浙江省绍兴市第一中学2024届高三下学期4月联合测评二数学（创新班）试卷（Word版附答案）

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数学试卷
本试卷共6页，19题。满分150分。考试用时120分钟。
考试时间：2024年4月3日下午13: 00—15: 00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷、草稿纸和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
考试结束后，请将本试卷、草稿纸和答题卡一并上交，禁止带出考场。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，总计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数据{11.3 , 15.5 , 16.1 , 12.1 , 13.5}的第60百分位数是( )
A. 13.5 B. 14.5
C. 12.8 D. 16.1
2. 已知eiθ=csθ+isinθ,则在下列表达式中表示sinθ的是( )
A. QUOTE B. QUOTE
C. QUOTE D. QUOTE
3. 对于集合A,B，定义A\B={x|x∈A且x∉B}，则对于集合A={x|x=6n+5 , n∈N}，B={y|y=3m+7 , m∈N}，C={x|x∈A B,且x<1000},以下说法正确的是( )
A.若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212-1 个.
B.若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C.若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153-2个.
D.若在横线上填入”∪∁N”，则∁NC中元素个数为13.
4.空气膜等厚干涉是一个有趣的光学现象，如左图所示，当一块玻璃在另一块平板玻璃上方时，让光线垂直照射就会出现明暗相间的条纹.同一条纹上两玻璃之间的空气间隙厚度一致.现有一圆锥形玻璃，底面周长为24π，母线长为13.将其顶点朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面与平板玻璃的夹角α近似满足sinα=413，用光垂直照射，则得到的条纹形状为( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
5.已知:对于任意的正数x,y，z≤2xy，若满足x+y=1，则x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy−3xz−3yz>k.那么k的最大值是( )
A. 6+3B. 6+112C. 8+3D. 8+112
6.三个相同的圆柱的轴线l1,l2,l3，互相垂直且相交于一点O.底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P同时在三个圆柱内(含表面)，则OP长度最大值为( )
A. 1B. 62C. 2D. 102
7.现有a=ln20252023 , b=11012 , c=sin11012−cs11012+1,则a,b,c大小关系为( )
A. a>c>bB. c>b>aC. c>a>bD. a>b>c
8.单位向量a,非单位向量b满足|a+b|=12a·b+2，若存在两个均满足此条件的向量b1,b2，使得b1+b2=λ(b2+a),设a,b1,b2在起点为原点时，终点分别为A,B1,B2.则S△AB1B2的最大值( )
A. 23B.3C. 4D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列条件能确定唯一一个三角形ABC的是( )
A. B=π3，a=8，BC边上中线长AD=43.
B. S=bccsA，a=4=(1-33)bc.
tanA+tanB+tanC−23tanAtanBcsC=0，b=2，c=3.
c=bcsA，a=2，S△=1.
对于任意的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义AB间折线距离dAB=|x1-x2|+|y1-y2|，反折线距离lAB=|x1-y2|+|x2-y1|，O表示坐标原点.下列说法正确的是( )
dAB+dBC≥dAC.
若dAB若AB斜率为k，dAB=1+k1+k2|AB|.
若此时存在四个点P(x,y)使得dOP=1,且x2+(y-r)2=r2(r>0),则r的取值范围(2−1，12).
孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：
如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体ABCD-A1B1C1D1，且E1E2=M1M2=I1I2=5，E1D=E2D1，I1D=I2A，M2D=M1C，P为其表面上的一个动点，球O为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中Q为球O上的一个动点，以下说法正确的
|PQ|最大值为3.
若P在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为62π.
VQ-E1J1M1∈[23,163]
若P满足PA+PB=2，则P的轨迹长度为┌(22，12)+2π2
注：┌(a,b)表示椭圆x2a2+y2b2=1的周长大小
填空题：本题共3小题，每小题5分，总计15分.
12.双曲线C:x24+y23=1.过P作直线l，与双曲线只有一个交点M，则l的斜率为____________.
13.若一个n位数，各位从高到低分别为a1,a2,...,an(n≥2)，且满足a1>a2>...>an，我们便将其称之为”递减数”.那么正整数之中任取”递减数”，则在其中取到一个偶数概率是___________.
14.已知“[x]”表示小于x的最大整数，例如[5]=4，[-2.1]=-3.若sinωx=[x]恰好有四个解，那么ω的范围是______________________.
四、解答题：本小题共5题，共77分，其中第15题13分，16和17题15分，18和19题17分.
15.已知f(x)=aex−x，g(x)=csx，
（1）讨论f(x)的单调性.
（2）若∃x0使得f(x0)=g(x0)，求参数a的取值范围.
16.如图所示，四棱台ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为一个菱形，且∠BAD=120°.底面与顶面的对角线交点分别为O，O1. AB=2A1B1=2，BB1=DD1=392，AA1与底面夹角余弦值3737.
（1）证明：OO1⊥面ABCD
（2）现将顶面绕OO1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向.此时使得底面与 DC1的夹角正弦值64343，此时求θ的值为？(θ<90°).
（3）求旋转后AA1与BB1的夹角余弦值.
17.书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与该桌平均值和个人值之差存在着较大的关系.（注：平均值指的是该桌内四个人”雀力值”和”能力值”的平均值，个人值类似.）为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：
①计算x,y的相关系数r，并判断x,y之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.
②求出y与x的经验回归方程.
③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：
试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分(近似至百位即可)
在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在(1)②问当中方程斜率b存在的标准差Δb;另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现”个人值”X符合正态分布规律X~N(μ,σ2).(μ为评估得出的个人值.)已知”松实玄”实际表现个人值满足P(X>10.5)=0.02275，求（1）③中其得分的标准差.(四舍五入到百位)
现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的43.我们设进行了i轮之后，在前i轮内该参赛者的总得分为E(X);若园城怜参加了此比赛，求i=1nE(X)i2i
参考数据和公式：①i=17xiyi=1029000 ; i=17yi2=4209320000
②相关系数r=i=1n(xi−x平均)(yi−y平均)i=1n(xi−x平均)2i=1n(yi−y平均)2 经验回归方程y=bx+a,b=i=1n(xi−x平均)(yi−y平均)i=1n(xi−x平均)2.
a=y平均-bx平均 Δbb=1r2−1n−2，其中n为回归数据组数.
③对于随机变量X~N(μ,σ2),P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
④|x|<<1时，(1+x)n约等于1+nx , (x∈R)
⑤对间接计算得出的值f=xy有标准差Δf满足|Δff|=(Δxx)2+(Δyy)2.
⑥13136≈3.2×10-4 ； 6.8≈2.6 ； 2946524≈1715×（1+9×10−4）


已知抛物线C:y2=2px的焦点F，直线l过F且交C于两点M、N，已知当|MF|=3|NF|时，MN中点纵坐标的值为233.
求C的标准方程.
令F’(-p2,0),P为C上的一点，直线F’P，FP分别交C于另两点A,B.证明：|AF'||PF'|·|PF||BF|=1.
过A,B,P分别作C的切线l1,l2,l3.l3与l1相交于D,同时与l2相交于E.求四边形ABED面积取值范围.

19.定义2*2数表A=a1,1a1,2a2,1a2,2，B=b1,1b1,2b2,1b2,2，λA=λa1,1λa1,2λa2,1λa2,2，其中ai,j称为A,B中的元素.ai,j和bi,j属于复数集合.我们定义A×B=c1,1c1,2c2,1c2,2，其中ci,j=m ai,mbm,j，An=A×A×A×···×A(共n个)，|A|=a1,1a2,2−a2,1a1,2，A+B=c1,1c1,2c2,1c2,2，ci,j=ai,j+bi,j：
（1）证明：
(i) A×B=B×A=|A|×|B|.
(ii)A+B×C=A×C+B×C.
（2）若存在A,B,C，使得A2=B2=C2=1001，且A×B=iC，B×C=iA，C×A=iB.：
(ⅰ)请列出所有满足条件的有序数对(|A|,|B|,|C|).
(ⅱ)对A=0110，B=0−ii0，C=100−1，试验证其是否满足上述条件.
（3）(ⅰ) 在上一题的(ⅱ)中，A,B,C以及Ｉ=1001，{注：(x,y,z,w)为复数}合称为Pauli数表.对任意D=d1,1d1,2d2,1d2,2均可以表示为：xA+yB+zC+wＩ，试用di,j表示x,y,z,w.
(ⅱ) 设[D]=x2+y2+z2−w2，请证明：[D]2=[D2].
平均值与个人值之差X
-9
-6
-3
0
3
6
9
得分y
-38600
-23100
-10900
0
+11800
+24100
+36700
角色
宫永照
园城怜
花田煌
松实玄
雀力值
24
9
10
4
能力值
24
16
3
6