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2024年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（含解析）
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这是一份2024年陕西省西安市高考数学第二次质检试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合M={y|x2=2y−1}，N={x|y=ln(1−x)}，则M∩N=( )
A. [12,+∞)B. (−∞,1)C. [12,1)D. (12,1)
2.已知i为虚数单位，且复数z满足z(1+2i)=1−i2023，则|z−+i|=( )
A. 1B. 2C. 2 25D. 3 55
3.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若a//b，b//α，则a//αB. 若a//b，a⊥α，b//β，则α⊥β
C. 若a//α，b//β，α//β，则a//bD. 若a//α，b//β，α⊥β，则a⊥b
4.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，位道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(参考数值：lg2≈0.301)( )
A. 43%B. 33%C. 23%D. 13%
5.“a<1”是“函数f(x)=lg2[(1−a)x−1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.2024年春节期间，有《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没⋅逆转时空》、《红毯先生》等五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为( )
A. 310B. 35C. 72625D. 72125
7.若(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，则下列结论中不正确的是( )
A. a0=64
B. a0+a2+a4+a6=365
C. a5=12
D. a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=−6
8.已知锐角α，β满足csα−sinαcsα+sinα=sin2β1−cs2β，则tan(α−β)的值为( )
A. 1B. 33C. −1D. − 3
9.函数f(x)、g(x)的定义域为R，g(x)的导函数g′(x)的定义域为R，若f(x)+g(4−x)=4，f(x)−g(8−x)=−8，g′(x)+g′(8−x)=0，g(4)=8，则k=114f(2k)的值为( )
A. −20B. −22C. −24D. −26
10.已知双曲线C：x2−y3=1的左、右焦点分别为F1，F2，设点P为C右支上一点，P点到直线x=12的距离为d，过F2的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的( )
A. d+|PF1|的最小值为2
B. |PF2|d=2 2
C. 直线l的斜率的取值范围是( 3,+∞)
D. △PF1F2的内切圆圆心到y轴的距离为1
11.已知△ABC是边长为4的正三角形，M，N分别为BA，BC边上的一点(不含端点)，现将△BMN折起，记二面角B−MN−A的平面角为α，若α=π3，则四棱锥B−MNAC体积的最大值为( )
A. 83B. 163C. 16 39D. 32 39
12.已知函数f(x)=a(x+1)ex−x，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A. [−12e,34e3)B. [34e3,23e2)C. [23e2,12e)D. [12e,12)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知非零向量a与b满足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，则cs〈a,b〉= ______．
14.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠BAC=120°且∠BAC的平分线交BC于D，若AD=1，则b+4c的最小值为______．
15.已知动点M到点O(0,0)，A(4,0)的距离之比为13，若点M到直线l：kx−y−k=0的距离为12，且这样的点M至少有3个，则k的取值范围为______．
16.抛物线y2=4x的焦点为F，直线l的方程为：x=ty+7，l交抛物线于M，N两点，且MF⋅NF=0，抛物线在M，N处的切线交于点P，则△PMN的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率P(B)，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：P(B)=P(AB)+P(A−B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
(ⅰ)证明：P(B)=aa+b；
(ⅱ)研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为23，被抽到的概率为45；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为13，被抽到的概率为35；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为56，被抽到的概率为34；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为16，被抽到的概率为12.请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
如图(1)五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P−ABCD，如图(2)，点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．
(1)求证：PA=AD；
(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式，并求数列{an+12n}的前n项和为Tn；
(2)令cn=an+1an+2cs(n+1)π，若c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)与椭圆x28+y24=1的离心率相同，P( 22,1)为椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过点Q(13,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1(a∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=2，曲线C的参数方程是x=2csφy= 2sinφ(φ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(Ⅱ)若A(ρ1,α)是曲线C上一点，B(ρ2,α+π4)是直线l上一点，求1|OA|2+1|OB|2的最大值．
23.(本小题12分)
已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=3.证明：
(1)|a+b−12|+|c+1|≥72；
(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得M={y|x2=2y−1}={y|2y−1≥0}={y|y≥12}，
N={x|y=ln(1−x)}={x|1−x>0}={x|x<1}，
所以M∩N={x|12≤x<1}．
故选：C．
对集合M，N化简，然后利用集合的交集运算求M∩N．
本题考查了对数函数的定义域，集合的描述法的定义，交集的运算，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z(1+2i)=1−i2023，所以z(1+2i)=1−i2023=1−i4×505+3=1−i3=1+i，
所以z=1+i1+2i=(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−i5，
所以z−+i=35+15i+i=35+65i，
所以|z−+i|= 925+3625=3 55．
故选：D．
根据复数的除法、乘方运算求出z，再根据共轭复数的概念和模长公式可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：A，若a//b，b//α，则a⊂α或a//α，故A错误，
B，若a//b，a⊥α，则b⊥α，∵b//β，则α⊥β，故B正确，
C，若α//b，b//β，α//β，则a，b可能异面，故C错误，
D，若a//α，b//β，α⊥β，当a，b都与两平面的交线平行时，则a//b，故D错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，Wlg25000Wlg21000−1=lg5000lg1000−1=3+lg53−1=4−lg23−1≈1−0.3013≈23%，
故C大约增加了23%．
故选：C．
把两个信噪比代入C=Wlg2(1+SN)，然后作商运算即可．
本题考查根据实际问题求解函数变化率问题，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：令u=(1−a)x−1，y=lg2u，
若f(x)=lg2[(1−a)x−1]在(1,+∞)上单调递增，
因为y=lg2u是(1,+∞)上的增函数，
则需使u=(1−a)x−1是(1,+∞)上的增函数且u>0，
则1−a>0且1−a−1≥0，解得a≤0．
因为(−∞,0]⫋(−∞，1)，
故a<1是a≤0的必要不充分条件．
故选：C．
结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案．
本题主要考查了复合函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有54种方案，
若小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有①两人看《热辣滚烫》，则有C31A42种方案，
②一人看《热辣滚烫》，则有C32A42种方案，
即满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有C31A42+C32A42种方案，
所求概率P=C31A42+C32A4254=72625．
故选：C．
首先求出基本事件总数，再求出满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，
①令x=−1，则(−1−1)6=a0，即a0=64，故A正确；
②令x=0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，
令x=−2，则a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=729，
则a0+a2+a4+a6=1+7292=365，故B正确；
③(x−1)6=[(x+1)−2]6，则Tk+1=C6k(x+1)6−k(−2)k，令k=1，则a5=C61(−2)1=−12，故C错误；
④由(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，
两边求导，得6(x−1)5=a+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5，
令x=0，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(−1)5=−6，故D正确．
故选：C．
直接利用赋值法和组合数的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为csα−sinαcsα+sinα=sin2β1−cs2β，
所以csα−sinαcsα+sinα=2sinβcsβ1−1+2sin2β，
所以csα−sinαcsα+sinα=csβsinβ，所以1−tanα1+tanα=1tanβ，
即tanβ−tanαtanβ=1+tanα，即−1−tanαtanβ=tanα−tanβ，
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−1．
故选：C．
利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及和差角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设h(x)=g(x)−g(8−x)，则h′(x)=g′(x)+g′(8−x)=0，
所以函数h(x)为常值函数，设h(x)=g(x)−g(8−x)=c(c为常数)，
又因为h(4)=0，则g(x)−g(8−x)=0，即g(8−x)=g(x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x=4对称，则g(4+x)=g(4−x)，
因为f(x)+g(4−x)=4，f(x)−g(8−x)=−8，
且函数f(x)、g(x)的定义域为R，
所以g(4−x)+g(8−x)=12，所以g(−x)+g(4−x)=12，则g(8−x)=g(−x)，
所以g(x+8)=g(x)，所以，函数g(x)是周期为8的周期函数，
因为f(x)−g(8−x)=−8，则f(x)=g(8−x)−8=g(−x)−8，
所以f(x+8)=g(−x−8)−8=g(−x)−8=f(x)，
所以函数f(x)是周期为8的周期函数，
因为f(x)+g(4−x)=4，则f(−x)+g(4+x)=4，
所以f(x)+g(4−x)=f(−x)+g(4+x)，故f(x)=f(−x)，
所以函数f(x)为偶函数，
因为g(4)=8，所以，f(0)+g(4)=f(0)+8=4，故f(0)=−4，
在等式f(x)−g(8−x)=−8中，令x=4可得f(4)−g(4)=f(4)−8=−8，则f(4)=0，
在等式f(x)+g(4−x)=4中，令x=−2可得f(−2)+g(6)=4，
在等式f(x)−g(8−x)=−8中，令x=2可得f(2)−g(6)=−8，
所以f(−2)+f(2)=−4，故2f(2)=−4，则f(2)=−2，
所以f(8)=f(0)=−4，f(2)=−2，f(4)=0，f(6)=f(−2)=f(2)=−2，
因此k=114f(2k)=f(2)+f(4)+f(6)+⋯+f(28)=3[f(2)+f(4)+f(6)]+f(2)+f(4)=3×(−2+0−2−4)−2+0=−26．
故选：D．
设h(x)=g(x)−g(8−x)，可得出h′(x)=0，则h(x)=c(c为常数)，由h(4)=0可得出g(8−x)=g(x)，再结合已知等式可推导出函数f(x)是周期为8的周期函数，计算出f(2)、f(4)、f(6)、f(8)的值，结合函数f(x)的周期性可求得k=114f(2k)的值．
本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意可得a=1，b= 3，c=2．
对A选项，根据双曲线的几何性质可知：
当P与右顶点重合时，d+|PF1|取得最小值为(a−12)+a+c=3.5，故A选项错误；
对B选项，令P(x,y)且x≥12，
则|PF2|d= (x−2)2+y2x−12= 4x2−4x+1x−12=2x−1x−12=2，故B选项错误；
对C选项，∵渐近线方程为y=± 3x，又过F2的直线与双曲线C的右支有两个交点，
所以直线l的斜率的取值范围为(−∞,− 3)∪( 3,+∞)，故C选项错误；
对D选项，若内切圆与△PF1F2三边相切于D，E，F，
则|PD|=|PE|，|F1D|=|F1F|，|F2E|=|F2F|，又|PF1|−|PF2|=2a=2，
即|F1D|+|PD|−|F2E|−|PE|=|F1F|−|F2F|=2a=2
由|F1F|=a+c=3，|F2F|=c−a=1，
即F与右顶点重合，易知△PF1F2的内切圆圆心到y轴的距离为1，故D正确．
故选：D．
根据题意可得a=1，b= 3，c=2.再根据双曲线的几何性质，针对各个选项分别求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】A
【解析】解：因为△ABC是边长为4的正三角形，所以S△ABC=12×4×4sinπ3=4 3，
过点B作BH⊥MN于点H，故△BMN的MN上的高为BH=h，
设∠MBH=θ，则∠NBH=π3−θ，
故BM=hcsθ,BN=hcs(π3−θ)，
则S△BMN=12BM⋅BNsinπ3= 34h2csθcs(π3−θ)，
所以四边形MNCA的面积为4 3− 34h2csθcs(π3−θ)，
又二面角B−MN−A的平面角α=π3，
故四棱锥B−MNCA的高为hsinπ3= 32h，
故VB−MNCA=13×[4 3− 34h2csθcs(π3−θ)]⋅ 32h，
其中csθcs(π3−θ)=12[cs(θ+π3−θ)+cs(θ−π3+θ)]=12[12+cs(2θ−π3)]，
因为θ∈[0,π3]，故2θ−π3∈[−π3,π3]，故cs(2θ−π3)∈[12,1]，
故csθcs(π3−θ)=12[12+cs(2θ−π3)]≤34，当且仅当θ=π6时，等号成立，
所以VB−MNCA≤ 36h(4 3− 33h2)=16h(12−h2)=16 h2(12−h2)(12−h2)，
其中24=2h2+(12−h2)+(12−h2)≥332h2(12−h2)(12−h2)，
即h2(12−h2)(12−h2)≤832=256，
所以VB−MNCA≤16 256=83，当且仅当2h2=12−h2，即h=2时，等号成立，
综上：四棱锥B−MNCA体积的最大值为83．
故选：A．
作出辅助线，设∠MBH=θ，表达出BM=hcsθ,BN=hcs(π3−θ)，结合二面角B−MN−A的平面角α=π3和锥体体积公式得到VB−MNCA，由积化和差和三角函数图像得到csθcs(π3−θ)≤34，再由基本不等式求出四棱锥B−MNCA的体积的最大值．
本题考查了四棱锥体积的最值计算，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数在函数问题中的应用，涉及了利用导数研究函数的单调性、最值，解题的关键是构造函数，将问题转化为两个函数的图象进行研究．
构造新函数h(x)=a(x+1)，g(x)=xex，将问题转化为存在唯一的正整数x0，使得h(x0)【解答】
解：函数f(x)=a(x+1)ex−x，
因为存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，
即存在唯一的正整数x0，使得a(x0+1)令h(x)=a(x+1)，g(x)=xex，
问题即转化为存在唯一的正整数x0，使得h(x0)g′(x)=1−xex，令g′(x)=0，解得x=1，
所以g(x)在(−∞,1)上为单调递增函数，在区间(1,+∞)上为单调递减函数，
所以g(x)max=g(1)=1e，
h(x)=a(x+1)过定点C(−1,0)，
当a≤0时，有无穷多个x的值使得h(x)当a>0时，函数h(x)单调递增，
由图象可以分析得到只有正整数x0=1使得h(x0)令A(1,1e),B(2,2e2)，
则kAC=1e1−(−1)=12e，kCB=2e22−(−1)=23e2，
由图可知，实数a的取值范围为23e2≤a<12e．
故选：C．
13.【答案】−34
【解析】解：因为|a|=2|b|，且|a+2b|=|a+b|，
所以(a+2b)2=(a+b)2，
所以a2+4a⋅b+4b2=a2+2a⋅b+b2，
所以2a⋅b=−3b2，
即2|a||b|cs=−3|b|2，
所以cs〈a,b〉=−3|b|2|a|=−34．
故答案为：−34．
根据平面向量数量积运算，求夹角即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
14.【答案】9
【解析】解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=60°，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12bcsin120°=12cADsin60°+12bADsin60°，
又AD=1，
整理得bc=c+b，故1b+1c=1，
所以b+4c=(b+4c)(1b+1c)=4cb+bc+5≥2 4cb⋅bc+5=9，
当且仅当4cb=bc,1b+1c=1，即b=3,c=32时等号成立，
则b+4c的最小值是9．
故答案为：9．
先根据三角形面积关系列b，c等量关系，再根据基本不等式求最值．
本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】[−2 55,2 55]
【解析】解：设点M的坐标为(x,y)，
则|OM||OA|=13，即x2+y2(x−4)2+y2=19，整理得(x+12)2−y2=94，
所以M在以(−12,0)为圆心，32为半径的圆上，
直线l：kx−y−k=0，即y=k(x−1)，恒过定点(1,0)．
设d为圆心C(−12,0)到直线l的距离，
若在圆C上至少存在3个点到直线l的距离为12，
则d=|−12k−k| 1+k2≤1，解得−2 55≤k≤2 55，
因此，实数k的取值范围为[−2 55,2 55]．
答案：[−2 55,2 55]．
根据题意利用两点间的距离公式，化简出点M在以(−12,0)为圆心、32为半径的圆上，从而利用直线与圆的位置关系，算出满足条件的k的取值范围．
本题主要考查两点间的距离公式、直线与圆的位置关系及其应用等知识，属于中档题．
16.【答案】108
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，
联立x=ty+7y2=4x，得y2−4ty−28=0，
所以Δ=(−4t)2−4×1×(−28)>0，
y1+y2=4t，y1y2=−28，
所以MF=(1−x1,−y1)，NF=(1−x2,−y2)，
所以MF⋅NF=(1−x1)(1−x2)+y1y2=(1−ty1−7)(1−ty2−7)+y1y2
=(6+ty1)(6+ty2)+y1y2
=t2y1y2+6t(y1+y2)+36+y1y2
=−28t2+24t2+8
=−4t2+8=0
所以t2=2，
所以x1+x2=ty1+7+ty2+7=t(y1+y2)+14=t⋅4t+14=4t2+14=22，
x1x2=y124⋅y224=(y1y2)216=(−28)216=49，
因为抛物线的方程y2=4x，
所以2yy′=4，即y′=2y，
所以切线PM的斜率为2y1，直线PN的斜率为2y2，
所以直线PM的方程为y−y1=2y1(x−x1)，即y1y−y12=2x−2x1，
又y12=4x1，
所以y1y=2(x+x1)，①
直线PN的方程为y−y2=2y2(x−x2)，
又y22=4x2，
所以y2y=2(x+x2)，②
①②得，y1y2=x+ty1+7x+ty2+7，
所以y1(x+ty2+7)=y2(x+ty1+7)，
所以(y1−y2)x=−7(y1−y2)
所以x=−7，
①+②得，(y1+y2)y=2(2x+x1+x2)，
所以4ty=2[2×(−7)+22]，
所以y=4t，
所以P(−7,4t)，
所以到P到MN的距离为d=|−7−t⋅4t−7| 1+(−t)2=18 3=6 3，
|MN|= 1+t2 (y1+y2)2−4y1y2= 3 16t2−4×(−28)= 3× 16×2−4×(−28)=12 3，
所以S△PMN=12×|MN|×d=12×12 3×6 3=108，
故答案为：108．
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，联立直线x=ty+7与抛物线的方程，可得y1+y2，y1y2，则MF⋅NF=(1−x1)(1−x2)+y1y2=(1−ty1−7)(1−ty2−7)+y1y2=−4t2+8=0，解得t2=2，再计算x1+x2，x1x2，y2=4x两边求导，可得y′=2y，则切线PM的斜率为2y1，直线PN的斜率为2y2，写出直线PM，PN的方程，联立，解得P点的坐标，计算点P到直线MN的距离，由弦长公式可得|MN|，则S△PMN=12×|MN|×d，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的位置，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据列联表得K2=120×(40×10−20×50)260×60×90×30=409≈4.444>3.841，
所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．
(2)由已知公式可得，P(A)=aa+b，P(B|A)=a−1a+b−1，P(A−)=ba+b，P(B|A−)=aa+b−1，
则P(B)=P(AB)+P(A−B)
=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)
=aa+b⋅a−1a+b−1+ba+b⋅aa+b−1，
=a(a−1)+ab(a+b)(a+b−1)，
=a(a+b−1)(a+b)(a+b−1)，
=aa+b，得证．
(ⅱ)①选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C，
由题意得P(C)=23×45+13×35=1115，
故选M品种，被抽到的概率为1115．
②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，
由题意P(D)=56×34+16×12=1724，
故选N品种，被抽到的概率为1724．
【解析】(1)根据题意求出K2，与3.841比较即可得出结论；
(2)(ⅰ)分别求出P(A)，P(B|A)，P(A−)，P(B|A−)，代入公式计算即可证明；(ⅱ)根据题意代入公式计算即可．
本题考查独立性检验和条件概率相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：根据题意，取PD中点N，连接AN，MN，
因为点M为线段PC的中点，
所以MN//CD且MN=12CD，
因为AB//CD，CD=2AB，
所以MN//AB，MN=AB，
故四边形ABMN为平行四边形，
所以BM//AN，
又由BM⊥平面PCD，所以AN⊥平面PCD，
因为PD⊂平面PCD，
所以AN⊥PD，
故有PA=AD；
(2)由(1)得EA=AD，
又因为ED=EA，所以△EAD为等边三角形，
故∠EDA=60°，
因为∠EDC=150°，∠CDA=90°，即AD⊥CD，
因为AB//CD，所以直线PC与CD所成角的正切值为12，即tan∠DCP=12，故sin∠DCPcs∠DCP=12，
又sin2∠DCP+cs2∠DCP=1，解得cs∠DCP=2 55，
设PD=1，则AD=AB=PA=1，CD=2，
在△CDP中，有cs∠DCP=CP2+CD2−PD22CP⋅CD=CP2+4−14CP=2 55，解得CP= 5，
故CD 2+DP2=PC2，则有CD⊥DP，
因为AD∩DP=D，直线AD，DP⊂平面ADP，
所以CD⊥平面PAD，
取AD中点F，连接PF，取BC中点H，连接FH，则FH⊥AD，
因为PF⊂平面PAD，
所以CD⊥PF，
必有PF⊥AD，
因为CD，AD⊂平面ABCD，CD∩AD=D，
所以PF⊥平面ABCD，
则有FA⊥FH，FA⊥FP，FA⊥FH，
以F为坐标原点，FA，FH，FP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图：
B(12,1,0),P(0,0, 32),C(−12,2,0),M(−14,1, 34),D(−12,0,0)，
设平面PDB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅PB=(x,y,z)⋅(12,1,− 32)=12x+y− 32z=0m⋅PD=(x,y,z)⋅(−12,0,− 32)=−12x− 32z=0，
令z=1得x=− 3，y= 3，故平面PDB的法向量m=(− 3, 3,1)，
设直线BM与平面PDB所成角大小为θ，
则有sinθ=|cs|=|BM⋅m||BM|⋅|m|=|(−34,0, 34)⋅(− 3, 3,1)| 916+316× 3+3+1=2 77，
即直线BM与平面PDB所成角的正弦值为2 77．
【解析】(1)作出辅助线，得到四边形ABMN为平行四边形，故BM//AN，得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一得到结论；
(2)证明出AD⊥CD，由正切值求出余弦值，结合余弦定理求出CP= 5，由勾股定理逆定理得到CD⊥DP，得到线面垂直，进而证明出PF⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解线面角的正弦值．
本题考查直线与平面所成的角，涉及空间向量的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设公差d不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列，
可得a52=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，
解得d=2，an=2n−1(n∈N*),
an+12n=2n+12n，
前n项和Tn=3⋅12+5⋅(12)2+7⋅(12)3+…+(2n+1)⋅(12)n，
12Tn=3⋅(12)2+5⋅(12)3+7⋅(12)4+…+(2n+1)⋅(12)n+1，
两式相减可得12Tn=32+2[(12)2+(12)3+…+(12)n]−(2n+1)⋅(12)n+1，
=32+2⋅14(1−12n−1)1−12−(2n+1)⋅(12)n+1，
化简可得Tn=5−(2n+5)⋅(12)n(n∈N*)；
(2)cn=(2n+1)(2n+3)cs(n+1)π，
当n为奇数时，cs(n+1)π=1，
c1+c2+…+cn=3×5−5×7+7×9−9×11+…+(2n+1)(2n+3)
=3×5+4×(7+11+…+2n+1)
=15+4×(2n+8)(n−1)4=2n2+6n+7，
c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，即为2n2+6n+7≥tn2，
可得t≤7n2+6n+2=7(1n+37)2+57，则t≤2；
当n为偶数时，cs(n+1)π=−1，
c1+c2+…+cn=3×5−5×7+7×9−9×11+…−(2n+1)(2n+3)
=−4×(5+9+13+…+2n+1)
=−2n2−6n，
c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，即为−2n2−6n≥tn2，
可得t≤−2−6n，由−2−6n在n为偶数集递增，可得n=2取得最小值−5，
则t≤−5，
综上所述，t≤−5．
【解析】(1)由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差，进而得到an=2n−1，an+12n=2n+12n，再由数列的求和方法：错位相减法，即可得到所求和；
(2)求得cn=(2n+1)(2n+3)cs(n+1)π，讨论n为奇数和偶数，运用数列不等式恒成立思想，求得最值，解不等式即可得到所求范围．
，本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)∵椭圆方程为x28+y24=1，
∴a1=2 2，b1=2，c1= 8−4=2，离心率e=c1a1=22 2= 22，
在椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)中，e=ca= a2−b2a= 1−b2a2，
∴ 1−b2a2= 22，化简得a2=2b2，
∵P( 22,1)在椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)上，
∴12b2+1a2=1，∴12b2+12b2=1，
∴b2=1，a2=2，
∴椭圆C：x2+y22=1；
(2)当直线l的斜率为0时，线段AB是椭圆的短轴，
以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=13，代入x2+y22=1，得y=±43，
以AB为直径的圆的方程为(x−13)2+y2=169，
令y=0，可得x=−1，
由此猜想存在T(−1,0)，使得以AB为直径的圆是经过定点T(−1,0)，
证明如下：
当直线l的斜率不为0且斜率存在时，设直线l：x=my+13，
联立x=my+13x2+y22=1，消去x并整理得：
(m2+12)y2+23my−89=0，Δ=49m2+4(m2+12)⋅89>0，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则y1+y2=−2m3(m2+12)，y1y2=−89(m2+12)，
∴x1+x2=my1+13+my2+13=m(y1+y2)+23=−2m23(m2+12)+23，
x1x2=(my1+13)(my2+13)=m2y1y2+13m(y1+y2)+19
=−8m29(m2+12)−2m29(m2+12)+19=−10m29(m2+12)+19，
∵TA⋅TB=(x1+1,y1)⋅(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+y1y2
=−10m29(m2+12)+19−2m23(m2+12)+23+1−89(m2+12)
=−16m2+89(m2+12)+169=0，
∴TA⊥TB，∴点T(−1,0)在以AB为直径的圆上，
综合可得：以AB为直径的圆是经过定点T(−1,0)．
【解析】(1)先求出椭圆x28+y24=1的离心率为 22，由此得到a2=2b2，将点P的坐标代入椭圆C，得到12b2+1a2=1，再代入a2=2b2，解得b2=1，a2=2，则可得结果；
(2)先用两个特殊圆求出交点(−1,0)，再猜想以AB为直径的圆经过定点T(−1,0)，再证明猜想，设直线l：x=my+13，并与x2+y22=1联立，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，进一步得到x1+x2，x1x2，利用y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2证明TA⋅TB=0即可．
本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆过的定点的探究与证明，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，属难题．
21.【答案】解：(1)f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1的定义域为(0,+∞)，
当a=0时，f(x)=lnx−1在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f′(x)=1x−2a2x−a=−(ax+1)(2ax−1)x，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>12a，∴f(x)在(12a,+∞)上单调递减；
当a<0时，f′(x)=−(ax+1)(2ax−1)x，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>−1a，∴f(x)在(−1a,+∞)上单调递减．
综上所述：当a=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，f(x)在(−1a,+∞)上单调递减．
(2)f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0，即ln(x+1)−ax−1+exx+1≥0，
设g(x)=ln(x+1)−ax−1+exx+1(x≥0)，
当a≤1时，g(x)≥ln(x+1)−x−1+exx+1，
设h(x)=ln(x+1)−x−1+exx+1(x≥0)，
则h′(x)=1x+1−1+xex(x+1)2=−xx+1+xex(x+1)2=x(x+1)2(ex−x−1)，
设u(x)=ex−x−1(x≥0)，则u′(x)=ex−1≥0，则u(x)在[0,+∞)上单调递增，
又u(0)=0，∴u(x)≥0恒成立，即ex−x−1≥0，
又x(x+1)2≥0，∴h′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，从而h(x)在[0,+∞)上单调递增，
∵h(0)=0，∴h(x)≥0，
又g(x)≥h(x)，g(x)≥0，满足题意；
当a>1时，g′(x)=1x+1−a+xex(x+1)2，
g″(x)=−1(x+1)2+(x+1)3ex−2(x2+x)ex(x+1)4=(x2+1)ex−x−1(x+1)3，
当x≥0时，(x2+1)ex−x−1≥ex−x−1≥0，则g″(x)≥0恒成立，
故g′(x)在[0,+∞)上单调递增．
设φ(x)=2ex(x+1)2(x>1)，则φ′(x)=2(x−1)ex(x+1)3>0，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增，
又φ(1)=2e4>1，∴φ(x)>1恒成立，即2ex(x+1)2>1，从而ex(x+1)2>12，
∴当x>2a时，必有g′(x)=1x+1−a+xex(x+1)2>−a+x2>0，
又g′(0)=1−a<0，∴g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点x0，且当x∈[0,x0)时，g′(x)<0，
从而g(x)在[0,x0)上单调递减，结合g(0)=0知，当x∈(0,x0)时，g(x)<0，
∴g(x)≥0在[0,+∞)上不能恒成立，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)当a=0时，直接得到原函数的单调性，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a>0和a<0求解原函数的单调区间．
(2)问题转化为ln(x+1)−ax−1+exx+1≥0，设g(x)=ln(x+1)−ax−1+exx+1(x≥0)，当a≤1时，利用放缩法结合导数即可证明g(x)≥0，满足题意；当a>1时，利用二次求导可得g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点x0，且g(x)在[0,x0)上单调递减，结合g(0)=0，说明g(x)≥0在[0,+∞)上不能恒成立，不合题意，由此可得实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度大．
22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的方程是y=2，转换为极坐标方程为ρsinθ=2，
曲线C的参数方程是x=2csφy= 2sinφ(φ为参数).转换为直角坐标方程为x24+y22=1，转换为极坐标方程为ρ=2 1+sin2θ．
(Ⅱ)点A(ρ1,α)是曲线C上一点，
所以：ρ1=2 1+sin2α，所以1ρ12=3−cs2α8，
点B(ρ2,α+π4)是直线l上一点，
所以ρ2sin(α+π4)=2，所以1ρ22=sin2(α+π4)4=1−cs(2α+π2)24=1+sin2α8，
1|OA|2+1|OB|2=3−cs2α8+1+sin2α8=12+ 28sin(2α−π4)，当α=3π8时，最大值为12+ 28．
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】证明：(1)因为|a+b−12|+|c+1|≥|a+b−12+c+1|=|a+b+c+12|，
当且仅当(a+b−12)(c+1)≥0时取等号，
又因为a+b+c=3，
所以|a+b−12|+|c+1|≥|3+12|=72．
(2)因为a，b，c为正实数，a+b+c=3，由三元基本不等式知，(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2)=3(bca+acb+abc)
=32[(bca+acb)+(abc+bca)+(acb+abc)]≥32[2 bca⋅acb+2 abc⋅bca+2 acb⋅abc]=32(2c+2b+2a)=9，
当且仅当a=b=c=1时取等号，
所以(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
【解析】(1)利用绝对三角不等式即可证明结论；
(2)利用三元基本不等式(a3+b3+c3)≥3abc和基本不等式即可证明结论．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐
M品种蜜蜂
40
20
N品种蜜蜂
50
10
P(K2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1.设集合M={y|x2=2y−1}，N={x|y=ln(1−x)}，则M∩N=( )
A. [12,+∞)B. (−∞,1)C. [12,1)D. (12,1)
2.已知i为虚数单位，且复数z满足z(1+2i)=1−i2023，则|z−+i|=( )
A. 1B. 2C. 2 25D. 3 55
3.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若a//b，b//α，则a//αB. 若a//b，a⊥α，b//β，则α⊥β
C. 若a//α，b//β，α//β，则a//bD. 若a//α，b//β，α⊥β，则a⊥b
4.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，位道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了(参考数值：lg2≈0.301)( )
A. 43%B. 33%C. 23%D. 13%
5.“a<1”是“函数f(x)=lg2[(1−a)x−1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.2024年春节期间，有《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《熊出没⋅逆转时空》、《红毯先生》等五部电影上映，小李准备和另3名同学一行去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为( )
A. 310B. 35C. 72625D. 72125
7.若(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，则下列结论中不正确的是( )
A. a0=64
B. a0+a2+a4+a6=365
C. a5=12
D. a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=−6
8.已知锐角α，β满足csα−sinαcsα+sinα=sin2β1−cs2β，则tan(α−β)的值为( )
A. 1B. 33C. −1D. − 3
9.函数f(x)、g(x)的定义域为R，g(x)的导函数g′(x)的定义域为R，若f(x)+g(4−x)=4，f(x)−g(8−x)=−8，g′(x)+g′(8−x)=0，g(4)=8，则k=114f(2k)的值为( )
A. −20B. −22C. −24D. −26
10.已知双曲线C：x2−y3=1的左、右焦点分别为F1，F2，设点P为C右支上一点，P点到直线x=12的距离为d，过F2的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的( )
A. d+|PF1|的最小值为2
B. |PF2|d=2 2
C. 直线l的斜率的取值范围是( 3,+∞)
D. △PF1F2的内切圆圆心到y轴的距离为1
11.已知△ABC是边长为4的正三角形，M，N分别为BA，BC边上的一点(不含端点)，现将△BMN折起，记二面角B−MN−A的平面角为α，若α=π3，则四棱锥B−MNAC体积的最大值为( )
A. 83B. 163C. 16 39D. 32 39
12.已知函数f(x)=a(x+1)ex−x，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是( )
A. [−12e,34e3)B. [34e3,23e2)C. [23e2,12e)D. [12e,12)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知非零向量a与b满足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，则cs〈a,b〉= ______．
14.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠BAC=120°且∠BAC的平分线交BC于D，若AD=1，则b+4c的最小值为______．
15.已知动点M到点O(0,0)，A(4,0)的距离之比为13，若点M到直线l：kx−y−k=0的距离为12，且这样的点M至少有3个，则k的取值范围为______．
16.抛物线y2=4x的焦点为F，直线l的方程为：x=ty+7，l交抛物线于M，N两点，且MF⋅NF=0，抛物线在M，N处的切线交于点P，则△PMN的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率P(B)，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：P(B)=P(AB)+P(A−B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
(ⅰ)证明：P(B)=aa+b；
(ⅱ)研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为23，被抽到的概率为45；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为13，被抽到的概率为35；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为56，被抽到的概率为34；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为16，被抽到的概率为12.请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题12分)
如图(1)五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P−ABCD，如图(2)，点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．
(1)求证：PA=AD；
(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式，并求数列{an+12n}的前n项和为Tn；
(2)令cn=an+1an+2cs(n+1)π，若c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)与椭圆x28+y24=1的离心率相同，P( 22,1)为椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过点Q(13,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1(a∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=2，曲线C的参数方程是x=2csφy= 2sinφ(φ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(Ⅱ)若A(ρ1,α)是曲线C上一点，B(ρ2,α+π4)是直线l上一点，求1|OA|2+1|OB|2的最大值．
23.(本小题12分)
已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=3.证明：
(1)|a+b−12|+|c+1|≥72；
(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得M={y|x2=2y−1}={y|2y−1≥0}={y|y≥12}，
N={x|y=ln(1−x)}={x|1−x>0}={x|x<1}，
所以M∩N={x|12≤x<1}．
故选：C．
对集合M，N化简，然后利用集合的交集运算求M∩N．
本题考查了对数函数的定义域，集合的描述法的定义，交集的运算，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z(1+2i)=1−i2023，所以z(1+2i)=1−i2023=1−i4×505+3=1−i3=1+i，
所以z=1+i1+2i=(1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−i5，
所以z−+i=35+15i+i=35+65i，
所以|z−+i|= 925+3625=3 55．
故选：D．
根据复数的除法、乘方运算求出z，再根据共轭复数的概念和模长公式可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：A，若a//b，b//α，则a⊂α或a//α，故A错误，
B，若a//b，a⊥α，则b⊥α，∵b//β，则α⊥β，故B正确，
C，若α//b，b//β，α//β，则a，b可能异面，故C错误，
D，若a//α，b//β，α⊥β，当a，b都与两平面的交线平行时，则a//b，故D错误．
故选：B．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，Wlg25000Wlg21000−1=lg5000lg1000−1=3+lg53−1=4−lg23−1≈1−0.3013≈23%，
故C大约增加了23%．
故选：C．
把两个信噪比代入C=Wlg2(1+SN)，然后作商运算即可．
本题考查根据实际问题求解函数变化率问题，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：令u=(1−a)x−1，y=lg2u，
若f(x)=lg2[(1−a)x−1]在(1,+∞)上单调递增，
因为y=lg2u是(1,+∞)上的增函数，
则需使u=(1−a)x−1是(1,+∞)上的增函数且u>0，
则1−a>0且1−a−1≥0，解得a≤0．
因为(−∞,0]⫋(−∞，1)，
故a<1是a≤0的必要不充分条件．
故选：C．
结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案．
本题主要考查了复合函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有54种方案，
若小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影，
有①两人看《热辣滚烫》，则有C31A42种方案，
②一人看《热辣滚烫》，则有C32A42种方案，
即满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有C31A42+C32A42种方案，
所求概率P=C31A42+C32A4254=72625．
故选：C．
首先求出基本事件总数，再求出满足小李看《热辣滚烫》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由于(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，
①令x=−1，则(−1−1)6=a0，即a0=64，故A正确；
②令x=0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1，
令x=−2，则a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=729，
则a0+a2+a4+a6=1+7292=365，故B正确；
③(x−1)6=[(x+1)−2]6，则Tk+1=C6k(x+1)6−k(−2)k，令k=1，则a5=C61(−2)1=−12，故C错误；
④由(x−1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+⋯+a6(x+1)6，
两边求导，得6(x−1)5=a+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5，
令x=0，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(−1)5=−6，故D正确．
故选：C．
直接利用赋值法和组合数的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为csα−sinαcsα+sinα=sin2β1−cs2β，
所以csα−sinαcsα+sinα=2sinβcsβ1−1+2sin2β，
所以csα−sinαcsα+sinα=csβsinβ，所以1−tanα1+tanα=1tanβ，
即tanβ−tanαtanβ=1+tanα，即−1−tanαtanβ=tanα−tanβ，
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−1．
故选：C．
利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得．
本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及和差角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设h(x)=g(x)−g(8−x)，则h′(x)=g′(x)+g′(8−x)=0，
所以函数h(x)为常值函数，设h(x)=g(x)−g(8−x)=c(c为常数)，
又因为h(4)=0，则g(x)−g(8−x)=0，即g(8−x)=g(x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x=4对称，则g(4+x)=g(4−x)，
因为f(x)+g(4−x)=4，f(x)−g(8−x)=−8，
且函数f(x)、g(x)的定义域为R，
所以g(4−x)+g(8−x)=12，所以g(−x)+g(4−x)=12，则g(8−x)=g(−x)，
所以g(x+8)=g(x)，所以，函数g(x)是周期为8的周期函数，
因为f(x)−g(8−x)=−8，则f(x)=g(8−x)−8=g(−x)−8，
所以f(x+8)=g(−x−8)−8=g(−x)−8=f(x)，
所以函数f(x)是周期为8的周期函数，
因为f(x)+g(4−x)=4，则f(−x)+g(4+x)=4，
所以f(x)+g(4−x)=f(−x)+g(4+x)，故f(x)=f(−x)，
所以函数f(x)为偶函数，
因为g(4)=8，所以，f(0)+g(4)=f(0)+8=4，故f(0)=−4，
在等式f(x)−g(8−x)=−8中，令x=4可得f(4)−g(4)=f(4)−8=−8，则f(4)=0，
在等式f(x)+g(4−x)=4中，令x=−2可得f(−2)+g(6)=4，
在等式f(x)−g(8−x)=−8中，令x=2可得f(2)−g(6)=−8，
所以f(−2)+f(2)=−4，故2f(2)=−4，则f(2)=−2，
所以f(8)=f(0)=−4，f(2)=−2，f(4)=0，f(6)=f(−2)=f(2)=−2，
因此k=114f(2k)=f(2)+f(4)+f(6)+⋯+f(28)=3[f(2)+f(4)+f(6)]+f(2)+f(4)=3×(−2+0−2−4)−2+0=−26．
故选：D．
设h(x)=g(x)−g(8−x)，可得出h′(x)=0，则h(x)=c(c为常数)，由h(4)=0可得出g(8−x)=g(x)，再结合已知等式可推导出函数f(x)是周期为8的周期函数，计算出f(2)、f(4)、f(6)、f(8)的值，结合函数f(x)的周期性可求得k=114f(2k)的值．
本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意可得a=1，b= 3，c=2．
对A选项，根据双曲线的几何性质可知：
当P与右顶点重合时，d+|PF1|取得最小值为(a−12)+a+c=3.5，故A选项错误；
对B选项，令P(x,y)且x≥12，
则|PF2|d= (x−2)2+y2x−12= 4x2−4x+1x−12=2x−1x−12=2，故B选项错误；
对C选项，∵渐近线方程为y=± 3x，又过F2的直线与双曲线C的右支有两个交点，
所以直线l的斜率的取值范围为(−∞,− 3)∪( 3,+∞)，故C选项错误；
对D选项，若内切圆与△PF1F2三边相切于D，E，F，
则|PD|=|PE|，|F1D|=|F1F|，|F2E|=|F2F|，又|PF1|−|PF2|=2a=2，
即|F1D|+|PD|−|F2E|−|PE|=|F1F|−|F2F|=2a=2
由|F1F|=a+c=3，|F2F|=c−a=1，
即F与右顶点重合，易知△PF1F2的内切圆圆心到y轴的距离为1，故D正确．
故选：D．
根据题意可得a=1，b= 3，c=2.再根据双曲线的几何性质，针对各个选项分别求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】A
【解析】解：因为△ABC是边长为4的正三角形，所以S△ABC=12×4×4sinπ3=4 3，
过点B作BH⊥MN于点H，故△BMN的MN上的高为BH=h，
设∠MBH=θ，则∠NBH=π3−θ，
故BM=hcsθ,BN=hcs(π3−θ)，
则S△BMN=12BM⋅BNsinπ3= 34h2csθcs(π3−θ)，
所以四边形MNCA的面积为4 3− 34h2csθcs(π3−θ)，
又二面角B−MN−A的平面角α=π3，
故四棱锥B−MNCA的高为hsinπ3= 32h，
故VB−MNCA=13×[4 3− 34h2csθcs(π3−θ)]⋅ 32h，
其中csθcs(π3−θ)=12[cs(θ+π3−θ)+cs(θ−π3+θ)]=12[12+cs(2θ−π3)]，
因为θ∈[0,π3]，故2θ−π3∈[−π3,π3]，故cs(2θ−π3)∈[12,1]，
故csθcs(π3−θ)=12[12+cs(2θ−π3)]≤34，当且仅当θ=π6时，等号成立，
所以VB−MNCA≤ 36h(4 3− 33h2)=16h(12−h2)=16 h2(12−h2)(12−h2)，
其中24=2h2+(12−h2)+(12−h2)≥332h2(12−h2)(12−h2)，
即h2(12−h2)(12−h2)≤832=256，
所以VB−MNCA≤16 256=83，当且仅当2h2=12−h2，即h=2时，等号成立，
综上：四棱锥B−MNCA体积的最大值为83．
故选：A．
作出辅助线，设∠MBH=θ，表达出BM=hcsθ,BN=hcs(π3−θ)，结合二面角B−MN−A的平面角α=π3和锥体体积公式得到VB−MNCA，由积化和差和三角函数图像得到csθcs(π3−θ)≤34，再由基本不等式求出四棱锥B−MNCA的体积的最大值．
本题考查了四棱锥体积的最值计算，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数在函数问题中的应用，涉及了利用导数研究函数的单调性、最值，解题的关键是构造函数，将问题转化为两个函数的图象进行研究．
构造新函数h(x)=a(x+1)，g(x)=xex，将问题转化为存在唯一的正整数x0，使得h(x0)
解：函数f(x)=a(x+1)ex−x，
因为存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，
即存在唯一的正整数x0，使得a(x0+1)
问题即转化为存在唯一的正整数x0，使得h(x0)
所以g(x)在(−∞,1)上为单调递增函数，在区间(1,+∞)上为单调递减函数，
所以g(x)max=g(1)=1e，
h(x)=a(x+1)过定点C(−1,0)，
当a≤0时，有无穷多个x的值使得h(x)
由图象可以分析得到只有正整数x0=1使得h(x0)
则kAC=1e1−(−1)=12e，kCB=2e22−(−1)=23e2，
由图可知，实数a的取值范围为23e2≤a<12e．
故选：C．
13.【答案】−34
【解析】解：因为|a|=2|b|，且|a+2b|=|a+b|，
所以(a+2b)2=(a+b)2，
所以a2+4a⋅b+4b2=a2+2a⋅b+b2，
所以2a⋅b=−3b2，
即2|a||b|cs
所以cs〈a,b〉=−3|b|2|a|=−34．
故答案为：−34．
根据平面向量数量积运算，求夹角即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
14.【答案】9
【解析】解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=60°，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12bcsin120°=12cADsin60°+12bADsin60°，
又AD=1，
整理得bc=c+b，故1b+1c=1，
所以b+4c=(b+4c)(1b+1c)=4cb+bc+5≥2 4cb⋅bc+5=9，
当且仅当4cb=bc,1b+1c=1，即b=3,c=32时等号成立，
则b+4c的最小值是9．
故答案为：9．
先根据三角形面积关系列b，c等量关系，再根据基本不等式求最值．
本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】[−2 55,2 55]
【解析】解：设点M的坐标为(x,y)，
则|OM||OA|=13，即x2+y2(x−4)2+y2=19，整理得(x+12)2−y2=94，
所以M在以(−12,0)为圆心，32为半径的圆上，
直线l：kx−y−k=0，即y=k(x−1)，恒过定点(1,0)．
设d为圆心C(−12,0)到直线l的距离，
若在圆C上至少存在3个点到直线l的距离为12，
则d=|−12k−k| 1+k2≤1，解得−2 55≤k≤2 55，
因此，实数k的取值范围为[−2 55,2 55]．
答案：[−2 55,2 55]．
根据题意利用两点间的距离公式，化简出点M在以(−12,0)为圆心、32为半径的圆上，从而利用直线与圆的位置关系，算出满足条件的k的取值范围．
本题主要考查两点间的距离公式、直线与圆的位置关系及其应用等知识，属于中档题．
16.【答案】108
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，
联立x=ty+7y2=4x，得y2−4ty−28=0，
所以Δ=(−4t)2−4×1×(−28)>0，
y1+y2=4t，y1y2=−28，
所以MF=(1−x1,−y1)，NF=(1−x2,−y2)，
所以MF⋅NF=(1−x1)(1−x2)+y1y2=(1−ty1−7)(1−ty2−7)+y1y2
=(6+ty1)(6+ty2)+y1y2
=t2y1y2+6t(y1+y2)+36+y1y2
=−28t2+24t2+8
=−4t2+8=0
所以t2=2，
所以x1+x2=ty1+7+ty2+7=t(y1+y2)+14=t⋅4t+14=4t2+14=22，
x1x2=y124⋅y224=(y1y2)216=(−28)216=49，
因为抛物线的方程y2=4x，
所以2yy′=4，即y′=2y，
所以切线PM的斜率为2y1，直线PN的斜率为2y2，
所以直线PM的方程为y−y1=2y1(x−x1)，即y1y−y12=2x−2x1，
又y12=4x1，
所以y1y=2(x+x1)，①
直线PN的方程为y−y2=2y2(x−x2)，
又y22=4x2，
所以y2y=2(x+x2)，②
①②得，y1y2=x+ty1+7x+ty2+7，
所以y1(x+ty2+7)=y2(x+ty1+7)，
所以(y1−y2)x=−7(y1−y2)
所以x=−7，
①+②得，(y1+y2)y=2(2x+x1+x2)，
所以4ty=2[2×(−7)+22]，
所以y=4t，
所以P(−7,4t)，
所以到P到MN的距离为d=|−7−t⋅4t−7| 1+(−t)2=18 3=6 3，
|MN|= 1+t2 (y1+y2)2−4y1y2= 3 16t2−4×(−28)= 3× 16×2−4×(−28)=12 3，
所以S△PMN=12×|MN|×d=12×12 3×6 3=108，
故答案为：108．
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，联立直线x=ty+7与抛物线的方程，可得y1+y2，y1y2，则MF⋅NF=(1−x1)(1−x2)+y1y2=(1−ty1−7)(1−ty2−7)+y1y2=−4t2+8=0，解得t2=2，再计算x1+x2，x1x2，y2=4x两边求导，可得y′=2y，则切线PM的斜率为2y1，直线PN的斜率为2y2，写出直线PM，PN的方程，联立，解得P点的坐标，计算点P到直线MN的距离，由弦长公式可得|MN|，则S△PMN=12×|MN|×d，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的位置，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据列联表得K2=120×(40×10−20×50)260×60×90×30=409≈4.444>3.841，
所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．
(2)由已知公式可得，P(A)=aa+b，P(B|A)=a−1a+b−1，P(A−)=ba+b，P(B|A−)=aa+b−1，
则P(B)=P(AB)+P(A−B)
=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)
=aa+b⋅a−1a+b−1+ba+b⋅aa+b−1，
=a(a−1)+ab(a+b)(a+b−1)，
=a(a+b−1)(a+b)(a+b−1)，
=aa+b，得证．
(ⅱ)①选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C，
由题意得P(C)=23×45+13×35=1115，
故选M品种，被抽到的概率为1115．
②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，
由题意P(D)=56×34+16×12=1724，
故选N品种，被抽到的概率为1724．
【解析】(1)根据题意求出K2，与3.841比较即可得出结论；
(2)(ⅰ)分别求出P(A)，P(B|A)，P(A−)，P(B|A−)，代入公式计算即可证明；(ⅱ)根据题意代入公式计算即可．
本题考查独立性检验和条件概率相关知识，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：根据题意，取PD中点N，连接AN，MN，
因为点M为线段PC的中点，
所以MN//CD且MN=12CD，
因为AB//CD，CD=2AB，
所以MN//AB，MN=AB，
故四边形ABMN为平行四边形，
所以BM//AN，
又由BM⊥平面PCD，所以AN⊥平面PCD，
因为PD⊂平面PCD，
所以AN⊥PD，
故有PA=AD；
(2)由(1)得EA=AD，
又因为ED=EA，所以△EAD为等边三角形，
故∠EDA=60°，
因为∠EDC=150°，∠CDA=90°，即AD⊥CD，
因为AB//CD，所以直线PC与CD所成角的正切值为12，即tan∠DCP=12，故sin∠DCPcs∠DCP=12，
又sin2∠DCP+cs2∠DCP=1，解得cs∠DCP=2 55，
设PD=1，则AD=AB=PA=1，CD=2，
在△CDP中，有cs∠DCP=CP2+CD2−PD22CP⋅CD=CP2+4−14CP=2 55，解得CP= 5，
故CD 2+DP2=PC2，则有CD⊥DP，
因为AD∩DP=D，直线AD，DP⊂平面ADP，
所以CD⊥平面PAD，
取AD中点F，连接PF，取BC中点H，连接FH，则FH⊥AD，
因为PF⊂平面PAD，
所以CD⊥PF，
必有PF⊥AD，
因为CD，AD⊂平面ABCD，CD∩AD=D，
所以PF⊥平面ABCD，
则有FA⊥FH，FA⊥FP，FA⊥FH，
以F为坐标原点，FA，FH，FP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图：
B(12,1,0),P(0,0, 32),C(−12,2,0),M(−14,1, 34),D(−12,0,0)，
设平面PDB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅PB=(x,y,z)⋅(12,1,− 32)=12x+y− 32z=0m⋅PD=(x,y,z)⋅(−12,0,− 32)=−12x− 32z=0，
令z=1得x=− 3，y= 3，故平面PDB的法向量m=(− 3, 3,1)，
设直线BM与平面PDB所成角大小为θ，
则有sinθ=|cs
即直线BM与平面PDB所成角的正弦值为2 77．
【解析】(1)作出辅助线，得到四边形ABMN为平行四边形，故BM//AN，得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一得到结论；
(2)证明出AD⊥CD，由正切值求出余弦值，结合余弦定理求出CP= 5，由勾股定理逆定理得到CD⊥DP，得到线面垂直，进而证明出PF⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解线面角的正弦值．
本题考查直线与平面所成的角，涉及空间向量的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设公差d不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列，
可得a52=a2a14，即(1+4d)2=(1+d)(1+13d)，
解得d=2，an=2n−1(n∈N*),
an+12n=2n+12n，
前n项和Tn=3⋅12+5⋅(12)2+7⋅(12)3+…+(2n+1)⋅(12)n，
12Tn=3⋅(12)2+5⋅(12)3+7⋅(12)4+…+(2n+1)⋅(12)n+1，
两式相减可得12Tn=32+2[(12)2+(12)3+…+(12)n]−(2n+1)⋅(12)n+1，
=32+2⋅14(1−12n−1)1−12−(2n+1)⋅(12)n+1，
化简可得Tn=5−(2n+5)⋅(12)n(n∈N*)；
(2)cn=(2n+1)(2n+3)cs(n+1)π，
当n为奇数时，cs(n+1)π=1，
c1+c2+…+cn=3×5−5×7+7×9−9×11+…+(2n+1)(2n+3)
=3×5+4×(7+11+…+2n+1)
=15+4×(2n+8)(n−1)4=2n2+6n+7，
c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，即为2n2+6n+7≥tn2，
可得t≤7n2+6n+2=7(1n+37)2+57，则t≤2；
当n为偶数时，cs(n+1)π=−1，
c1+c2+…+cn=3×5−5×7+7×9−9×11+…−(2n+1)(2n+3)
=−4×(5+9+13+…+2n+1)
=−2n2−6n，
c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，即为−2n2−6n≥tn2，
可得t≤−2−6n，由−2−6n在n为偶数集递增，可得n=2取得最小值−5，
则t≤−5，
综上所述，t≤−5．
【解析】(1)由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差，进而得到an=2n−1，an+12n=2n+12n，再由数列的求和方法：错位相减法，即可得到所求和；
(2)求得cn=(2n+1)(2n+3)cs(n+1)π，讨论n为奇数和偶数，运用数列不等式恒成立思想，求得最值，解不等式即可得到所求范围．
，本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列不等式恒成立问题，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)∵椭圆方程为x28+y24=1，
∴a1=2 2，b1=2，c1= 8−4=2，离心率e=c1a1=22 2= 22，
在椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)中，e=ca= a2−b2a= 1−b2a2，
∴ 1−b2a2= 22，化简得a2=2b2，
∵P( 22,1)在椭圆C：x2b2+y2a2=1(a>b>0)上，
∴12b2+1a2=1，∴12b2+12b2=1，
∴b2=1，a2=2，
∴椭圆C：x2+y22=1；
(2)当直线l的斜率为0时，线段AB是椭圆的短轴，
以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=13，代入x2+y22=1，得y=±43，
以AB为直径的圆的方程为(x−13)2+y2=169，
令y=0，可得x=−1，
由此猜想存在T(−1,0)，使得以AB为直径的圆是经过定点T(−1,0)，
证明如下：
当直线l的斜率不为0且斜率存在时，设直线l：x=my+13，
联立x=my+13x2+y22=1，消去x并整理得：
(m2+12)y2+23my−89=0，Δ=49m2+4(m2+12)⋅89>0，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则y1+y2=−2m3(m2+12)，y1y2=−89(m2+12)，
∴x1+x2=my1+13+my2+13=m(y1+y2)+23=−2m23(m2+12)+23，
x1x2=(my1+13)(my2+13)=m2y1y2+13m(y1+y2)+19
=−8m29(m2+12)−2m29(m2+12)+19=−10m29(m2+12)+19，
∵TA⋅TB=(x1+1,y1)⋅(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x1x2+x1+x2+1+y1y2
=−10m29(m2+12)+19−2m23(m2+12)+23+1−89(m2+12)
=−16m2+89(m2+12)+169=0，
∴TA⊥TB，∴点T(−1,0)在以AB为直径的圆上，
综合可得：以AB为直径的圆是经过定点T(−1,0)．
【解析】(1)先求出椭圆x28+y24=1的离心率为 22，由此得到a2=2b2，将点P的坐标代入椭圆C，得到12b2+1a2=1，再代入a2=2b2，解得b2=1，a2=2，则可得结果；
(2)先用两个特殊圆求出交点(−1,0)，再猜想以AB为直径的圆经过定点T(−1,0)，再证明猜想，设直线l：x=my+13，并与x2+y22=1联立，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，进一步得到x1+x2，x1x2，利用y1+y2，y1y2，x1+x2，x1x2证明TA⋅TB=0即可．
本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆过的定点的探究与证明，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，属难题．
21.【答案】解：(1)f(x)=lnx−a2x2−ax+a−1的定义域为(0,+∞)，
当a=0时，f(x)=lnx−1在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f′(x)=1x−2a2x−a=−(ax+1)(2ax−1)x，
由f′(x)>0，得0
当a<0时，f′(x)=−(ax+1)(2ax−1)x，
由f′(x)>0，得0
综上所述：当a=0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(0,−1a)上单调递增，f(x)在(−1a,+∞)上单调递减．
(2)f(x+1)+a2(x+1)2+exx+1≥0，即ln(x+1)−ax−1+exx+1≥0，
设g(x)=ln(x+1)−ax−1+exx+1(x≥0)，
当a≤1时，g(x)≥ln(x+1)−x−1+exx+1，
设h(x)=ln(x+1)−x−1+exx+1(x≥0)，
则h′(x)=1x+1−1+xex(x+1)2=−xx+1+xex(x+1)2=x(x+1)2(ex−x−1)，
设u(x)=ex−x−1(x≥0)，则u′(x)=ex−1≥0，则u(x)在[0,+∞)上单调递增，
又u(0)=0，∴u(x)≥0恒成立，即ex−x−1≥0，
又x(x+1)2≥0，∴h′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，从而h(x)在[0,+∞)上单调递增，
∵h(0)=0，∴h(x)≥0，
又g(x)≥h(x)，g(x)≥0，满足题意；
当a>1时，g′(x)=1x+1−a+xex(x+1)2，
g″(x)=−1(x+1)2+(x+1)3ex−2(x2+x)ex(x+1)4=(x2+1)ex−x−1(x+1)3，
当x≥0时，(x2+1)ex−x−1≥ex−x−1≥0，则g″(x)≥0恒成立，
故g′(x)在[0,+∞)上单调递增．
设φ(x)=2ex(x+1)2(x>1)，则φ′(x)=2(x−1)ex(x+1)3>0，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增，
又φ(1)=2e4>1，∴φ(x)>1恒成立，即2ex(x+1)2>1，从而ex(x+1)2>12，
∴当x>2a时，必有g′(x)=1x+1−a+xex(x+1)2>−a+x2>0，
又g′(0)=1−a<0，∴g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点x0，且当x∈[0,x0)时，g′(x)<0，
从而g(x)在[0,x0)上单调递减，结合g(0)=0知，当x∈(0,x0)时，g(x)<0，
∴g(x)≥0在[0,+∞)上不能恒成立，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)当a=0时，直接得到原函数的单调性，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a>0和a<0求解原函数的单调区间．
(2)问题转化为ln(x+1)−ax−1+exx+1≥0，设g(x)=ln(x+1)−ax−1+exx+1(x≥0)，当a≤1时，利用放缩法结合导数即可证明g(x)≥0，满足题意；当a>1时，利用二次求导可得g′(x)在(0,+∞)上有唯一的零点x0，且g(x)在[0,x0)上单调递减，结合g(0)=0，说明g(x)≥0在[0,+∞)上不能恒成立，不合题意，由此可得实数a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，综合性强，难度大．
22.【答案】解：(Ⅰ)直线l的方程是y=2，转换为极坐标方程为ρsinθ=2，
曲线C的参数方程是x=2csφy= 2sinφ(φ为参数).转换为直角坐标方程为x24+y22=1，转换为极坐标方程为ρ=2 1+sin2θ．
(Ⅱ)点A(ρ1,α)是曲线C上一点，
所以：ρ1=2 1+sin2α，所以1ρ12=3−cs2α8，
点B(ρ2,α+π4)是直线l上一点，
所以ρ2sin(α+π4)=2，所以1ρ22=sin2(α+π4)4=1−cs(2α+π2)24=1+sin2α8，
1|OA|2+1|OB|2=3−cs2α8+1+sin2α8=12+ 28sin(2α−π4)，当α=3π8时，最大值为12+ 28．
【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(Ⅱ)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】证明：(1)因为|a+b−12|+|c+1|≥|a+b−12+c+1|=|a+b+c+12|，
当且仅当(a+b−12)(c+1)≥0时取等号，
又因为a+b+c=3，
所以|a+b−12|+|c+1|≥|3+12|=72．
(2)因为a，b，c为正实数，a+b+c=3，由三元基本不等式知，(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2)=3(bca+acb+abc)
=32[(bca+acb)+(abc+bca)+(acb+abc)]≥32[2 bca⋅acb+2 abc⋅bca+2 acb⋅abc]=32(2c+2b+2a)=9，
当且仅当a=b=c=1时取等号，
所以(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥9．
【解析】(1)利用绝对三角不等式即可证明结论；
(2)利用三元基本不等式(a3+b3+c3)≥3abc和基本不等式即可证明结论．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐
M品种蜜蜂
40
20
N品种蜜蜂
50
10
P(K2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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