2023-2024学年辽宁省鞍山市高二（下）月考数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市高二（下）月考数学试卷（A卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若某项试验的成功率是失败率的2倍，用离散型随机变量X描述1次试验成功的次数，则P(X=1)等于( )
A. 0B. 12C. 13D. 23
2.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )
A. A88A92B. A88C92C. A88A72D. A88C72
3.已知数列{an}是等差数列，若a1−a9+a17=7，则a3+a15=( )
A. 7B. 14C. 21D. 7(n−1)
4.在(a+b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
5.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=−2，an+1=Sn，那么a6=( )
A. −64B. −32C. −16D. −8
6.在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6364，则事件A发生次数ξ的期望和方差分别为( )
A. 94和916B. 34和316C. 916和364D. 94和964
7.明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八一，请问尖头几盏灯？“你的答案是( )
A. 2盏B. 3盏C. 4盏D. 7盏
8.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为34，若他第1球投不进，则第2球投进的概率为14，若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )
A. 34B. 716C. 58D. 916
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. P(X=1)=E(X)B. E(4X+1)=4
C. D(X)=316D. D(4X+1)=4
10.已知(1−2x)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023，下列命题中，正确的是( )
A. 展开式中所有项的二项式系数的和为22023
B. 展开式中所有奇次项系数的和为1−320232
C. 展开式中所有偶次项系数的和为32023−12
D. a12+a222+a323+…+a202322023=−1
11.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6=S12，则下列结论中正确的有( )
A. a1：d=−17：2B. S18=0
C. 当d>0时，a6+a14>0D. 当d<0时，|a6|>|a14|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为______．
13.(x+1x)(2x−1x)5的展开式中，常数项为______．
14.设Sn是数列{an}的前n项和，a1=−1，an+1=SnSn+1，则Sn=______．
四、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
(Ⅰ)证明：{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(Ⅱ)记bn=1[lg2(an+1)]2+lg2(an+1)2，设Sn为数列{bn}的前项和，证明：4Sn<3．
16.(本小题15分)
为了强调考前仔细研究教材内容(称“回归教材”)对高考数学成绩的重要性，2016年高考结束后，某班级规定高考数学成绩115分以上(含115分)为优秀，制作下表：
(Ⅰ)能否有99%的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关？
(Ⅱ)以该班数据为样本来估计全市总体数据，从全市2016年参加高考的考生中任取3人，设3人中高考数学成绩优秀且回归教材的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：χ2=n(n11n22−n12n21)2n1+n2+n+1n+2，
17.(本小题17分)
Sn是数列{an}的前n项和，已知an>0，an+12= Sn．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{an2n}的前n项和．
18.(本小题17分)
现有A、B两个部门进行投篮比赛，A部门有4人参加，B部门有6人参加，已知这10人投篮水平相当，每人投中的概率都是p.比赛之前每人都进行投篮练习，投中则停止投篮练习，最多进行三次投篮练习.若甲投篮练习X次，统计得知X的数学期望是E(X)=74．
(Ⅰ)求p；
(Ⅱ)现从这10人中选出5人，每人投篮两次，设5人中能够投中的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)；
(Ⅲ)现从这10人中选出3人参加投篮练习，设A部门被选中的人数为Z，求Z的数学期望E(Z)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵某项试验的成功率是失败率的2倍，
用离散型随机变量X描述1次试验成功的次数，
∴设失败率为p，则成功率为2p．
∴X的分布列为：
则“X=0”表示试验失败，“X=1”表示试验成功，
∴p+2p=1，解得p=13，
∴P(X=1)=23．
故选：D．
本题符合两点分布，先求出分布列，再根据分布列的性质求出概率P(X=1)．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点分布的性质的合理运用．
2.【答案】A
【解析】解：用插空法解决，
先将所有学生排列，有A88种排法，
然后将两位老师插入9个空中，
共有A92种排法，
∴一共有A88A92种排法．
故选A．
要求两个教师不相邻，用插空法来解决问题，将所有学生先排列，有A88种排法，再将两位老师插入9个空中，共有A92种排法，根据分步计数原理得到结果．
本题考查考查分步乘法计数原理，排列数公式，对于不相邻的问题，一般采用插空法来解．
3.【答案】B
【解析】解：∵数列{an}是等差数列，a1−a9+a17=7，
∴2a9−a9=7，可得a9=7．
则a3+a15=2a9=14．
故选：B．
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：∵(a+b)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，
∴n2=3，∴n=6．
故选：C．
根据二项式系数的性质，方程思想，即可求解．
本题考查二项式系数的性质，方程思想，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵an+1=Sn，
∴n≥2时，an=Sn−1，
相减可得：an+1=2an．
n=1时，a2=S1=−2≠2a1，
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，
∴a6=a2×24=−2×24=−32．
故选：B．
利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设事件A在每次试验中发生的概率为P，则ξ～B(3,p)，
∵1−(1−p)3=6364，解得p=34，∴ξ～B(3,34)，
E(ξ)=np=3×34=94，D(ξ)=np(1−p)=3×34×14=916．
故选：A．
根据题意可得ξ～B(3,P).根据事件A至少发生一次的概率为6364，可得P=34.再根据公式可得期望与方差．
本题考查了二项分布得期望与方差，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以(27−1)x2−1=381，
解得x=3．
故选：B．
根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，
则他第2球投进的概率为：
p=34×34+(1−34)×14=58．
故选：C．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第2球投进的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=14，
∴P(X=1)=34，E(X)=0×14+1×34=34，
在A中，P(X=1)=E(X)，故A正确；
在B中，E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4，故B正确；
在C中，D(X)=(0−34)2×14+(1−34)2×34=316，故C正确；
在D中，D(4X+1)=16×316=3，故D错误．
故选：ABC．
根据随机变量X服从两点分布推出P(X=1)，得到E(X)，D(X)，然后判断各选项即可．
本题考查命题真假的判断，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：二项式的展开式的二项式系数和为22023，故A正确；
令x=1，则a0+a1+...+a2023=(1−2)2023=−1①，
令x=−1，则a0−a1+...−a2023=(1+2)2023=32023②，
则①+②2可得：a0+a2+...+a2022=32023−12，故C正确；
①−②2可得：a1+a3+...+a2023=−1−320232，故B错误；
令x=0，则a0=1，令x=12，则a0+a12+a24+...+a202322023=(1−2×12)2023=0，
则a12+a222+...+a202322023=0−a0=−1，故D正确．
故选：ACD．
利用二项式系数和公式即可判断A；令x=1，x=−1，联立方程即可判断B，C；令x=0，x=12，联立方程即可判断D．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：∵S6=S12，
∴6a1+15d=12a1+66d，
∴2a1+17d=0，
∴a1：d=−17：2，故A正确；
S18=18a1+9×17d=−9×17d+9×17d=0，故B正确；
当d>0时，a6+a14=a1+5d+a1+13d=2a1+18d=−17d+18d=d>0，故C正确；
当d<0时，则|a6|−|a14|=|a1+5d|−|a1+13d|=−7d2+92d=d<0，故D错误；
故选：ABC．
由S6=S12可得2a1+17d=0，然后逐一判断四个结论得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了等差数列的函数特性，属于中档题．
12.【答案】89
【解析】解：记事件A为“灯泡寿命超过500小时”，事件AB为“灯泡寿命超过800小时”，
则在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=．
故答案为：89．
直接根据条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率公式的运用，是基础题．
13.【答案】40
【解析】解：(x+1x)(2x−1x)5=(x+1x)(32x5−80x3+80x−40⋅1x+10⋅1x3−1x5)，
∴常数项为−40+80=40，
故答案为：40．
把(2x−1x)5按照二项式定理展开，可得(x+1x)(2x−1x)5的展开式中常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.【答案】−1n
【解析】【分析】
根据an+1=SnSn+1，可得Sn+1−Sn=SnSn+1，1Sn+1−1Sn=−1，再利用等差数列的通项公式即可得出答案．
本题考查数列递推关系、等差数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵an+1=SnSn+1，
∴Sn+1−Sn=SnSn+1，
∴1Sn+1−1Sn=−1，
又1S1=1a1=−1，
∴数列{1Sn}是等差数列，首项为−1，公差为−1．
∴1Sn=−1−(n−1)=−n，
解得Sn=−1n．
故答案为：−1n．
15.【答案】证明：(Ⅰ)∵an+1=2an+1，
∴an+1+1an+1=2an+1+1an+1=2，
又a1+1=2，则数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1=2⋅2n−1=2n，
∴数列{an}的通项公式an=2n−1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an=2n−1，则bn=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
∴4Sn=2(11−13)+2(12−14)+2(13−15)+⋅⋅⋅+2(1n−1n+2)
=2[(11+12+13+⋅⋅⋅+1n)−(13+14+15+⋅⋅⋅+1n+2)]
=3−2(1n+1+1n+2)，即n∈N*，4Sn<3．
【解析】(Ⅰ)由题意得an+1=2an+1，即an+1+1an+1=2an+1+1an+1=2，即{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．即可证明结论；
(Ⅱ)由题意得bn=1n(n+1)=1n−1n+1，即可证明结论．
本题考查等比数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由题意得n=30，n11=8，n22=18，n12=2，n21=2，n1+=10，n2+=20，n+1=10，n+2=20，
∴χ2=30(8×18−2×2)210×20×10×20=14.7，
∵14.7>6.635，
∴有99%的把握认为高考数学成绩优秀与回归教材有关；
(Ⅱ)由题意得X的可能取值有0，1，2，3，
设“回归教材”且成绩优秀为事件A，且P(A)=1830=35，
则P(X=0)=(1−35)3=8125，P(X=1)=C3135(1−35)2=36125，P(X=2)=C32(35)2(1−35) =54125，P(X=3)=C33(35)3=27125，
故随机变量X的分布列为
∴数学期望为E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95．
【解析】(Ⅰ)由题意得n=30，n11=8，n22=18，n12=2，n21=2，n1+=10，n2+=20，n+1=10，n+2=20，求出χ2，即可得出答案；
(Ⅱ)由题意得X的可能取值有0，1，2，3，设“回归教材”且成绩优秀为事件A，P(A)=1830=35，求出对应概率，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)an+12= Sn化为an2+2an+1=4Sn，可知an+12+2an+1+1=4Sn+1，
可得an+12−an2+2(an+1−an)=4an+1，即(an+1+an)(an+1−an)=2(an+1+an)，
由于an>0，可得an+1−an=2，
又a12+2a1+1=4a1，解得a1=1，
∴{an}是首项是1，公差是2的等差数列，通项公式是an=2n−1．
(Ⅱ)设{an2n}前n项和为Tn，由(Ⅰ)知an2n=2n−12n，
则Tn=12+322+523+…+2n−12n，12Tn=122+323+524+…+2n−12n+1，
两式相减得12Tn=12+222+223+224+…+22n−2n−12n+1，
即12Tn=12+222−22n⋅121−12−2n−12n+1，
所以Tn=3−2n+32n．
【解析】(Ⅰ)an+12= Sn化为an2+2an+1=4Sn，再利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
(Ⅱ)设{an2n}前n项和为Tn，由(Ⅰ)知an2n=2n−12n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，X可取的值为1、2、3，
则X的分布列为
又由E(X)=74，则有p+2(1−p)p+3(1−p)2=74，解可得p=12或52(舍)，
故P=12；
(Ⅱ)根据题意，每人投篮两次，则每个人投中的概率P′=1−(1−12)2=34，
设5人中能够投中的人数为Y，则Y～B(5,34)，故E(Y)=5×34=154；
(Ⅲ)根据题意，Z可取的值为0、1、2、3，
则P(Z=0)=C40C63C103=16，P(Z=1)=C41C62C103=12，P(Z=2)=C42C61C103=310，P(Z=3)=C43C60C103=130，
故E(Z)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．
【解析】(Ⅰ)根据题意，分析X可取的值，由此用p表示X各个值的概率，由期望公式可得关于p的方程，解可得答案；
(Ⅱ)根据题意，先求出每个人投篮命中的概率，分析可得Y～B(5,34)，进而计算Y的期望可得答案；
(Ⅲ)根据题意，分析可得Z可取的值，进而求出Z的各个值的概率，由期望公式计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列和期望的计算，涉及二项分布的性质，属于基础题．高考数学成绩
是否回归教材
非优秀人数
优秀人数
合计
未回归教材人数
8
2
10
回归教材人数
2
18
20
合计
10
20
30
P(χ2≥k)
0.050
0.010
k
3.841
6.635
X
0
1
P
p
2p
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125
X
1
2
3
P
p
(1−p)p
(1−p)2