2024年江西省南昌市高考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省南昌市高考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b=(−2,3)，则a⋅b=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.设复数z满足z+1=(2+i)z，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
3.已知集合A={x|lnx≤0}，B={x|2x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知f(x)=−x2−2x,x0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的右支上有一点A，AF1与双曲线的左支交于B，线段AF2的中点为M，且满足BM⊥AF2，若∠F1AF2=π3，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 5C. 6D. 7
8.校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥P−ABC的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面P1AB，P2BC，P3AC，使得平面P1AB，P1BC，P3AC均与平面ABC垂直，再将球O放到上面使得P1，P2，P3三个点在球O的表面上，若奖杯的总高度为6 2，且AB=4，则球O的表面积为( )
A. 140π3
B. 100π9
C. 98π9
D. 32π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：
甲校样本
乙校样本
则下列判断中正确的是( )
(参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d
A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C. 根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D. 根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
10.已知f(x)=x+acsx(a≠0)，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)在R上可能单调递减
B. 若f(x)在R上单调递增，则a∈[−1,0)∪(0,1]
C. (π2,π2)是f(x)的一个对称中心
D. f(x)所有的对称中心在同一条直线上
11.已知|AB|=4，M为AB上一点，且满足AM=3MB.动点C满足|AC|=2|CM|，D为线段BC上一点，满足|CD|=|DM|，则下列说法中正确的是( )
A. 若CM⊥AB，则D为线段BC的中点
B. 当AC=3时，△ABC的面积为 154
C. 点D到A，B距离之和的最大值为5
D. ∠MCB的正切值的最大值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=2bcsA，则tanA= ______．
13.一次知识竞赛中，共有A，B，C，D，E5个题，参赛人每次从中抽出一个题回答(抽后不放回).已知参赛人甲A题答对的概率为34，B题答对的概率为14，C，D，E题答对的概率均为12，则甲前3个题全答对的概率为______．
14.如图，有一张较大的矩形纸片ABCD，O，O1分别为AB，CD的中点，点P在OO1上，|OP|=2.将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)经过P点，记AB上与P点重合的点为M，折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m，并与折痕l交于点Q，按上述方法多次折叠，Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N，则△PQN的面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+an+2=kan+1．
(1)当k=2时，求S10；
(2)若k=52，设bn=an+1−2an，求{bn}的通项公式．
16.(本小题15分)
一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1000,52).
(1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995,1000]和(1005,1010]内各一只的概率；(精确到0.001)
(2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ,σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N(μ,σ2n).某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013(单位：Ω).你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．
(参考数据：若X～N(μ,σ2)则P(μ−σ0,a>0且a≠1)．
(1)当a=e时，求证：f(x)在(e,+∞)上单调递增；
(2)设a>e，已知∀x∈[e22lna,+∞)，有不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆O的直径，AB=2BC=2，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为45°，图一中，点P是椭圆上的动点，点P在底面上的投影为点P1，图二中，椭圆上的点Ei(i=1,2,3,⋯,n)在底面上的投影分别为Fi，且Fi均在直径AB的同一侧．
(1)当∠AOP1=2π3时，求PP1的长度；
(2)(i)当n=6时，若图二中，点F1，F2，…，F6将半圆A均分成7等份，求(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)；
(ii)证明：AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+…+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BCxe−1，即f′(x)>0，进而证得f(x)在(e,+∞)上单调递增；
(2)由题意可得∀x∈[e22lna,+∞),lnxx≤lnaa恒成立，设h(x)=lnxx，求导可得h(x)在(e,+∞)单调递减，进而求出实数a的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)如图，取CD中点M，过M作与该斜截圆柱的底面平行的平面，
交DA于点G，交BC延长线于点H，与PP1交于点I，则DG=1，
AG=2，过M作GH的垂线，交圆M于J、K两点．过I作IN⊥JK交JK于点N，

又由PI⊥圆M，IN为PN在圆M所在平面的射影，由三垂线定理知PN⊥JK，
∴∠PNI为椭圆面与圆M所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
∴∠PNI=45°，则△PNI为等腰直角三角形，PI=IN．
设∠AOP1=θ，如图作圆M所在平面的俯视图，则∠GMI=θ，
∵GH⊥JK，IN⊥JK，∴GH//IN，则有∠NIM=∠GMI=θ，
∴IN=MIcsθ=csθ，
∴PP1=IP1+PI=IP1+IN=2+csθ，
∴当θ=2π3时，PP1的长度为：PP1=2+cs2π3=32；
(2)(i)当n=6时，图二中，点F1，F2，…，F6将半圆A均分成7等份，
n=6时，θ=πn+1=π7，
∴E1F1=2+csπ7，
E2F2=2+cs2π7，
E3F3=2+cs3π7，
∴(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)=csπ7cs2π7cs3π7，
∴sin2π72sinπ7×sin4π72sin2π7×sin6π72sin3π7=sin2π72sinπ7×sin3π72sin2π7×sinπ72sin3π7=18，
故(E1F1−2)⋅(E2F2−2)⋅(E3F3−2)=18；
(ii)证明：由(1)知PP1=2+csθ，也即PP1是关于θ的函数，
也即将斜截圆柱的侧面沿着AD展开，其椭圆面的轮廓线即为函数y=2+csx的图象，
现将E1F1，E2F2，…，EnFn，BC绘制于函数y=2+csx图象上，
并以EiFi，Fi−1Fi为边作矩形，则矩形的面积即为Fi−1Fi⋅EiFi，
∴AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+⋯+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC即为这些矩形的面积之和．
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
∴该斜截圆柱的侧面积为12×2π×4=4π
∴函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积为12×4π=2π，
∵无论点Fi(i=1,2,3,…,n−1)是否均匀分布在半圆弧AB上，
这些矩形的面积之和都小于函数y=2+csx(0≤x≤π)与坐标轴围成的面积．
∴AF1⋅E1F1+F1F2⋅E2F2+…+Fn−1Fn⋅EnFn+FnB⋅BC