云南省玉溪市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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总分150分，考试时间120分钟
命题人：金志文 审题人：邓永梅
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0，导数为0不一定有极值判断即可.
【详解】若函数在处有极值，则一定有；
反之，若，函数在处不一定有极值，
如在处满足，但在处无极值，
所以“”是“函数 在处有极值”的必要不充分条件．
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根据特殊元素与集合的关系作答.
【详解】A. 为偶数，故，故
B. ，故B错
C. ，故错
D. ,故D错
故选：A
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误.
故选：C.
4. 已知为等比数列，若，则（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中项的性质求解即可.
【详解】，
，
，
，
.
故选：B
5. 设，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
借助中间量进行大小比较即可.
【详解】解：因为函数在定义域上单调递增，故，即：，
因为函数在上单调递减，故，即：，
因为函数在上单调递增，故，则.
故选：B
6. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程直接写出焦点坐标.
【详解】根据已知，，
所以焦点坐标为.
故选：A
7. 已知向量，向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．
【详解】解：向量，，，向量，1，，
若，设
则有，则，则有，，
则，
故选：．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C相交于A，B两点，若四边形是矩形，则双曲线C的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立直线与C的方程组，求出弦AB长，由|AB|=|F1F2|求解即得.
【详解】显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，四边形是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，
设点，而
由得，解得，
则，而|F1F2|=2c，，
所以化简得，即，，
解得，双曲线C的离心率e有.
故选：D
【点睛】关键点睛：求椭圆或双曲线离心率，建立a，b，c的齐次关系是解决问题的关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）

A. 有7个面B. 有13条棱
C. 有7个顶点D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征以及面面平行的判定定理即可得解.
【详解】对于A，由图可知，有面，面，面，面，面，
面，面共7个，故A正确；
对于C，有顶点共8个，故C错误；
对于B，有棱，共13条棱，故B正确；
对于D，取中点，连接，，则可得，，

因为，则为中点，且为中点，
则，即，且平面，平面，
所以平面，
又为中点，所以，且平面，
平面，所以平面，
且，平面，所以平面平面，故D正确；
故选：ABD
10. 已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. 在数列中，最大
B. 在数列中，或最大
C.
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件推得数列公差，故最大，A项正确，B项错误；对与作差，化简，通过举特例否定恒成立；根据推得，将通项表达式放大，由题设分析即得.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，又由 可得：，即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误；
对于C项，由，由A项可知故，故C项正确；
对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确.
故选：ACD.
11. 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【详解】设，最大正方形的边长为1，
小正方形的边长分别为．∵，
，
，
，，
所以C正确；
，
所以，所以B正确，
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线过点，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
13. 已知，，，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案.
【详解】
根据诱导公式得：
由正切函数的和差公式，且，上式可计算得：
故答案为：.
14. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解.
【详解】因为，则，
对于函数，所以，显然不是函数的零点，
当时函数恰好有两个零点，
所以方程有两个根，
令，
则函数与函数的图象有两个交点，
当时，，则，
所以当时，，函数在上为增函数，
当时，，函数在上为减函数，又，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数的图象如下：
当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，
所以.
故答案为：.
三、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在中，三边所对的角分别为，已知．
（1）求；
（2）若外接圆的直径为4，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】利用三角恒等变换和余弦展开式再结合特殊三角函数值可得；
利用正弦定理，余弦定理，三角形面积公式解出即可.
【小问1详解】
因为，
因为．
所以，
又，则，因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理，，则，
由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面积．
16. 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点.

（1）若，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：平面OHB；
（2）若，求二面角余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，可得，根据平面，可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以O原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为PO为圆锥的高，所以平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，又平面，所以，
又因平面，所以平面；
【小问2详解】
如图，以O原点，建立空间直角坐标系，

得，
所以.
设平面PAB的一个法向量为，
则，则可取，
因轴垂直平面，
则可取平面POA的一个法向量为，
则，
故所求二面角的余弦值为.
17. 已知是等差数列前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意，求的最小整数值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；
（2）根据错位相减法求出和，即可得解.
【小问1详解】
设的公差为，因为，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
令，
所以，
两式相减得，
所以．
因为，所以，
所以，故的最小整数值为1．
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，分离参数，然后构造函数，求导可得，转化为最值问题，即可得到结果.
【小问1详解】
定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，
综上所述，当时，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【小问2详解】
恒成立，
所以恒成立，设，
则，
设，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，所以当时，恒成立，
当时，递增，当时，递减，
所以，
由恒成立得，
所以的取值范围为.
19. 已知椭圆的右焦点为，且经过点，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质和将已知点代入列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简，从而证得结论成立.
【小问1详解】
由题意得，解得，
故椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）知，，
设，直线的方程为，
由消去得，
，
则，
直线的方程为，
由，得，
同理，
则
，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
+
单调递减
单调递增