云南省德宏州2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，
所以，所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】、是非奇非偶函数，不符合题意.
是奇函数，在区间上单调递增，不符合题意.
是奇函数，在区间上单调递减，符合题意.
故选：D
3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得，从而求得正确答案.
【详解】根据题意，，
，，
.
故选：C.
4. 已知，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性求出的范围，从而判断大小.
【详解】由在上单调递增，又，所以，
由在R上单调递减，又，所以，
由是上的减函数，又，所以.
所以.
故选：A.
5. 若函数，则（ ）
A. B.
C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数求函数值可得结果.
【详解】因为，
故选：C.
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
而，所以，
所以，
所以
.
故选：B
7. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C.
D. 的图象在区间上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可.
【详解】A：，显然不是最值，所以本选项不正确；
B：，显然的图象不关于点对称，所以本选项不正确；
C：，由A可知，本选项正确；
D：，显然不是的子集，因此本选项不正确，
故选：C
8. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）（结果取整数，参考数据：）

A. 4平方米B. 5平方米
C. 8平方米D. 9平方米
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧田面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，圆弧所对圆心角为，
所以，“矢”等于，
“弦”等于，
所以弧田面积约为平方米.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，若，，则，
则，所以B选项正确.
C选项，若，则，
所以，所以C选项正确.
D选项，若，，如，
则，所以D选项错误.
故选：BC
10. 下列化简结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角恒等变换有关公式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：ABC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象与直线最多有一个交点
B. 与是两个不同的函数
C. 若幂函数在上单调递增，则实数
D. 函数的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义、幂函数的单调性、对数函数的值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A，根据函数的定义知，对定义域内任一个，有且只有唯一确定与其对应，所以A正确.
B，根据函数的定义知，和的定义域、对应关系、值域相同，所以是相同的函数，所以B错误.
C，是幂函数，所以，解得或，
当时，在上单调递增，符合；当时，在上单调递减，不符合.
所以的值为，所以C正确.
D，由于函数的开口向上，判别式，
所以函数的值域为，D正确.
故选：ACD
12. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（ ）
A
B. 若，
C. 若，则
D. ，，使得
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称，
所以关于直线对称.
，，且时，都有，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
，由此画出的大致图象如下图所示，
所以，A选项错误.
若，则，B选项错误.
若，则，即，
所以或，所以，C选项正确.
由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知：
，，使得，D选项正确.
故选：CD
【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是________________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定的知识写出正确答案.
【详解】命题“，”是存在量词命题，
其否定是：，
故答案为：，
14. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算性质进行求解即可.
【详解】当时，，所以P的坐标为，
故答案为：
15. 函数的递减区间是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的定义域，令，分别求出，在定义域上的单调性，再由复合函数的单调性即可求出答案.
【详解】要使函数有意义，则，即或，
设，则当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减．
∵函数在定义域上为单调递增函数，
∴根据复合函数的单调性之间的关系可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的递减区间为.
故答案为:.
16. 已知直线，点是之间的一个定点，并且点到的距离分别为．点是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点．过点作，垂足为．设，已知的面积是关于角的函数，记为，则的最小值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角形的有关知识求得的表达式，再根据三角函数的知识求得的最小值.
【详解】过点作，垂足，
由于，，，所以，
所以，
所以，
依题意可知，所以，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：
【点睛】求得三角函数最值、值域有关问题，可以先将需要求解最值的表达式进行化简，需要用到三角恒等变换的有关公式，转化为一个角、次数为，形如的形式，再由此来求得三角函数的最值或值域.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数式与对数式的运算性质，计算即可得出答案；
（2）由同角三角函数的平方关系与商数关系可求出与的值，再由二倍角公式即可求出的答案.
【小问1详解】
原式=
【小问2详解】
由，得，又，
因为，解得，，
∴
18. 设集合，集合或．
（1）当时，求，；
（2）设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，；
所以，或．
【小问2详解】
若是的充分不必要条件，则是的真子集；
∴或，解得：或，
所以，实数的取值范围是．
19. 已知．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解.
（2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解.
【小问1详解】
∵ 恒成立，
∴ 对恒成立，
故，化简得，解得，
故实数的取值范围.
【小问2详解】
，即；
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为.
20. 已知定义在上偶函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式.
（2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【小问1详解】
∵ 是定义在上的偶函数，
∴ ，，即，
又，即 ，解得，
所以，经检验符合题意．
【小问2详解】
由（1）知：，∴在上为单调递减函数，
因为，即，
又∵为偶函数，可得，
综上可得：， 解得或，
所以不等式的解集为．
21. 函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围，并求的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【小问1详解】
由图可知，，
∵ ， ∴ ， ，
又， ∴ ，，
解得 ，，由可得，
∴．
【小问2详解】
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则当时，；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴ ，∴，
∴ .
22. 已知函数对一切实数，都有成立，且，其中．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）令，，求得，再令，求得，即可得解；
（2）令，可得则，方程可化，由题意可得方程有两个不等实根，作出函数的图象，进而可得出答案.
【小问1详解】
∵，
令，，得，
又，所以，
在中，
令，得，
∴，
所以且；
【小问2详解】
令，可得则，
函数的图象如图：
方程可化为，
即，
因为方程有三个不同的实数解，
由函数的图象可知，方程有两个不等实根，
不妨设，则，，令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.