2023-2024学年湖北省云学名校联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省云学名校联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈R|x2+2x−3<0}，B={x∈R|(x+1)(x2−2)=0}，则(∁RA)∩B=( )
A. {−1}B. {−1, 2,− 2}C. {−1,− 2}D. { 2}
2.已知点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则( )
A. OA=OCB. AB=CDC. OD//BOD. |AC|=|BD|
3.α=π6是sin(α+π6)= 32的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数f(x)=xm2+2m−3(m∈Z)是偶函数，且f(x)在(−∞,0)上是增函数，则m=( )
A. −2B. −1C. 0D. 3
5.已知某物种在某特定环境下的某项指标y与时间t(天)满足函数关系式：y=2×3t−1(t≥0)，则在该特定环境下，至少经过天，该物种的该项指标不低于初始值(t=0)时的100倍.(参考值：lg3≈0.4771)( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知函数f(x)=|x2+12x+27|，g(x)=a|x+1|，若函数f(x)与g(x)的图像恰有4个交点，则实数a的取值范围是( )
A. (18,+∞)B. (0,2)C. (2,18)D. (0,2)∪(18,+∞)
7.定义在[1,3]的函数y=f(x)的图像位于x轴上方，且是连续不断的.若y=f(x)的图像关于点(2,3)对称，则1f(x)+1f(4−x)的最小值为( )
A. 23B. 1C. 4D. 6
8.已知函数f(x)=−x2,x≥0x2,x<0，若存在a∈[4,10]，使f(a−x2)≤9f(x)，则x的取值范围是( )
A. [−5,2]B. [−4,1]C. [4,10]D. (−∞,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数a，b，c满足aA. ac>bcB. b3>ab2C. 1a>1bD. a+c10.已知函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图像关于直线x=−11π12对称
B. f(x)的图像的一个对称中心是(5π6,0)
C. f(x)在区间(π6,π3)上单调递减
D. 若y=af(x)+2的最大值为5+2 3，则y=af(x)+2的最小值为5−2 3
11.函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=2f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)=1−|x−1|，则( )
A. f(92)=2
B. x∈(4,5]时，f(x)=2x−6
C. 若对任意的x∈(−∞,t]，都有f(x)≤4，则t的最大值为132
D. 若函数g(x)=f(x)−k(x−5)恰有三个零点，则实数k的取值范围是(−1,−14)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.41−lg42−lg249−lg245+(−64)13= ______．
13.将函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象向左平移π4ω个单位长度后，所得函数在(−π15,π16)内不是单调函数，则ω的取值范围是______．
14.已知函数f(x)的定义域为R，f(2024)=0，且f(x+2024)的图象关于点(−2024,0)对称.若∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有(x1−x2)[x1⋅f(x1)−x2⋅f(x2)]<0恒成立，则关于x的不等式f(x)>0的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个内角A，B，C满足：csA=17,tanC=5 311．
(1)求cs(A+B)的值；
(2)求角B的大小．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+(4−a)x+a−4，(a∈R)．
(1)解关于x的不等式：f(x)≤1；
(2)命题“∀x∈(1,+∞)，f(x)≥0”是真命题，求a的最大值．
17.(本小题15分)
学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟，0≤x≤60)的函数关系式，要求如下：
(i)函数的图象接近图示；
(ii)每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
(iii)每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
(iiii)每天得分最多不超过12分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y=k x+b(k>0)；
②y=k⋅1.01x+b(k>0)；
③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)．
(1)请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
(参考值：lg3163≈4.63)
18.(本小题17分)
函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，
(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)的图像，若x∈[−11π6,2π3]时，g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为x1，x2，x3且x119.(本小题17分)
设x∈R，我们常用[x]来表示不超过x的最大整数.如：[−4.1]=−5，[2.3]=2．
(1)求证：[2x]=[x]+[x+12]；
(2)解方程：x2−[x]−2=0；
(3)已知f(x)=x2+2x|x−a|−15，g(x)=cs2x+sinx，若对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2]，使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为A={x∈R|x2+2x−3<0}={x∈R|−3B={x∈R|(x+1)(x2−2)=0}={−1,− 2, 2}，
所以∁RA=(−∞,−3]∪[1,+∞)，
所以(∁RA)∩B={ 2}．
故选：D．
求出集合A，B后可求(∁RA)∩B．
本题考查了不等式与方程的解法和应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为▱，
如图：
故OA=−OC，AB=DC，OD//BO，故AB错，C对，
又因为平行四边形对角线不一定相等，故D错．
故选：C．
根据平行四边形的性质以及向量共线即可求解结论．
本题主要考查平行四边形的性质以及向量共线，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当sin(α+π6)= 32时，α+π6=π3+2kπ(k∈Z)或α+π6=2π3+2kπ(k∈Z)，
即α=π6+2kπ(k∈Z)或α=π2+2kπ(k∈Z)，
即α=π6是sin(α+π6)= 32的充分不必要条件．
故选：A．
解出sin(α+π6)= 32的α的值，即可判断出答案．
本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了特殊角的三角函数值的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数f(x)是偶函数且在(−∞,0)上是增函数，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以m2+2m−3<0，即(m−1)(m+3)<0，解得−3又因为m∈Z，所以m=−2或m=−1或m=0，
当m=0或m=−2时，f(x)=x−3，此时f(x)为奇函数，不满足题意；
当m=−1时，f(x)=x−4，此时f(x)为偶函数，满足题意；
所以m=−1．
故选：B．
由函数f(x)是偶函数且在(−∞,0)上是增函数，可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，由幂函数的性质可得m2+2m−3<0，结合m∈Z，即可解出m=−2或m=−1或m=0，分别代入函数f(x)，结合f(x)是偶函数即可得出答案．
本题主要考查了幂函数的定义及性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：当t=0时，y=23，
令2×3t−1≥100×23，化简得：3t≥100，解得t≥lg3100=2lg3≈20.4771≈4.2，
所以至少经过5天该物种的该项指标不低于初始值时的100倍．
故选：B．
令t=0可得初始值y=23，再由题意列出不等式2×3t−1≥100×23，求解即可．
本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：易知，g(x)的图象过定点(−1,0)，当a<0时，由图可知，函数f(x)与g(x)的图像无交点，
当a=0时，g(x)=0与f(x)的图象有两个交点，
当a>0时，设直线y=−a(x+1)与y=−x2−12x−27相切，
联立方程y=−a(x+1)y=−x2−12x−27，消去y得x2+(12−a)x+27−a=0，
则Δ=(12−a)2−4(27−a)=0，
解得a=2或a=18，
结合图象可知，当a=18时，切点位于x轴下方，不满足题意，舍去，
由图可知，要使函数f(x)与g(x)的图像有4个交点，则−2<−a<0，
所以实数a的取值范围为(0,2)．
故选：B．
作出函数图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为y=f(x)的图像关于点(2,3)对称，故f(x)+f(4−x)=6，f(2)=3．
故1f(x)+1f(4−x)=6f(x)f(4−x)，
因为f(x)>0，f(4−x)>0，
故f(x)+f(4−x)=6≥2 f(x)f(4−x)即f(x)f(4−x)≤9，
当且仅当f(x)=f(4−x)=3时等号成立，而f(2)=3，
故f(x)f(4−x)最大值为9，故1f(x)+1f(4−x)最小值为23．
故选：A．
根据对称性和基本不等式可求最小值．
本题主要考查了函数的对称性及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为当x≥0，f(x)=−x2，单调递减；当x<0时，f(x)=x2，单调递减；
所以y=f(x)在R上单调递减；
又因为存在a∈[4,10]，使f(a−x2)≤9f(x)=f(3x)，
所以a−x2≥3x，a≥x2+3x，a∈[4,10]，
所以x2+3x≤10，
解得−5≤x≤2，
所以x的取值范围是[−5,2]．
故选：A．
由二次函数的性质可得y=f(x)在R上单调递减，结合题意有f(a−x2)≤f(3x)，从而得a≥x2+3x，a∈[4,10]，x2+3x≤10，求解即可．
本题考查了二次函数的性质、转化思想及一元二次不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，若c=1，则当a对于B，因为b≠0，则b2>0，故ab2对于C，a=−1，b=1，a对于D，由不等式的性质可得a+c故选：BD．
利用不等式的性质可判断BD的正误，结合反例可判断AC的正误．
本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)=sinxcsx+ 3cs2x=12sin2x+ 32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+ 32，
对于选项A，由2x+π3=π2+kπ,k∈Z，得到x=π12+kπ2,k∈Z，当k=−2时，x=−11π12，所以选项A正确，
对于选项B，由2x+π3=kπ,k∈Z，得到x=−π6+kπ2,k∈Z，所以f(x)的对称中心为(−π6+kπ2, 32)(k∈Z)，
当k=2时，对称中心为(5π6, 32)，所以选项B错误，
对于选项C，由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，得到π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z，
当k=0时，π12≤x≤7π12，又(π6,π3)⊆[π12,7π12]，所以选项C正确，
对于选项D，因为y=af(x)+2=asin(2x+π3)+ 32a+2，
当a>0时，由题有a+ 32a+2=5+2 3，得到a=2 3，
此时y=af(x)+2的最小值为−2 3+ 32×2 3+2=5−2 3，
当a<0时，由题有−a+ 32a+2=5+2 3，得到a=−14 3−24
此时y=af(x)+2的最小值为−14 3−24−21−12 3+2=−26 3−43，所以选项D错误．
故选：AC．
根据条件得到f(x)=sin(2x+π3)+ 32，再利用y=sinx的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可得到结果．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性，单调性及最值的求解，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，因为f(92)=2f(52)=4f(12)，又f(12)=1−|12−1|=12，
得到f(92)=2，所以选项A正确；
对于选项B，当x∈(4,5]时，x−4∈(0,1]，
所以f(x−4)=1−|x−4−1|=1−|x−5|=x−4，又f(x−4)=12f(x−2)=14f(x)，
所以14f(x)=x−4，得到f(x)=4x−16，所以选项B错误；
对于选项C，当x∈(−2k,−2k+2](k∈N)时，x+2k∈(0,2 (k∈N),
又f(x+2k)=1−|x+2k−1|≤1，而f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)=⋯=12kf(x+2k)≤12k<1，
所以x∈(−2k,−2k+2](k∈N′)时，恒有f(x)≤4，
当x∈(2,4]时，x−2∈(0,2]，所以f(x−2)=1−|x−3|，
又f(x)=2f(x−2)，
所以当x∈(2,4]时，f(x)=2(1−|x−3|)=2−2|x−3|，
当x∈(4,6]时，x−2∈(2,4]，所以f(x−2)=2−2|x−5|，
又f(x)=2f(x−2)，所以当x∈(4,6]时，f(x)=4−4|x−5|，
当x∈(6,8]时，x−2∈(4,6]，所以f(x−2)=4−4|x−7|，
又f(x)=2f(x−2)，
所以当x∈(6,8]时，f(x)=8−8|x−7|，
以此类推，所以f(x)的图象如图所示，
由f(x)=8−8|x−7|=4，得到x=132或x=152，
由图知，f(x)在x∈(6,8)上关于x=7对称，且f(7)=8>4，
所以当x≤132时，f(x)≤4恒成立，所以选项C正确；
对于选项D，令g(x)=0，得到f(x)=k(x−5)，
令y1=k(x−5)，
因为f(1)=1，f(3)=2，f(7)=8，f(9)=16，
则B(1,1)，A(3,2)，F(5,0)，C(7,8)，D(9,16)，
所以kBF=11−5=−14，kAF=23−5=−1，kFC=87−5=4=169−5=kFD′，
又函数g(x)=f(x)−k(x−5)恰有三个零点，
由图知，−1故选：ACD．
根据条件，求出f(x)在各段上的解析式，画出f(x)的图象，数形结合对各个选项逐一分析判断，即可求出结果．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
12.【答案】−3
【解析】解：因为41−lg42−lg249−lg245+(−64)13=4×4lg412−lg2+lg49−(lg5+lg49)−4=4×12−(lg2+lg5)−4=−3．
故答案为：−3．
根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果．
本题主要考查了对数及指数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】(152,+∞)
【解析】解：由题设可得平移后图象对应的函数解析式为y=sin(ωx+π4−π4)=sinωx，
因为x∈(−π15,π16)，故ωx∈(−ωπ15,ωπ16)，
因为y=sinωx在(−π15,π16)不单调，故−π2∈(−ωπ15,ωπ16)或π2∈(−ωπ15,ωπ16)，
即−ωπ15<−π2或ωπ16>π2，
所以ω>152或ω>8，故ω>152．
故答案为：(152,+∞).
先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围．
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】(−∞,−2024)∪(0,2024)
【解析】解：因为f(x+2024)的图象关于点(−2024,0)对称，
所以f(−2024−x+2024)+f(−2024+x+2024)=0即f(−x)+f(x)=0，
故f(x)为R上的奇函数，
令g(x)=xf(x)，
因为∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有(x1−x2)[x1⋅f(x1)−x2⋅f(x2)]<0，
故g(x)为(0,+∞)上的减函数，
而g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，故g(x)为R上的偶函数，
故g(x)为(−∞,0)上的增函数，
而g(2024)=2024f(2024)=0，
故当x∈(−2024,0)∪(0,2024)时，g(x)=xf(x)>0，
故x∈(−2024,0)时，f(x)<0，x∈(0,2024)时，f(x)>0．
当x∈(−∞,−2024)∪(2024,+∞)时，g(x)=xf(x)<0，
故x∈(−∞,−2024)时，f(x)>0，x∈(2024,+∞)时，f(x)<0．
故f(x)>0的解为(−∞,−2024)∪(0,2024)．
故答案为：(−∞,−2024)∪(0,2024)．
先判断出f(x)为奇函数，令g(x)=xf(x)，结合条件可判断g(x)为偶函数且为(0,+∞)上的减函数，结合f(2024)=0可求f(x)>0的解集．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)cs(A+B)=cs(π−C)=−csC，
因为tanC=5 311>0，C∈(0,π)，
故C为锐角且csC=11 121+75=1114，
所以cs(A+B)=−1114；
(2)因为csA=17，A∈(0,π)，
故A为锐角且tanA=4 31=4 3，
故tan(A+C)=4 3+5 3111−4 3×5 311=49 3−49=− 3，
故tanB= 3，
而B∈(0,π)，
故B=π3．
【解析】(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可求cs(A+B)的值；
(2)先求出tanA，再利用两角和的正切公式及诱导公式可求tanB= 3，故可求角B的大小．
本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由f(x)≤1，得x2+(4−a)x+a−4≤1，即(x−1)[x−(a−5)]≤0，
当a−5<1，即a<6时，解得a−5≤x≤1，
当a=6时，解得x=1，
当a−5>1，即a>6时，解得1≤x≤a−5，
综上所述，a<6时，原不等式的解为{x|a−5≤x≤1}，
当a=6时，原不等式的解为{x|x=1}，
当a>6时，原不等式的解为{x|1≤x≤a−5}．
(2)由题知，f(x)=x2+(4−a)x+a−4≥0在区间(1,+∞)上恒成立，
又f(x)=x2+(4−a)x+a−4对称轴为x=a2−2，
当x=a2−2≤1，即a≤6时，f(x)=x2+(4−a)x+a−4在区间(1,+∞)上单调递增，
所以，当x∈(1,+∞)时，f(x)>f(1)=1+4−a+a−4=1>0恒成立，即a≤6满足条件，
当x=a2−2>1，即a>6，由题有Δ=(4−a)2−4(a−4)≤0，得到4≤a≤8，所以6综上，a的最大值为8．
【解析】(1)根据条件得到(x−1)[x−(a−5)]≤0，利用含参的一元二次不等式的解法，对a进行讨论，即可求出结果；
(2)根据条件得到f(x)=x2+(4−a)x+a−4≥0在区间(1,+∞)上恒成立，从而转化成求f(x)在区间(1,+∞)上的最小值，即可解决问题．
本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)模型①y=k x+b(k>0)，图象过点(0,0)，(9,6)，
则b=03k+b=6，解得b=0，k=2，所以y=2 x，
当x≥36时，y≥12，不符合题意；
模型②y=k⋅1.01x+b(k>0)的函数图象与题目中的图象不相符，所以不符合题意；
模型③y=3lg3(kx+3)+m(k>0)，过点(0,0)，(9,6)，
则3+m=03lg3(9k+3)+m=6，解得m=−3k=83；
所以y=3lg3(83x+3)−3，x∈[0,60]；
所以模型③较为符合．
(2)模型③中，令y≥9，得3lg3(83x+3)−3≥9，即lg3(83x+3)≥4，
所以83x+3≥81，解得x≥29.25，
即每天至少锻炼29.25分钟．
【解析】(1)求出模型①的解析式，验证不符合题意；
模型②的函数图象与题目中的图象不相符；
求出模型③的函数图象，判断函数模型较为适合，求出函数解析式．
(2)令y≥9，求出不等式的解集即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)根据函数的图象：A=2，且T4=7π12−π3=π4，故T=π，解得ω=2；
由于f(π3)=2cs(2×π3+φ)=0，由于|φ|<π2，
故φ=−π6；
故f(x)=2cs(2x−π6).
令−π+2kπ≤2x−π6≤2kπ，(k∈Z)，
整理得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12，(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12]，(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g(x)=2cs(x−π6)的图像；
由于x∈[−11π6,2π3]，
所以x−π6∈[−2π,π2]，
由于g(x)的图像与直线y=43恰有三个公共点，
如图所示：

令t=x−π6∈[−2π,π2]，则y=2cst，由函数y=2cst的图象性质得：t1+t2=−2π，t2+t3=0，
且2cst1=2cst2=2cst3=43，
得到cst1=23，由于t1∈(−2π,−3π2)，
所以sint1= 53，
由于t1=x1−π6，t2=x2−π6，t3=x3−π6，
得到x3−x1=2π，
所以cs(x1+x3)=cs(x1+x2+2π)=cs2x1=2cs2x1−1，
由于csx1=cs(t1+π6)=cst1csπ6−sint1sinπ6=2 3− 56，
所以cs(x1+x3)=−1+4 1518．
【解析】(1)直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间；
(2)利用函数图象的伸缩变换求出函数g(x)的解析式，进一步利用函数y=2cst的图象性质求出函数的值．
本题考查的知识点：函数的解析式的求法，函数图象的伸缩变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设x=a+r，a∈Z，r∈[0,1)，
若r∈[0,12)，则2x=2a+2r，2a∈Z，2r∈[0,1)，x+12=a+r+12,r+12∈[12,1),
故[2x]=2a，而[x]=a，[x+12]=a，故[2x]=[x]+[x+12]．
若r∈(12,1)，则2x=2a+2r，2a∈Z，2r∈(1,2)，x+12=a+r+12,r+12∈(1,32)，
故[2x]=2a+1，而[x]=a，[x+12]=a+1，故[2x]=[x]+[x+12]．
综上，[2x]=[x]+[x+12]．
(2)因为x2−[x]−2=0，故x2−2=[x]，
因为[x]≤x，故x2−2≤x，故−1≤x≤2，故[x]=−1，0，1，2，
若[x]=−1，则x2=1，又[1]=1，[−1]=−1，故x=−1符合；
若[x]=0，则x2=2，故x=± 2，又[ 2]=1,[− 2]=−2，不符合[x]=0，均舍；
若[x]=1，则x2=3，故x=± 3，又[ 3]=1,[− 3]=−2，故x= 3符合；
若[x]=2，则x2=4，故x=±2，又[2]=2，[−2]=−2，故x=2符合；
综上，x=−1或x= 3或x=2．
(3)g(x)=cs2x+sinx=−sin2x+sinx+1=−(sinx−12)2+54，
当x∈[−π2,π2]时，−1≤sinx≤1，故−1≤g(x)≤54，故[g(x)]max=1，
因为对∀x1∈[1,2],∃x2∈[−π2,π2]，使不等式f(x1)≤[g(x2)]成立，
故x2+2x|x−a|−15≤1在[1,2]上恒成立，
故|x−a|≤8x−x2在[1,2]上恒成立，而8x−x2>0在[1,2]上恒成立，
故3x2−8x≤a≤8x+x2在[1,2]上恒成立，
设s(x)=3x2−8x，x∈[1,2]，
因为y=3x2,y=−8x在[1,2]上均为增函数，故s(x)=3x2−8x，x∈[1,2]为增函数，
故s(x)max=s(2)=3−4=−1，
设u(x)=8x+x2,x∈[1,2]，
设∀x1，x2∈[1,2]，x1则u(x1)−u(x2)=8(x2−x1)x1x2+x1−x22=(x1−x2)(x1x2−16)2x1x2，
而1≤x10，x1x2−16<0，故u(x1)−u(x2)>0，
即u(x1)>u(x2)，故u(x)=8x+x2,x∈[1,2]为减函数，
故u(x)min=u(2)=5，
故a的取值范围为{a|−1≤a≤5}．
【解析】(1)设x=a+r，a∈Z，r∈[0,1)，就r∈[0,12)、r∈(12,1)分类讨论后可证该恒等式；
(2)利用[x]≤x可得x2−2≤x，求出其解后逐个检验可得原方程的解；
(3)求出[g(x)]的最大值后参变分离，从而可求参数的取值范围．
本题主要考查了与取整函数有关的证明问题，可将实数表示整数部分和小数部分，从而便于证明，而与绝对值有关的不等式恒成立或有解问题，注意利用公式去掉绝对值符号，便于参变分离，属于难题．