云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 总分：150分
出卷人：葛丽仙 审题人：杨中兰
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：C
2. 已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（ ）
A. 6B.
C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积公式结合得出答案.
【详解】∵向量，，与的夹角为，
∴，
∴.
故选：A.
3. 在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．
【详解】在中，，则或，
∴在中，“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简可得，再根据求解即可.
【详解】由题意，即，即.
故.
故选：A
5. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为.
故选：C
6. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.
【详解】在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
7. 已知满足，则下列各选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性分别判断的范围，从而得出答案.
【详解】因为为上的增函数，所以；
因为为上增函数，且，所以；
满足，所以，又，所以，又因为为的增函数，所以，
综上：．
故选：B．
8. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得，，然后可得，进而根据求出和的值即可.
【详解】因为函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以
在中
令，可得，即
令，可得，即
令，可得，即
又，所以，则
所以
故选：A
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A.
B. 若且，则
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，
对于B，当与都和垂直时，与方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，
可得即可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；
故选:AC.
【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】由图可得：，
又，
，又，
，
将代入得，
即，，
即，，
，
对于A，最小正周期，故正确；
对于B，令，，解得，，
可得单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；
对于D，，
令，所以，
故最小值为，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，所以，
又因为，
所以由得，故，
因为在上是减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，则_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理和大边对大角原理，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】利用正弦定理得，
所以，
解得，
而，
根据大边对大角有，
又因为，
所以，
故答案为：.
13. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量的坐标表示计算作答.
【详解】因，，则，
又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，
所以.
故答案为：6
14. 设函数的定义域是，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，，都有；③.则函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意可设，
则由可得，
由于对任意的，，，
所以
当且仅当时成立.
则，所以关于对称.
所以，
由可得.
结合对称性可知恒成立，所以是常数函数，
由于，所以，
的定义域为，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果.
（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可.
【小问1详解】
当时，集合，可得或，
所以；
【小问2详解】
由题知，集合A是集合B的真子集，
当时，，即，符合题意，
当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为．
16. （1）已知向量，若，求.
（2）已知，的夹角为60°，若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，由向量平行的坐标公式求解即可；
（2）由题设得，由向量数量积的运算律和数量积的定义求解即可.
【详解】（1），由可得，
解得，则，，；
（2）由可得，化简得，
即，化简得，解得.
17. 已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.
（1）求角；
（2）若为角的平分线，点在上，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用正弦定理或余弦定理实现边角互化，从而求角的大小；
（2）用余弦定理结合三角形面积公式求解.
【详解】选①：由，
得，
因为，则sinB>0，
可得，
所以.
选②：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
选③：由得
则
即，
且，可知，则，
解得，即，
，故.
（2）由，得，
即.
由余弦定理得，所以.
解得（舍去）或，所以.
18. 已知函数
（1）求的最小值和单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）最小值为，递增区间位，
（2）
【解析】
【分析】由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出的取值范围．
【小问1详解】
函数
，
的最小值为．
令，，
求得，，
可得的单调递增区间为，．
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
得到函数的图象．
若函数在上有且仅有两个零点，
即在上有且仅有两个解．
而，则，求得．
故的取值范围为
19. 已知函数，记.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；
(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；
(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.
小问1详解】
由题意知
要使有意义，则有
，得
所以函数的定义域为：
【小问2详解】
由(1)知函数F(x)定义域为：，关于原点对称，
函数为上的奇函数.
【小问3详解】
，
假设存在这样的实数，则由
可知
令，则在上递减，在上递减，
是方程，即有两个在上的实数解
问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解
令，则有
，
解得，又，∴
故这样的实数不存在.