使得a=λb，故C错误；
对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知||a|−|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立，故D正确．
故选：ABC．
利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D．
本题主要考查向量相等与共线，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由A>B，可得a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，即选项A正确；
∵在△ABC中，b=2，A=30°，
∴由正弦定理得：sinB=bsinAa=1a，
∵A=30°，∴0