2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开大学附中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知C172x=C17x+2(x∈N+)，则x=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或6
2.已知函数f(x)=e2x，则△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=( )
A. 1B. 0C. e2D. 2e2
3.已知曲线f(x)=x3−ax2+2在点 (1,f (1))处的切线的倾斜角为34π，则实数a=( )
A. −2B. −1C. 2D. 3
4.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A. 40个B. 42个C. 48个D. 52个
5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A. 36种B. 48种C. 72种D. 96种
6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，满足xf′(x)−f(x)0的解集是( )
A. (0,e2)B. (ln2,+∞)C. (−∞,ln2)D. (e2,+∞)
7.在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)8的展开式中，含x2的系数是
( )
A. 83B. 84C. 55D. 88
8.2022年北京冬奥会结束了，有7名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左㙐，乙不站最右端，丙不站正中间，则理论上他们的排法有( )
A. 3864种B. 3216种C. 3144种D. 2952种
9.已知函数f(x)=xlnx+ax2+a2在区间(0,+∞)上单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−12)B. (−∞,−1)C. (−∞,−12]D. (−∞,−1]
10.已知函数f(x)=lnx，则函数g(x)=f(x)−f′(x)的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.已知函数f(x)=tanx，则曲线y=f(x)在x=π处的切线方程为______．
12.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1时有极值0，则a+b=______．
13.在(3x−3x)n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于______．
14.在(x−1 x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为 ．
15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有______种(用数字作答)．
16.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种(用数字作答)．
17.(2x+x)(x−1)5的展开式中x3的系数为______．
18.若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是__________．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
求下列函数的导函数．
(1)y=cs(3x−2)；
(2)y=23x+1；
(3)f(x)=excsx；
(4)f(x)=csxx．
20.(本小题12分)
已知二项式(x2+1 x)n(n∈N*)的展开式中，第7项为常数项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有有理项．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(t+1)x−lnx．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若∀x∈[1,e]，不等式f(x)≥3x+2x恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由C172x=C17x+2(x∈N+)
可得2x=x+2或2x+x+2=17，解得x=2或5．
故选：C．
根据已知条件，结合组合数的性质，即可求解．
本题主要考查组合数的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【解答】
解：∵f′(x)=2e2x，
∴△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=f′(1)，
∴f′(1)=2e2，
故选：D．
【分析】
先求出f′(x)，△x→0limf(1+△x)−f(1)△x=f′(1)，能求出结果．
本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．
3.【答案】C
【解析】解：求导函数可得f′(x)=3x2−2ax
∵函数f(x)=x3−ax2+2在x=1处的切线倾斜角为34π，∴f′(1)=−1，
∴3−2a=−1，
∴a=2．
故选：C．
求得导函数，利用f(x)=x3−ax2+2在点(1,f(1))处切线的倾斜角为34π，可得f′(1)=−1，由此可求a的值．
本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，
有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②、若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数；
故选：D．
由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①、若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②、若0不在个位，此时0可能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．
本题重点考查两个计数原理的综合应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分两种情况讨论；
①两端恰有两个空座位相邻，则必须有一人坐在空座的边上，其余两人在余下的三个座位上任意就座，此时有2C31A32=36种坐法；
②两个相邻的空座位不在两端，有三种情况，此时这两个相邻的空座位两端必须有两人就座，余下一人在余下的两个座位上任意就座，此时有3A32A21=36种坐法．
故共有36+36=72种坐法．
根据题意，按空位的位置分两种情况讨论，①两端恰有两个空座位相邻，②两个相邻的空座位不在两端；分别求出两种情况下的坐法数目，进而相加可得答案．
本题考查排列、组合的综合运用，分类讨论时，按一定的标准，做到补充不漏．
6.【答案】C
【解析】解：设g(x)=f(x)x(x>0)，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x20等价于g(ex)=f(ex)ex>1=g(2)，
∴01=g(2)，从而有00，则f(x)在(0,1k)上为增函数，在(1k,+∞)上为减函数，
要使函数f(x)有零点，需f(1k)≥0，
即−lnk−2≥0，解得k≤1e2 ，
∴00，得x>1t+1，函数f(x)在(1t+1,+∞)上单调递增．
由f′(x)