2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若OA=(−1,2)，OB=(1,−1)，则AB=( )
A. (−2,3)B. (0,1)C. (−1,2)D. (2,−3)
2.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=120°，则a⋅b等于( )
A. −6B. 6C. −6 3D. 6 3
3.已知向量a=(1,2)，b/​/a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
4.O是平行四边形ABCD外一点，用OA、OB、OC表示OD，正确的表示为( )
A. OD=OA+OB+OCB. OD=OA+OB−OC
C. OD=OA−OB+OCD. OD=OA−OB−OC
5.有关平面向量的说法，下列正确的是( )
A. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
B. 若a与b共线且模长相等，则a=b
C. 若|a|>|b|且a与b方向相同，则a>b
D. (λa)⋅b=λ(a⋅b)=(λb)⋅a恒成立
6.tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°的值为( )
A. − 3B. 3C. 3D. 33
7.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AD⋅GB=( )
A. 9B. −9C. 12D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(t,1),b=(2,t)，则下列说法正确的是( )
A. |a|的最小值为1
B. 若a⊥b，则t=0
C. 若t=1，与a垂直的单位向量只能为( 22,− 22)
D. 若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(−∞,0)
10.下列化简结果正确的是( )
A. cs22°sin52°−sin22°cs52°=−12B. tan24°+tan36°1−tan24∘tan36∘= 3
C. sinπ12− 3csπ12=− 2D. sin105°= 6+ 24
11.在△ABC中，下列说法正确的是( )
A. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC是等腰三角形
B. 若AB⋅AC=12|AB||AC|，(AB−AC)⋅(AB+AC)=0，则△ABC为等边三角形
C. 若点M是边BC上的点，且AM=23AB+13AC，则△AMC的面积是△ABC面积的13
D. 若D分别是边BC中点，点P是线段AD上的动点，且满足BP=λBA+μBC，则λμ的最大值为18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若AC=−13CB，设AB=λCA，则λ的值为______．
13.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若|AB|=2，则AB⋅AO= ______．
14.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cs(A,B)，余弦距离为1−cs(A,B).已知P(csα,sinα)，Q(csβ,sinβ)，R(csα,−sinα)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，且0<α<β<π2，则cs2α= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1，e2是平面上两个不共线的向量且AB=ke1−4e2，CD=−e1+ke2，BD=e1+2e2．
(1)若AB，CD方向相反，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值．
16.(本小题15分)
已知|a|=1，|b|= 3，a+b=(1,− 3)，求：
(1)|a−b|；
(2)a+b与a−b的夹角．
17.(本小题15分)
(1)已知sinα= 55，csβ= 1010，且0<α<π2及−π2<β<0，求α+β的值；
(2)若sinα+sinβ= 22，csα−csβ=12，求cs(α+β)的值．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知向量m=( 3,−1)，n=(csα,sinα)．
(1)若m⊥n，tan(α+β)=2 3，求tanβ的值；
(2)若m与n的夹角为2π3且α∈(−π,0)，求α的值．
19.(本小题17分)
在直角梯形ABCD中，已知AB=2DC，AD⊥AB，|AD|=|CD|=1，动点E、F分别在线段DC和BC上，且BF=λBC，DE=(1−λ)DC．
(1)当λ=23时，求AC⋅EF的值；
(2)求向量AE,EF的夹角；
(3)求|AE+12AF|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：OA=(−1,2)，OB=(1,−1)，
所以AB=OB−OA=(1+1,−1−2)=(2,−3)．
故选：D．
根据平面向量的坐标运算，计算即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：a⋅b=|a||b|cs120°=3×4×(−12)=−6，
故选：A．
由平面向量数量积的运算可得：a⋅b=|a||b|cs120°，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b/​/a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：作出图形，设AC∩BD=E，则E为AC、BD的中点，如图所示：
∴OA+OC=(OE+EA)+(OE+EC)=(OE+EA)+(OE−EA)=2OE，
同理可得OB+OD=2OE，
∴OB+OD=OA+OC，
∴OD=OA−OB+OC．
故选：C．
设AC∩BD=E，则E为AC、BD的中点，利用平面向量的线性运算可得OB+OD=OA+OC，即可得出答案．
本题考查平面向量的基本定理，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：对A选项，若b=0时，满足a//b，b/​/c，但a与c不一定平行，∴A选项错误；
对B选项，若a=−b时，满足a与b共线且模长相等，但a≠b，∴B选项错误；
对C选项，若|a|>|b|且a与b方向相同，但向量不能比较大小，C选项错误；
对D选项，根据向量运算律可知(λa)⋅b=λ(a⋅b)=(λb)⋅a恒成立，∴D选项正确．
故选：D．
根据向量的基本概念，针对各个选项分别求解即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°
=tan(10°+50°)(1−tan10°tan50°)+ 3tan10°tan50°
= 3(1−tan10°tan50°)+ 3tan10°tan50°
= 3− 3tan10°tan50°+ 3tan10°tan50°
= 3．
故选：B．
直接根据两角和正切公式的变形形式tan(α+β)(1−tanαtanβ)=tanα+tanβ；整理即可得到答案．
本题主要考查两角和与差的正切公式的应用．在应用两角和与差的正切公式时，一般会用到其变形形式：tan(α+β)(1−tanαtanβ)=tanα+tanβ．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，△ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC的中点，
又由O是BC的中点，则BC为圆O的直径，则有|AO|=|BO|=|CO|，
又由|OA|=|AB|，则△ABO为等边三角形，∠ABO=π3，
则向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|csπ3×BC|BC|=14BC．
故选：A．
根据题意，分析可得O是BC的中点，进而可得BC为圆O的直径，由此可得△ABO为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AD=5，HE=1，设AH=x，
由勾股定理可得(x+1)2+x2=52，解得x=3，
所以sin∠ABH=35，又∠GBC=π2−∠ABH，
所以AD⋅GB=|BC|⋅|GB|⋅cs(π−∠GBC)=5×3×(−35)=−9．
故选：B．
先由勾股定理求出AH=x，再由向量数量积的定义式求出乘积即可．
本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：已知a=(t,1),b=(2,t)，
对于选项A，|a|= t2+1≥1，
即|a|的最小值为1，
即选项A正确；
对于选项B，若a⊥b，
则t×2+1×t=0，
即t=0，
即选项B正确；
对于选项C，若t=1，
则a=(1,1)，
则与a垂直的单位向量为( 22,− 22)或(− 22, 22)，
即选项C错误；
对于选项D，若向量a与向量b的夹角为钝角，
则a⋅b<0且a与b不共线，
即2t+t<0t2≠2，
即t<0且t≠− 2，
即选项D错误．
故选：AB．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，属中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：cs22°sin52°−sin22°cs52°=sin30°=12，A错误；
tan24°+tan36°1−tan24∘tan36∘=tan60°= 3，B正确；
sinπ12− 3csπ12=2sin(π12−π3)=2sin(−π4)=− 2，C正确；
sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cs60°+cs45°sin60°= 22×12+ 22× 32= 6+ 24，D正确．
故选：BCD．
根据两角和差的正弦公式，两角和的正切公式即可得解．
本题考查了两角和差的正弦和正切公式，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对A,AB|AB|,AC|AC|分别表示与AB,AC同向的单位向量，
由平面向量加法可知：AB|AB|+AC|AC|为∠BAC的平分线表示的向量，
由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，可得∠BAC的平分线AD与BC垂直，
故△ABC是等腰三角形，故A正确；
对B，由题意，AB⋅AC=|AB||AC|cs=12|AB||AC|，
则cs=12,∈[0,π]，故∠BAC=π3，
又(AB−AC)⋅(AB+AC)=0，则AB2−AC2=0，即|AB|=|AC|，
故△ABC为等边三角形，故B正确；
对C，若点M是边BC上的点，设BM=λBC,λ∈[0,1]，
则AM−AB=λ(AC−AB)，即AM=λAC+(1−λ)AB，
结合AM=23AB+13AC，知λ=13，则点M是边BC上的靠近B的三等分点，
则△AMC的面积是△ABC面积的23，故C错误；
对D，如图所示，
因为P在AD上，即A，P，D三点共线，
设BP=tBA+(1−t)BD,0≤t≤1，
又因为BD=12BC，所以BP=tBA+(1−t)2BC，
因为BP=λBA+μBC，则λ=tμ=1−t2,0≤t≤1，
令y=λμ=t×1−t2=−12(t−12)2+18，
则当t=12时，λμ取得最大值为18，故D正确．
故选：ABD．
由单位向量，向量垂直判断A；由夹角公式及模长判断B；由平面向量基本定理确定M位置判断C；由三点共线及平面向量基本定理将λμ表示为t的二次函数求最大值判断D．
本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题．
12.【答案】2
【解析】解：因为AC=−13CB，
所以AC=−13(AB−AC)，整理得AB=−2AC，
所以AB=2CA，
所以λ=2．
故答案为：2．
根据平面向量的线性运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：依题意，|AO|cs=12|AB|，
则AB⋅AO=|AB||AO|cs
=|AB|×12|AB|=2×1=2．
故答案为：2．
根据题意，利用数量积公式直接计算即可．
本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．
14.【答案】2+ 156
【解析】解：OP=(csα,sinα)，OQ=(csβ,sinβ)，OR=(csα,−sinα)，
∴cs=csαcsβ+sinαsinβ| cs2α+sin2α|⋅| cs2β+sin2β|=csαcsβ+sinαsinβ=cs(α−β)，
∴1−cs(α−β)=13，
同理得cs=cs(α+β)，∴1−cs(α+β)=12，
解得cs(α+β)=12，cs(α−β)=23，
∵0<α<β<π2，∴0<α+β<π，−π2<α−β<0，
∴sin(α+β)= 32，sin(α−β)=− 53，
∴cs2α=cs(α+β+α−β)=cs(α+β)cs(α−β)−sin(α+β)sin(α−β)
=12×23− 32×(− 53)
=2+ 156．
故答案为：2+ 156．
利用新定义得到关于sinαsinβ，csαcsβ的方程，求出cs(α+β)，cs(α−β)，再利用基本关系式求出sin(α+β)，sin(α−β)，从而利用整体法与余弦函数的和差公式能求出cs2α．
本题考查新定义、基本关系式、整体法、余弦函数的和差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意知，AB//CD，则存在λ∈R，使得AB//λCD，
即ke1−4e2=λ(−e1+ke2)，所以k=−λ−4=kλ ，
解得λ=2k=−2或λ=−2k=2，又AB,CD方向相反，
故λ=−2k=2，
(2)由题意知AD=AB+BD=(k+1)e1−2e2，
由A，C，D三点共线，可知存在μ∈R，使得AD=μCD，
即(k+1)e1−2e2=μ(−e1+ke2)，
所以k+1=−μ−2=kμ，解得k=1μ=−2，或k=−2μ=1，
所以k=1或k=−2．
【解析】(1)由题意知，AB//CD，则存在λ∈R，使得AB//λCD，即ke1−4e2=λ(−e1+ke2)，再求出k的值；
(2)由题意知AD=AB+BD=(k+1)e1−2e2，由A，C，D三点共线，可知存在μ∈R，使得AD=μCD，
即(k+1)e1−2e2=μ(−e1+ke2)，再求出k的值．
本题考查了向量相等与共线，平面向量基本定理，考查了方程思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为|a|=1，|b|= 3，a+b=(1,− 3)，
所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4，即a⋅b=0，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=4，即|a−b|=2；
(2)由(1)知，|a+b|=|a−b|=2，且|a|=1，|b|= 3，
所以a+b与a−b的夹角的余弦值为(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=a2−b22×2=1−34=−12，
所以a+b与a−b的夹角为120°．
【解析】(1)由平面向量的数量积运算和模的求法计算即可求得；
(20由平面向量的夹角求法和数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，模的求法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为sinα= 55，csβ= 1010，且0<α<π2，−π2<β<0，
所以csα= 1−sin2α=2 55，sinβ=− 1−cs2β=−3 1010，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ= 55× 1010+2 55×(−3 1010)=− 22，
又α+β∈(−π2,π2)，
故α+β=−π4；
(2)由sinα+sinβ= 22，csα−csβ=12，
得(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=12，
(csα−csβ)2=cs2α+cs2β−2csαcsβ=14，
相加得sin2α+sin2β+2sinαsinβ+cs2α+cs2β−2csαcsβ=34，
即2−2(csαcsβ−sinαsinβ)=2−2cs(α+β)=34，
所以cs(α+β)=58．
【解析】(1)结合同角基本关系及和差角公式先求出sin(α+β)，然后结合角的范围即可求解；
(2)先对已知等式两边平方，然后结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为m=( 3,−1)，n=(csα,sinα)，
又m⊥n，
所以 3csα−sinα=0，
所以tanα= 3，
则tanβ=tan(α+β−α)=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)⋅tanα=2 3− 31+2 3× 3= 37，
即tanβ的值为 37；
(2)因为m=( 3,−1)，n=(csα,sinα)，
所以|m|= ( 3)2+(−1)2=2，|n|= cs2α+sin2α=1，m⋅n= 3csα−sinα，
因为m与n的夹角为2π3，
所以m⋅n|m||n|=−12，
即 3csα−sinα2=−12，
所以cs(α+π6)=−12，
因为α∈(−π,0)，
所以α+π6∈(−5π6,π6)，
所以α+π6=−2π3，
所以α=−5π6，
即α的值为−5π6．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算，结合两角和与差的三角函数求解；
(2)由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
19.【答案】解：(1)当λ=23时，依题意，BF=23BC，DE=13DC，DC=12AB，
AC=AD+DC=AD+12AB，CB=AB−AC=12AB−AD，
DE=13DC，则EF=AF−AE，
AF=AB+BF=AB+23BC=AB+23(AD−12AB)=23(AD+AB)，
AE=AD+DE=AD+13DC=AD+16AB，
EF=AF−AE=−13AD+12AB，
因此AC⋅EF=(AD+12AB)⋅(−13AD+12AB)=−13AD2+14AB2+112AB⋅AD，
又AB=2AD=2CD=2，∠DAB=90°，
所以AC⋅EF=−13×1+14×4+112×2×1×0=23；
(2)由题意，AE=AD+DE=AD+(1−λ)DC=AD+(1−λ)2AB，
AF=AB+BF=AB+λBC=AB+λ(AD−12AB)=λAD+(1−λ2)AB，
EF=AF−AE=(λ−1)AD+12AB，
则AE⋅EF=(λ−1)AD2+(1−λ4)AB2+(−λ2+2λ2)AD⋅AB=λ−1+1−λ=0
故向量AE,EF的夹角为90°；
(3)由(2)知，AE=AD+(1−λ)2AB，AF=λAD+(1−λ2)AB，
则AE+12AF=(1+λ2)AD+(1−3λ4)AB，
所以|AF+12AE|2=(1+λ2)2⋅|AD|2+(1−3λ4)2⋅|AB|2
=(1+λ2)2+4(1−3λ4)2
=52λ2−5λ+5=52(λ−1)2+52，
由题意知，λ∈[0,1]，
∴|AE+12AF|的取值范围是[ 102, 5]．
【解析】(1)根据向量的线性运算及数量积运算进行计算即可；
(2)由已知求得向量AE,EF的夹角余弦值，进而得出夹角；
(3)根据数量积性质，将向量的模转化为数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积的性质及运算，属中档题．