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2023-2024学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南通市启东中学高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f(n)=(1+i1−i)2n+(1−i1+i)2n(n∈N*)，则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.在△ABC中，“AB2+BC2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若a与b的夹角为π3，则|a+b|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 7
4.已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，若sin(α+β)=−35，csβ=−513，则sinα的值为( )
A. 1665B. 3365C. 5665D. 6365
5.函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域为( )
A. [−92,+∞)B. [−92,−4]C. [−4,8]D. [−92,8]
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π3，a=2，b=x>0，若△ABC只有一解，则实数x的取值范围为
( )
A. x≥2B. x= 3C. 37.已知向量a，b的夹角为135°，且|a|= 2，|b|=2，c=a+xb(其中x∈R).当|c|取最小值时，c与b的夹角的大小为( )
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
8.已知α,β∈(0,π2)，且sinβ=2cs(α+β)sinα，则tanβ有( )
A. 最大值 3B. 最小值 3
C. 取不到最大值和最小值D. 以上均不正确
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若|z1|>|z2|，则z12>z22
B. 若z2≠0，则|z1z2|=|z1||z2|
C. 若z=−3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=19
D. 若1≤|z−2i|≤ 2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若AB. 若a=2，B=π3，且该三角形有两解，则 3C. 若tanAa2=tanBb2，则△ABC为等腰三角形
D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形
11.下列等式正确的是( )
A. cs3x=4cs3x−3csxB. sin3x=3sinx−4sin3x
C. sin18°= 5−14D. cs18°= 2(5− 5)4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足①②的复数z= ______．
①z2=z−；
②z∉R．
13.△ABC中，tanA=14，tanB=35.若△ABC最大边的边长为 17，则最小边的边长为______．
14.sin20°sin40°sin80°= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(cs(x+π4), 3),b=(2sin(x−π4),cs2x)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)图象的对称中心；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值，并求出相应x的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=3 62，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°．
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积S△ABC．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB．
(1)求A角的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求a−cb的取值范围．
18.(本小题17分)
已知平行四边形ABCD，∠BAD=60°，AD⊥BD，E、F分别为AC上2个三等分点．
(1)设AB=a，AD=b，|b|=1，判断DE、BF的位置关系并用向量方法加以证明，求DE⋅BF的值；
(2)已知A(1,1)，B(5,1)，求D点坐标及DE⋅DB的值．
19.(本小题17分)
设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcsx的“相伴向量”．
(1)设函数h(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求h(x)的“相伴向量”；
(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)=f(x)+2 3|sinx|−1，x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知点M(a,b)满足3a2−4ab+b2<0，向量OM的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵f(n)=(1+i1−i)2n+(1−i1+i)2n=[(1+i1−i)2]n+[(1−i1+i)2]n=2(−1)n，
∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,−2}，
∴集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为2个．
故选：B．
根据复数的乘方运算，化简f(n)，即可得到答案．
本题考查复数的乘方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若AB2+BC2若△ABC为钝角三角形，不一定是∠ABC是钝角，所以不一定是AB2+BC2是充分不必要条件．
故选：A．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若a与b的夹角为π3，
则|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 12+2×1×2×12+22= 7．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，
所以α+β∈(π2,3π2)，且sin(α+β)=−35，
故α+β∈(π,3π2)，所以cs(α+β)=−45；
因为csβ=−513，所以sinβ=1213；
故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
=(−35)×(−513)−(−45)×1213=6365．
故选：D．
根据条件，由sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=cs2x−6csx+1=2cs2x−6csx=2(csx−32)2−92；
故当csx=−1时，函数取得最大值f(x)max=8，当csx=1时，函数取得最小值为f(x)min=−4；
故函数的值域为[−4,8]．
故选：C．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，是基础题．
由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：如图，
若B=π3，a=2，b=x>0，要使△ABC只有一解，
则实数x的取值范围为x= 3或x≥2，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，向量a，b的夹角为135°，且|a|= 2，|b|=2，c=a+xb，
则有|c|2=c2=(a+xb)2=a2+x2b2+2xa⋅b=2+4x2+2x⋅2 2cs135°=4x2−4x+2=4(x−12)2+1，
当x=12时，可得|c|min2=1，此时c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2=−4+4=0，
又由c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2= 2×2cs135°+12×22=0，
所以c⊥b，即c与b的夹角为90°．
故选：C．
根据题意，化简得到|c|2=4x2−4x+2，结合二次函数的性质，得到当x=12时，|c|取得最小值，得出c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2=−4+4=0，再根据c⋅b=0，即可求解．
本题考查向量数量积计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由sinβ=2cs(α+β)sinα可得：sin[(α+β)−α]=2cs(α+β)sinα，
展开得sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=2cs(α+β)sinα，
即sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα(*)，
因为α,β∈(0,π2)且cs(α+β)>0，
故(α+β)∈(0,π2)，由(*)可得：tan(α+β)=3tanα．
由tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)⋅tanα=2tanα1+3tan2α=23tanα+1tanα，
因为α∈(0,π2)，则tanα>0，由3tanα+1tanα≥2 3tanα⋅1tanα=2 3，
可得：0即tanα= 33时，α=π6时，等号成立，故α=π6时，tanβ有最大值为 33．
故选：D．
注意到β=(α+β)−α，将等式化成sin[(α+β)−α]=2cs(α+β)sinα，展开整理得到sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα，利用角的范围，将其简化为tan(α+β)=3tanα，代入tanβ=tan[(α+β)−α]中整理可得tanβ=23tanα+1tanα，利用基本不等式即可求得最大值 33．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查复数的相关性质，属中档题．
根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可．
【解答】
解：对于A，若z1=1+2i，z2=1+i，满足|z1|>|z2|，
但z12=−3+4i，z22=2i，两者不能用大、小于号连接，A错误；
对于B，设z1=a+bi，z2=c+di，
则|z1z2|=|a+bic+di|=|ac+bd+(bc−ad)ic2+d2|
=1c2+d2× (ac+bd)2+(bc−ad)2
=1c2+d2× a2c2+b2c2+b2d2+a2d2
=1c2+d2× (a2+b2)(c2+d2)= a2+b2 c2+d2=|z1||z2|，B正确；
对于C，由z=−3+2i得z−=−3−2i，所以z+z−=−p=−6，则p=6，
z⋅z−=q=9−4i2=13，
所以p+q=6+13=19，C正确；
对于D，点Z的集合所构成的图形为半径为1和 2的同心圆所形成的圆环，面积为2π−π=π，D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、利用正弦定理判定三角形解的个数、两角和与差的正切公式，属于中档题．
根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D．
【解答】
解：因为 A可知 sinA如图，
a=2 ， B=π3 ，且该三角形有两解，
所以 asinπ3故B正确；
由正弦定理可得， tanAsin2A=tanBsin2B ，即 1sinAcsA=1sinBcsB ，
所以 sin2A=sin2B ，因为 2A,2B∈(0,2π) ，所以 2A=2B 或 2A+2B=π ，
即 A=B 或 A+B=π2 ，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；
因为 tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC
=−tanC+tanAtanBtanC+tanC =tanAtanBtanC>0 ，且 A,B,C∈(0,π) ，
所以 tanA>0,tanB>0,tanC>0 ，即 A,B,C 为锐角，所以 ▵ABC 为锐角三角形，故D正确．
故选：ABD．
11.【答案】ABC
【解析】解：由倍角公式cs2x=2cs2x−1，
cs3x=cs(2x+x)=cs2xcsx−sin2xsinx
=(2cs2x−1)csx−2(sinxcsx)sinx
=2cs3x−csx−2(1−cs2x)csx
=4cs3x−3csx，故A正确；
同理sin3x=sin2xcsx+cs2xsinx=2sinxcs2x+(1−2sin2x)sinx
=2sinx(1−sin2x)+sinx−2sin3x=3sinx−4sin3x，故B正确；
∵sin36°=cs54°，
∴2sin18°cs18°=4cs318°−3cs18°，
∴2sin18°=4cs218°−3
∴4sin218°+2sin18°−1=0，
∴sin18°= 5−14或sin18°=− 5−14(舍去)．
cs18°= 1−sin218°= 1−( 5−14)2= 2(5+ 5)4，故C正确，D错误．
故选：ABC．
利用三角恒等变换即可判断A、B，再利用A的结论cs3x=4cs3x−3csx以及sin36°=cs54°，求出sin18°和cs18°的值，即可判断CD．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】z=−12+ 32i(或z=−12− 32i)
【解析】解：因为z∉R，不妨设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，
由z2=z−得(a+bi)2=a2−b2+2abi=a−bi，
所以a2−b2=a2ab=−b，解得a=−12，b=± 32，所以z=−12− 32i或z=−12+ 32i，
故答案为：z=−12+ 32i(或z=−12− 32i).
根据题意，设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，结合条件，列出方程，求解即可．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
13.【答案】 2
【解析】解：∵△ABC中，tanA=14，tanB=35，
∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=14+351−14×35=1，即tanC=−tan(A+B)=−1，
∴C=3π4，
∵tanA=14，
∴cs2A=11+tan2A=1617，sinA= 1−cs2A= 1717，
∵tanA∴a为最小边，
利用正弦定理csinC=asinA得：a=csinAsinC= 17× 1717 22= 2．
故答案为： 2
利用两角和与差的正切函数公式列出关系式，将tanA与tanB的值代入求出tan(A+B)的值，进而确定出tanC的值，得到C的度数，由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出a的值，即为最小边长．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
14.【答案】 38
【解析】解：因为cs20°=cs(40°−20°)=cs40°cs20°+sin40°sin20°，
cs60°=cs(40°+20°)=cs40°cs20°−sin40°sin20°，
同理，由积化和差角公式可得，sin80°cs20°=12(sin100°+sin60°)，
则sin20°sin40°=cs20°−cs60°2=cs20°2−14，
所以sin20°sin40°sin80°=(cs20°2−14)sin80°=sin80°cs20°2−14sin80°，
故sin80°cs20°2−14sin80°=14(sin100°+sin60°)−14sin80°=14sin60°= 38．
故答案为： 38．
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b=cs(x+π4)⋅2sin(x−π4)+ 3cs2x
= 22(csx−sinx)⋅ 2(sinx−csx)+ 3cs2x
=−1+2sinxcsx+ 3cs2x=sin2x+ 3cs2x−1
=2sin(2x+π3)−1，
令2x+π3=kπ，得x=−π6+kπ2，k∈Z，所以对称中心为(kπ2−π6,−1)，k∈Z．
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，
所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，得到f(x)∈[− 3−1,1]，
当sin(2x+π3)=1时，2x+π3=π2，即x=π12，当sin(2x+π3)=− 32时，2x+π3=4π3，即x=π2，
所以，f(x)最大值为1，此时x=π12，最小值为− 3−1，此时x=π2．
【解析】(1)根据条件得到f(x)=2sin(2x+π3)−1，再利用y=sinx性质即可求出结果；
(2)由(1)及y=sinx图像与性质知，x∈[0,π2]时，sin(2x+π3)∈[− 32,1]，即可求出结果．
本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=3 62，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，
在Rt△AEB中，AE=ABsinB=3 62× 22=3 32，
在Rt△AEC中，AC=AEsin∠ACB=3 32 32=3，
由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcs∠ACD=9+25−2×3×5×(−12)=49，
∴AD=7；
(2)sin∠BAC=sin(∠ABC+∠ACB)
=sin∠ABCcs∠ACB+cs∠ABCsin∠ACB
= 22×12+ 22× 32= 2+ 64，
∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=12⋅3 62⋅3⋅ 6+ 24=27+9 38．
【解析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，分别求出AE=3 32，AC=3，再由余弦定理即可求出；
(2)直接由三角形的面积公式即可求得答案．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于bsinB+C2=asinB，整理得sinB⋅csA2=sinAsinB，故sinA2=12，
由于0所以A=π3；
(2)△ABC为锐角三角形，
故π6利用正弦定理a−cb=sinA−sinCsinB= 32−sin(2π3−B)sinB= 32tanB2−12；
所以 3−2< 32tanB2−12< 3−12；
即a−cb∈( 3−2, 3−12)．
【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出A的值；
(2)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换及正切函数的值求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)DE//BF，理由如下：
DE=AE−AD=13AC−AD=13(AB+AD)−AD=13a−23b，
BF=AF−AB=23AC−AB=23(AB+AD)−AB=−13a+23b，
所以DE=−BF，即DE//BF，
因为∠BAD=60°，AD⊥BD，且AD=1，所以AB=2，即|a|=2，
所以DE⋅BF=(13a−23b)⋅(−13a+23b)=−19a2+49a⋅b−49b2=−19×4+49×1×2×cs60°−49×1=−49．
(2)过点D作DN⊥AB于点N，
由A(1,1)，B(5,1)，知AB=4，
因为∠BAD=60°，所以AD=2，所以AN=1，DN= 3，
所以D(2,1+ 3)，C(6,1+ 3)，
所以AC=(5, 3)，DB=(3,− 3)，
因为点E为线段AC的靠近点A的三等分点，所以AE=13AC=(53, 33)，
所以DE=DA+AE=(−1,− 3)+(53, 33)=(23,−2 33)，
所以DE⋅DB=(23,−2 33)⋅(3,− 3)=2+2=4．
【解析】(1)用基底a，b表示出DE和BF，即可知DE与BF的位置关系，再根据平面向量的四则运算法则，即可得解；
(2)过点D作DN⊥AB于点N，根据平面几何知识，可得点D的坐标，再表示出向量DE的坐标，然后由平面向量数量积的运算法则，得解．
本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)h(x)=2( 32csx−12sinx)−( 32csx−12sinx)=−12sinx+ 32csx，
所以函数h(x)的“相伴向量”OM=(−12, 32)．
(2)由题知：f(x)=0⋅sinx+2⋅csx=2csx．
g(x)=2csx+2 3|sinx|−1={4sin(x+π6)−1,0⩽x⩽π4cs(x+π3)−1,π可求得g(x)在(0,π3)单调递增，(π3,π)单调递减，(π,5π3)单调递增，(53π,2π)单调递减，
且g(0)=1，g(π3)=3，g(π)=−3，g(53π)=3，g(2π)=1，
∵g(x)图象与y=k有且仅有四个不同的交点，
∴1⩽k<3，
所以，实数k的取值范围为[1,3)；
(3)f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，
其中csφ=a a2+b2，sinφ=b a2+b2，tanφ=ba，
∵x∈R∴当x+φ=π2+2kπ，k∈Z即x0=π2−φ+2kπ时，f(x)取得最大值．
此时tan2x0=tan(π−2φ)=−tan2φ=−2tanφ1−tan2ϕ，
令tanφ=ba=m，则由3a2−4ab+b2<0知：m2−4m+3<0，解得1tan2x0=−2m1−m2=2m−1m，因为y=m−1m在m∈(1,3)上单调递增，
所以tan2x0=−2m1−m2=2m−1m在m∈(1,3)上单调递减，从而tan2x0∈(34,+∞)
【解析】(1)由两角和差的三角函数公式可得h(x)=−12sinx+ 32csx，进而可得函数h(x)的相伴向量．
(2)根据题意可得f(x)=2csx，作出分段函数g(x)的图象，得出函数g(x)与y=k有四个交点时，实数k的取值范围．
(3)根据题意可得f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，其中tanφ=ba，当x0=2kπ+π2−φ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，令m=ba(a≠b)，则m2−4m+3<0，解得m的取值范围，再求出tan2x0=2m−1m(1本题主要考查向量和三角函数相结合的新定义问题，属于较难题
1.已知f(n)=(1+i1−i)2n+(1−i1+i)2n(n∈N*)，则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.在△ABC中，“AB2+BC2
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若a与b的夹角为π3，则|a+b|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 7
4.已知α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，若sin(α+β)=−35，csβ=−513，则sinα的值为( )
A. 1665B. 3365C. 5665D. 6365
5.函数f(x)=cs2x−6csx+1的值域为( )
A. [−92,+∞)B. [−92,−4]C. [−4,8]D. [−92,8]
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π3，a=2，b=x>0，若△ABC只有一解，则实数x的取值范围为
( )
A. x≥2B. x= 3C. 3
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
8.已知α,β∈(0,π2)，且sinβ=2cs(α+β)sinα，则tanβ有( )
A. 最大值 3B. 最小值 3
C. 取不到最大值和最小值D. 以上均不正确
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若|z1|>|z2|，则z12>z22
B. 若z2≠0，则|z1z2|=|z1||z2|
C. 若z=−3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=19
D. 若1≤|z−2i|≤ 2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若A
D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC为锐角三角形
11.下列等式正确的是( )
A. cs3x=4cs3x−3csxB. sin3x=3sinx−4sin3x
C. sin18°= 5−14D. cs18°= 2(5− 5)4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时满足①②的复数z= ______．
①z2=z−；
②z∉R．
13.△ABC中，tanA=14，tanB=35.若△ABC最大边的边长为 17，则最小边的边长为______．
14.sin20°sin40°sin80°= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(cs(x+π4), 3),b=(2sin(x−π4),cs2x)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)图象的对称中心；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值，并求出相应x的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，AB=3 62，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°．
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积S△ABC．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB．
(1)求A角的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，利用(1)所求的A角值求a−cb的取值范围．
18.(本小题17分)
已知平行四边形ABCD，∠BAD=60°，AD⊥BD，E、F分别为AC上2个三等分点．
(1)设AB=a，AD=b，|b|=1，判断DE、BF的位置关系并用向量方法加以证明，求DE⋅BF的值；
(2)已知A(1,1)，B(5,1)，求D点坐标及DE⋅DB的值．
19.(本小题17分)
设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcsx的“相伴向量”．
(1)设函数h(x)=2sin(π3−x)−cs(π6+x)，求h(x)的“相伴向量”；
(2)记OM=(0,2)的“相伴函数”为f(x)，若函数g(x)=f(x)+2 3|sinx|−1，x∈[0,2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知点M(a,b)满足3a2−4ab+b2<0，向量OM的“相伴函数”f(x)在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵f(n)=(1+i1−i)2n+(1−i1+i)2n=[(1+i1−i)2]n+[(1−i1+i)2]n=2(−1)n，
∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,−2}，
∴集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为2个．
故选：B．
根据复数的乘方运算，化简f(n)，即可得到答案．
本题考查复数的乘方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若AB2+BC2
故选：A．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若a与b的夹角为π3，
则|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 12+2×1×2×12+22= 7．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为α∈(0,π2)，β∈(π2,π)，
所以α+β∈(π2,3π2)，且sin(α+β)=−35，
故α+β∈(π,3π2)，所以cs(α+β)=−45；
因为csβ=−513，所以sinβ=1213；
故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
=(−35)×(−513)−(−45)×1213=6365．
故选：D．
根据条件，由sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ求解即可．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，和角的正弦，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=cs2x−6csx+1=2cs2x−6csx=2(csx−32)2−92；
故当csx=−1时，函数取得最大值f(x)max=8，当csx=1时，函数取得最小值为f(x)min=−4；
故函数的值域为[−4,8]．
故选：C．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，是基础题．
由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】
解：如图，
若B=π3，a=2，b=x>0，要使△ABC只有一解，
则实数x的取值范围为x= 3或x≥2，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，向量a，b的夹角为135°，且|a|= 2，|b|=2，c=a+xb，
则有|c|2=c2=(a+xb)2=a2+x2b2+2xa⋅b=2+4x2+2x⋅2 2cs135°=4x2−4x+2=4(x−12)2+1，
当x=12时，可得|c|min2=1，此时c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2=−4+4=0，
又由c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2= 2×2cs135°+12×22=0，
所以c⊥b，即c与b的夹角为90°．
故选：C．
根据题意，化简得到|c|2=4x2−4x+2，结合二次函数的性质，得到当x=12时，|c|取得最小值，得出c⋅b=(a+12b)⋅b=a⋅b+12b2=−4+4=0，再根据c⋅b=0，即可求解．
本题考查向量数量积计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由sinβ=2cs(α+β)sinα可得：sin[(α+β)−α]=2cs(α+β)sinα，
展开得sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=2cs(α+β)sinα，
即sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα(*)，
因为α,β∈(0,π2)且cs(α+β)>0，
故(α+β)∈(0,π2)，由(*)可得：tan(α+β)=3tanα．
由tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)⋅tanα=2tanα1+3tan2α=23tanα+1tanα，
因为α∈(0,π2)，则tanα>0，由3tanα+1tanα≥2 3tanα⋅1tanα=2 3，
可得：0
故选：D．
注意到β=(α+β)−α，将等式化成sin[(α+β)−α]=2cs(α+β)sinα，展开整理得到sin(α+β)csα=3cs(α+β)sinα，利用角的范围，将其简化为tan(α+β)=3tanα，代入tanβ=tan[(α+β)−α]中整理可得tanβ=23tanα+1tanα，利用基本不等式即可求得最大值 33．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查复数的相关性质，属中档题．
根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可．
【解答】
解：对于A，若z1=1+2i，z2=1+i，满足|z1|>|z2|，
但z12=−3+4i，z22=2i，两者不能用大、小于号连接，A错误；
对于B，设z1=a+bi，z2=c+di，
则|z1z2|=|a+bic+di|=|ac+bd+(bc−ad)ic2+d2|
=1c2+d2× (ac+bd)2+(bc−ad)2
=1c2+d2× a2c2+b2c2+b2d2+a2d2
=1c2+d2× (a2+b2)(c2+d2)= a2+b2 c2+d2=|z1||z2|，B正确；
对于C，由z=−3+2i得z−=−3−2i，所以z+z−=−p=−6，则p=6，
z⋅z−=q=9−4i2=13，
所以p+q=6+13=19，C正确；
对于D，点Z的集合所构成的图形为半径为1和 2的同心圆所形成的圆环，面积为2π−π=π，D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、利用正弦定理判定三角形解的个数、两角和与差的正切公式，属于中档题．
根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D．
【解答】
解：因为 A可知 sinA
a=2 ， B=π3 ，且该三角形有两解，
所以 asinπ3
由正弦定理可得， tanAsin2A=tanBsin2B ，即 1sinAcsA=1sinBcsB ，
所以 sin2A=sin2B ，因为 2A,2B∈(0,2π) ，所以 2A=2B 或 2A+2B=π ，
即 A=B 或 A+B=π2 ，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；
因为 tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1−tanAtanB)+tanC
=−tanC+tanAtanBtanC+tanC =tanAtanBtanC>0 ，且 A,B,C∈(0,π) ，
所以 tanA>0,tanB>0,tanC>0 ，即 A,B,C 为锐角，所以 ▵ABC 为锐角三角形，故D正确．
故选：ABD．
11.【答案】ABC
【解析】解：由倍角公式cs2x=2cs2x−1，
cs3x=cs(2x+x)=cs2xcsx−sin2xsinx
=(2cs2x−1)csx−2(sinxcsx)sinx
=2cs3x−csx−2(1−cs2x)csx
=4cs3x−3csx，故A正确；
同理sin3x=sin2xcsx+cs2xsinx=2sinxcs2x+(1−2sin2x)sinx
=2sinx(1−sin2x)+sinx−2sin3x=3sinx−4sin3x，故B正确；
∵sin36°=cs54°，
∴2sin18°cs18°=4cs318°−3cs18°，
∴2sin18°=4cs218°−3
∴4sin218°+2sin18°−1=0，
∴sin18°= 5−14或sin18°=− 5−14(舍去)．
cs18°= 1−sin218°= 1−( 5−14)2= 2(5+ 5)4，故C正确，D错误．
故选：ABC．
利用三角恒等变换即可判断A、B，再利用A的结论cs3x=4cs3x−3csx以及sin36°=cs54°，求出sin18°和cs18°的值，即可判断CD．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】z=−12+ 32i(或z=−12− 32i)
【解析】解：因为z∉R，不妨设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，
由z2=z−得(a+bi)2=a2−b2+2abi=a−bi，
所以a2−b2=a2ab=−b，解得a=−12，b=± 32，所以z=−12− 32i或z=−12+ 32i，
故答案为：z=−12+ 32i(或z=−12− 32i).
根据题意，设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，结合条件，列出方程，求解即可．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
13.【答案】 2
【解析】解：∵△ABC中，tanA=14，tanB=35，
∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=14+351−14×35=1，即tanC=−tan(A+B)=−1，
∴C=3π4，
∵tanA=14，
∴cs2A=11+tan2A=1617，sinA= 1−cs2A= 1717，
∵tanA
利用正弦定理csinC=asinA得：a=csinAsinC= 17× 1717 22= 2．
故答案为： 2
利用两角和与差的正切函数公式列出关系式，将tanA与tanB的值代入求出tan(A+B)的值，进而确定出tanC的值，得到C的度数，由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出a的值，即为最小边长．
此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
14.【答案】 38
【解析】解：因为cs20°=cs(40°−20°)=cs40°cs20°+sin40°sin20°，
cs60°=cs(40°+20°)=cs40°cs20°−sin40°sin20°，
同理，由积化和差角公式可得，sin80°cs20°=12(sin100°+sin60°)，
则sin20°sin40°=cs20°−cs60°2=cs20°2−14，
所以sin20°sin40°sin80°=(cs20°2−14)sin80°=sin80°cs20°2−14sin80°，
故sin80°cs20°2−14sin80°=14(sin100°+sin60°)−14sin80°=14sin60°= 38．
故答案为： 38．
由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b=cs(x+π4)⋅2sin(x−π4)+ 3cs2x
= 22(csx−sinx)⋅ 2(sinx−csx)+ 3cs2x
=−1+2sinxcsx+ 3cs2x=sin2x+ 3cs2x−1
=2sin(2x+π3)−1，
令2x+π3=kπ，得x=−π6+kπ2，k∈Z，所以对称中心为(kπ2−π6,−1)，k∈Z．
(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，
所以sin(2x+π3)∈[− 32,1]，得到f(x)∈[− 3−1,1]，
当sin(2x+π3)=1时，2x+π3=π2，即x=π12，当sin(2x+π3)=− 32时，2x+π3=4π3，即x=π2，
所以，f(x)最大值为1，此时x=π12，最小值为− 3−1，此时x=π2．
【解析】(1)根据条件得到f(x)=2sin(2x+π3)−1，再利用y=sinx性质即可求出结果；
(2)由(1)及y=sinx图像与性质知，x∈[0,π2]时，sin(2x+π3)∈[− 32,1]，即可求出结果．
本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
16.【答案】解：(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=3 62，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，
在Rt△AEB中，AE=ABsinB=3 62× 22=3 32，
在Rt△AEC中，AC=AEsin∠ACB=3 32 32=3，
由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcs∠ACD=9+25−2×3×5×(−12)=49，
∴AD=7；
(2)sin∠BAC=sin(∠ABC+∠ACB)
=sin∠ABCcs∠ACB+cs∠ABCsin∠ACB
= 22×12+ 22× 32= 2+ 64，
∴S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=12⋅3 62⋅3⋅ 6+ 24=27+9 38．
【解析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，分别求出AE=3 32，AC=3，再由余弦定理即可求出；
(2)直接由三角形的面积公式即可求得答案．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于bsinB+C2=asinB，整理得sinB⋅csA2=sinAsinB，故sinA2=12，
由于0
(2)△ABC为锐角三角形，
故π6
所以 3−2< 32tanB2−12< 3−12；
即a−cb∈( 3−2, 3−12)．
【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出A的值；
(2)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换及正切函数的值求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)DE//BF，理由如下：
DE=AE−AD=13AC−AD=13(AB+AD)−AD=13a−23b，
BF=AF−AB=23AC−AB=23(AB+AD)−AB=−13a+23b，
所以DE=−BF，即DE//BF，
因为∠BAD=60°，AD⊥BD，且AD=1，所以AB=2，即|a|=2，
所以DE⋅BF=(13a−23b)⋅(−13a+23b)=−19a2+49a⋅b−49b2=−19×4+49×1×2×cs60°−49×1=−49．
(2)过点D作DN⊥AB于点N，
由A(1,1)，B(5,1)，知AB=4，
因为∠BAD=60°，所以AD=2，所以AN=1，DN= 3，
所以D(2,1+ 3)，C(6,1+ 3)，
所以AC=(5, 3)，DB=(3,− 3)，
因为点E为线段AC的靠近点A的三等分点，所以AE=13AC=(53, 33)，
所以DE=DA+AE=(−1,− 3)+(53, 33)=(23,−2 33)，
所以DE⋅DB=(23,−2 33)⋅(3,− 3)=2+2=4．
【解析】(1)用基底a，b表示出DE和BF，即可知DE与BF的位置关系，再根据平面向量的四则运算法则，即可得解；
(2)过点D作DN⊥AB于点N，根据平面几何知识，可得点D的坐标，再表示出向量DE的坐标，然后由平面向量数量积的运算法则，得解．
本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)h(x)=2( 32csx−12sinx)−( 32csx−12sinx)=−12sinx+ 32csx，
所以函数h(x)的“相伴向量”OM=(−12, 32)．
(2)由题知：f(x)=0⋅sinx+2⋅csx=2csx．
g(x)=2csx+2 3|sinx|−1={4sin(x+π6)−1,0⩽x⩽π4cs(x+π3)−1,π
且g(0)=1，g(π3)=3，g(π)=−3，g(53π)=3，g(2π)=1，
∵g(x)图象与y=k有且仅有四个不同的交点，
∴1⩽k<3，
所以，实数k的取值范围为[1,3)；
(3)f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，
其中csφ=a a2+b2，sinφ=b a2+b2，tanφ=ba，
∵x∈R∴当x+φ=π2+2kπ，k∈Z即x0=π2−φ+2kπ时，f(x)取得最大值．
此时tan2x0=tan(π−2φ)=−tan2φ=−2tanφ1−tan2ϕ，
令tanφ=ba=m，则由3a2−4ab+b2<0知：m2−4m+3<0，解得1
所以tan2x0=−2m1−m2=2m−1m在m∈(1,3)上单调递减，从而tan2x0∈(34,+∞)
【解析】(1)由两角和差的三角函数公式可得h(x)=−12sinx+ 32csx，进而可得函数h(x)的相伴向量．
(2)根据题意可得f(x)=2csx，作出分段函数g(x)的图象，得出函数g(x)与y=k有四个交点时，实数k的取值范围．
(3)根据题意可得f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，其中tanφ=ba，当x0=2kπ+π2−φ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，令m=ba(a≠b)，则m2−4m+3<0，解得m的取值范围，再求出tan2x0=2m−1m(1
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