2023-2024学年山东省菏泽一中八一路校区高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽一中八一路校区高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a,b,c是平面上的非零向量，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=2|b|，则向量a+b与a的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为( )
A. (2,−1)B. (1,−12)C. (4,−2)D. (3,1)
4.将向量OA=(1,1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到OB，则OA⋅AB=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. −1312C. 1312D. 112
6.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB=25米，∠AOB=30°，则该塔的高度OP=( )
A. 25 2米B. 25 3米C. 50米D. 25 6米
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若asinA+C2=bsinA,6S= 3AB⋅AC，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC是锐角三角形
C. 若a=10，b=8，A=60°，则符合条件的△ABC有两个
D. 对任意△ABC，都有csA+csB>0
10.下列说法中错误的是( )
A. 若a,b都是非零向量，则“a|a|+b|b|=0”是“a与b共线”的充要条件
B. 若a,b都是非零向量，且|a+b|=|a−b|，则a⊥b
C. 若单位向量a,b,c满足3a+4b+5c=0，则a⋅(b+c)=35
D. 若I为三角形ABC外心，且2BI=BA+BC，则B为三角形ABC的垂心
11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则以下说法正确的有( )
A. 恒有AC2+BD2=2(AB2+AD2)成立
B. 若AB=3，AO= 372，AD=4，则平行四边形ABCD的面积为6 3
C. 恒有AB⋅AD=|AO|2−|BO|2成立
D. 若DO=3，AC=10，则AB⋅BC=−16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(m+1,m)，b=(2,−1)，若a与b所成的角为锐角，则实数m的取值范围为______．
13.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺(称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆(称为“表”)，如图.成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的.利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为23°(∠ABC)和83°(∠ADC).设表高AC为1米，则影差BD≈ ______米.(参考数据：sin16°≈0.276， 3≈1.732)
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC是锐角三角形且角A=2B，则ab的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(−1,0)，b=(2,1)．
(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．
(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，点D在线段BC上，且BD=12DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
17.(本小题15分)
“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子⋅离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具.有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c=4 5cm．
(1)求sinC；
(2)若△ABC的面积为8cm2，且a>c，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcsC=2a+c．
(1)求角B的大小；
(2)若b=2 3，D为AC边上的一点，BD=1，且，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．)
19.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4．
(Ⅰ)若BC=4 2，AD=2 2，求△ACD的面积；
(Ⅱ)若D=2π3，求BC−AD的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：若“a=b”成立，则“a⋅c=b⋅c”成立，故必要性成立；
若“a⋅c=b⋅c”成立，则有(a−b)⋅c=0，
即a=b或(a−b)⊥c，故充分性不成立；
故“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的必要不充分条件．
故选：B．
根据数量积的运算性质判断．
本题考查数量积的运算性质，考查充分、必要条件的判定，属基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
推导出a⊥b，a2=3b2，从而求出cs=(a+b)⋅a|a+b|⋅|a|=a2 43⋅a2= 32，由此能求出向量a+b与a的夹角．
本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：∵两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=2|b|，
∴a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b=4b2，
∴a⊥b，a2=3b2，
∴cs=(a+b)⋅a|a+b|⋅|a|=a2+a⋅b a2+b2+2a⋅b⋅|a|
=a2 43⋅a2= 32，
∴向量a+b与a的夹角π6．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：向量a=(6,2)，b=(2,−1)，
则a⋅b=6×2+2×(−1)=10，|b|= 22+(−1)2= 5，
故所求投影向量为：a⋅b|b|×b|b|=2b=(4,−2)．
故选：C．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为|OA|= 12+12= 2，且|OB|=|OA|= 2，
所以OA⋅AB=OA⋅(OB−OA)=OA⋅OB−OA2= 2× 2×cs60°−( 2)2=−1．
故选：B．
根据平面向量的数量积计算即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了逻辑推理与数学运算素养，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，因为AD=2DB，
所以AB=32AD，
所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD，
又因为C，P，D三点共线，
所以m+34=1，
即m=14，
所以AP=14AC+12AB，
又CD=AD−AC=23AB−AC，
又∠BAC=π3，|AC|=3，|AB|=4，
所以AP⋅CD=(14AC+12AB)⋅(23AB−AC)
=13AB2−14AC2−13AB⋅AC
=13×16−14×9−13×4×3×12
=1312，
故选：C．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知，∠OAP=60°，∠OBP=45°，
设OP=h米，
在Rt△AOP中，OA=OPtan∠OAP=h 3= 33h米，
在Rt△BOP中，OB=OPtan∠OBP=h1=h米，
由余弦定理可得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs∠AOB，
即AB2=13h2+h2−2× 33h2× 32=13h2，解得h= 3AB，
因为AB=25米，所以h=25 3米．
故选：B．
利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为asinA+C2=bsinA，所以asin(π2−B2)=acsB2=bsinA，
由正弦定理可得sinAcsB2=sinBsinA，
因为sinA≠0，故可得csB2=sinB=2sinB2csB2，
因为B∈(0,π),B2∈(0,π2)，所以csB2≠0，
所以sinB2=12，可得B2=π6，故B=π3，
又6S= 3AB⋅AC，可得6×12bcsinA= 3×bccsA，即tanA= 33，
因为A∈(0,π)，可得A=π6，
所以C=π−A−B=π2，则△ABC的形状是直角三角形．
故选：B．
由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sinB2=12，进而可求得B的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，即可判断三角形形状．
本题考查三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式，三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的平行四边形法则、三角形外接圆的性质、数量积运算定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由N是BC边的中点，可得AN=12(AB+AC)，利用M是△ABC的外接圆的圆心，可得AM⋅AB=|AM||AB|cs∠BAM=12|AB|2=12×42=8，同理可得AM⋅AC=12|AC|2=18，即可得出结论．
【解答】
解：∵N是BC边的中点，可得AN=12(AB+AC)，
∵M是△ABC的外接圆的圆心，
∴AM⋅AB=|AM||AB|cs∠BAM=12|AB|2=12×42=8，
同理可得AM⋅AC=12|AC|2=18，
∴AN⋅AM=12(AB+AC)⋅AM=12AM⋅AB+12AM⋅AC=12×8+12×18=13．
故选C．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵sinA>sinB，
∴由正弦定理知a>b，
又∵在三角形中大角对大边，
∴A>B，故A正确；
对于B，由tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB，
化为tanA+tanB=tanC(tanAtanB−1)，
∴tanA+tanB+tanC=tanC(tanAtanB−1)+tanC=tanAtanBtanC>0，
又∵最多只有一个角为钝角，
∴tanA>0，tanB>0，tanC>0，即三个角都为锐角，
∴△ABC为锐角三角形，故B正确；
对于C，∵a=10，b=8，A=60°，
∴由正弦定理得：sinB=bsinAa=8× 3210=2 35，
又a>b，
∴B为锐角，
∴B的度数只有一解，则符合条件的△ABC有一个，故C错误；
对于D：A，B都是锐角或一锐角一直角时显然成立，
当一钝角和一锐角时，设A为钝角，B为锐角，
则0由y=csx在(0,π)上单调递减，
故csB>cs(π−A)=−csA，
即csA+csB>0，
综上可知，在△ABC中，恒有csA+csB>0，故D正确．
故选：ABD．
对于A，由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断；
对于B，通过内角和为π化简角C，再利用两角和的正切公式化简即可得到tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0，即可判断；
对于C，由题意利用正弦定理得sinB=2 35，结合大边对大角可求B为锐角，即可判断得解；
对于D，分类讨论，利用余弦函数的性质即可判断．
本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了余弦函数的性质的应用，考查了三角形的形状判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A项，由a与b共线，
可取a=b≠0，
则a|a|=b|b|，
又a|a|+b|b|≠0，
即“a|a|+b|b|=0”是“a与b共线”的充分不必要条件，
故A项错误；
对于B项，由|a+b|=|a−b|两边平方，展开得a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，
化简得：a⋅b=0，
即a⊥b，
故B项正确；
对于C项，由3a+4b+5c=0可得：−3a−5c=4b，
两边平方得16b2=9a2+30a⋅c+25c2，
因a,b,c是单位向量，
则|a|=|b|=|c|=1，
则16=9+30a⋅c+25，
解得a⋅c=−35，
又由3a+4b+5c=0可得：5c=−3a−4b，
两边平方得25c2=9a2+24a⋅b+16b2，
则25=9+24a⋅b+16，
解得a⋅b=0，
则a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c=−35，
故C项错误；
对于D项，因为BI=BC+CI,BI=BA+AI，
故由2BI=BA+BC可得：CI+AI=0，
故得点I为边AC的中点，
即三角形ABC的外心为AC的中点，
即AI=BI=CI，
故得AB⊥BC，
即B为三角形ABC的垂心，
故D项正确．
故选：AC．
对于A，只需通过举反例说明由“a与b共线”推不出“a|a|+b|b|=0”即可；对于B，将等式两边平方，化简即得a⋅b=0；对于C，通过题设移项后平方分别求出a⋅c=−35和a⋅b=0即得；对于D，由题设分解向量推得CI+AI=0，即得点I为边AC的中点，推出∠ABC=90°即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：设AB=a,AD=b，以其为基底，AC=a+b,DB=a−b，
则AC2+BD2=(a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2=2(AB2+AD2)，故A正确；
由AB=3，AO= 372，AD=4，
可得AO2=(a+b2)2=a2+b24+a⋅b2=374，
解得a⋅b=6，则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=63×4=12，
所以∠BAD=60°，S▱ABCD=2S△ABD=AB⋅AD⋅sin∠BAD=6 3，故B正确；
因为(a+b)2+(a−b)24=a⋅b，
所以(AC2)2−(BD2)2=AB⋅AD=|AO|2−|BO|2，故C正确；
由C项可得AO2−DO2=AB⋅AD=(AC2)2−DO2=16=AB⋅BC，故D错误．
故选：ABC．
利用向量的数量积公式可判定A、C、D选项，结合三角形面积公式可判定B项．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
12.【答案】(−2,−13)∪(−13,+∞)
【解析】解：根据题意，因为a与b所成的角为锐角，故a⋅b>0且a,b不共线同向．
若a⋅b>0，即2(m+1)−m>0，解可得m>−2．
若a,b共线，则−(m+1)=2m，解可得m=−13，
故实数m的取值范围为(−2,−13)∪(−13,+∞)．
故答案为：(−2,−13)∪(−13,+∞)．
根据题意，由向量数量积的性质可得a⋅b>0且a,b不共线同向，由此可得关于m的不等式，解可得答案．
本题考查向量数量积的运算和性质，涉及向量的夹角，属于基础题．
13.【答案】2.232
【解析】解：在Rt△ACD中，AD=ACsin83∘=1cs7∘(米)，
在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，
即BDsin(83∘−23∘)=ADsin23∘，
所以BD= 32sin23°cs7°(米)，
因为sin30°=sin(23°+7°)=sin23°cs7°+cs23°sin7°，
且sin16°=sin(23°−7°)=sin23°cs7°−cs23°sin7°，
所以2sin23°cs7°=sin30°+sin16°≈0.776，所以BD≈≈2.232(米)．
故答案为：2.232．
由正弦定理和三角函数得到BD= 32sin23°cs7°，利用正弦和差公式得到2sin23°cs7°=sin30°+sin16°≈0.776，求出BD的大小．
本题考查正弦定理及和差角公式的应用，属于中档题．
14.【答案】( 2, 3)
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB可得，ab=sinAsinB=sin2BsinB=2csB，
因为△ABC是锐角三角形，
所以0所以 22所以ab的取值范围为( 2, 3)．
故答案为：( 2, 3)．
由正弦定理可以把边的比值关系转化为角B的关系，之后利用锐角三角形得到角B的范围，之后求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
15.【答案】(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，
则可得AB//BC，
即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；
(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则ka−b=(−k−2,−1)，a+2b=(3,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，
则可得3(−k−2)+2×(−1)=0，解得k=−83．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
16.【答案】解：(1)在△ABC中，因为∠BAC=120°，AB=AC=3，所以∠ABC=∠ACB=30°，BC=3 3．
所以BD= 3,CD=2 3．
在△ABD中，由余弦定理有AD2=BA2+BD2−2⋅BD⋅BA⋅csB=3，所以AD= 3．
(2)由(1)知，AD=BD，所以∠DAB=∠DBA=30°，所以∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°．
【解析】(1)在△ABC中利用余弦定理求出BC，进而求出BD，在△ABD中利用余弦定理求AD．
(2)根据(1)中的结果求出∠DAB，从而求出∠DAC．
本题考查余弦定理，等腰三角形的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设△ABC的外接圆半径为R，则2R= 102+52=5 5(cm)，
由正弦定理csinC=2R，可得sinC=c2R=4 55 5=45；
(2)∵a>c，则A>C，
故C为锐角，
∴csC= 1−sin2C=35，
由面积公式S=12absinC，即8=12ab×45，可得ab=20，
由余弦定理csC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab，即35=(a+b)2−40−8040，
可得(a+b)2=144，解得a+b=12(cm)，
故△ABC的周长为a+b+c=12+4 5(cm)．
【解析】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
(1)根据题意可求圆的直径2R=5 5，再结合正弦定理运算求解；
(2)根据三角形面积公式可得ab=20，结合余弦定理可得a+b的值，从而可求周长．
18.【答案】解：(1)因为2bcsC=2a+c，
由正弦定理知，2sinBcsC=2sinA+sinC，
在三角形中，∵sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
代入上式得2csBsinC+sinC=0，
∵C∈(0,π)，
∴sinC>0，csB=−12，
∵B∈(0,π)，所以B=23π；
(2)若选①：由BD平分∠ABC得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，BD=1，
所以12acsin23π=12×1×csinπ3+12×1×asinπ3，
即ac=a+c，
在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accs23π，
又b=2 3，∴a2+c2+ac=12，即(a+c)2−ac−12=0，
所以(ac)2−ac−12=0，
解得ac=4(ac=−3舍去)，
所以S△ABC=12acsinB=12×4×sin23π= 3．
所以△ABC的面积为 3．
若选②：因为D为线段AC的中点，所以BD=12(BA+BC)，
两边平方可得BD2=14(BA2+BC2+BA⋅BC)，
而BD=1，
所以1=14(c2+a2+2accsB)，而B=23π，
可得a2+c2−ac=4，
在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
即a2+c2+ac=12，
联立，可得ac=4，
S△ABC=12acsinB=12×4×sin23π= 3．
所以△ABC的面积为 3．
【解析】(1)由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得B角的余弦值，进而求出B角的大小；
(2)若选①由角平分线及BD的值，可得S△ABC=S△ABD+S△BCD，两边整理可得a，c的关系，再由△ABC中余弦定理可得a，c的关系，两式联立，进而求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选②由题意可得向量的关系，两边平方可得a，c的关系，再由余弦定理a，c的关系，两式联立求出ac的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(I)因为在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4，
所以ACsinB=8，解得AC=4，
在△ABC中，BC=4 2，则BCsin∠CAB=4 2sin∠CAB=8，
解得sin∠CAB= 22，
因为∠CAB∈(0,π2)，
所以∠CAB=π4，
又因为在△ACD中，AC=4，∠DAC=π2−∠CAB=π4，AD=2 2，
可得S△ACD=12×4×2 2× 22=4；
(II)设∠DAC=θ，θ∈(0,π3)，
又因为D=2π3，
可得∠ACD=π3−θ，
又∠DAB=π2，
可得∠CAB=π2−θ，
又因为在△DAC中，AC=4，由正弦定理得ACsinD=ADsin∠ACD，
所以解得AD=8 33sin(π3−θ)=8 33( 32csθ−12sinθ)=4csθ−4 33sinθ，
因为在△ABC中，AC=4，由正弦定理得ACsinB=BCsin∠CAB，
所以解得BC=8sin(π2−θ)=8csθ，
可得BC−AD=4(csθ+ 33sinθ)=8 33sin(θ+π3)，
又因为θ∈(0,π3)，可得θ+π3∈(π3,2π3)，可得当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，sin(θ+π3)取得最大值1，
所以BC−AD的最大值为8 33．
【解析】(I)由题意利用正弦定理可求AC的值，解得sin∠CAB= 22，结合∠CAB∈(0,π2)，可求∠CAB=π4，∠DAC=π2−∠CAB=π4，进而利用三角形的面积公式即可求解；
(II)设∠DAC=θ，θ∈(0,π3)，可得∠ACD=π3−θ，∠CAB=π2−θ，进而由正弦定理可得AD=4csθ−4 33sinθ，BC=8sin(π2−θ)=8csθ，可得BC−AD=4(csθ+ 33sinθ)=8 33sin(θ+π3)，进而利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
本题考查正弦定理及其推广、三角形面积公式、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养，属于中档题．