佛山市顺德区华侨中学2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份佛山市顺德区华侨中学2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，，则( )
A.B.C.D.
3．已知，分别是关于x的方程，的根，则下面为定值2023的是( )
A.B.C.D.
4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是( )
A.B.C.D.
5．以下不满足的角是( )
A.B.C.D.
6．已知，为双曲线(，)的两个焦点，P为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.3
7．设等差数列，的前n项和分别为，，若对任意正整数n都有，则( )
A.B.C.D.
8．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为( )
A.50B.60C.70D.80
9．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段上的点，且，点P在线段上，则点P到直线距离的最小值为( )
A.B.C.D.
10．已知，则a被10除所得的余数为( )
A.9B.3C.1D.0
11．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )
A.B.C.D.
12．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1B.C.D.
13．已知圆：()与双曲线：(，)，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
14．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是( )
A.B.C.D.
15．已知函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上是减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
二、解答题
16．已知函数.
(1)当时，求函数在上的取值范围；
(2)当时，求函数在上的最大值.
17．设数列满足，.
(1)计算，，，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和.
18．已知双曲线，的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为l，过点作直线(不与y轴重合)与双曲线C相交于A，B两点，过点A作直线的垂线，E为垂足.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)是否存在实数t，使得直线过定点P，若存在，求t的值及定点P的坐标；若不存在，说明理由.
19．一般地，任何一个复数(，)都可以表示成形式，其中，r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，(，)叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求(结果表示代数形式).
20．已知关于x的不等式的解集为.
(1)求a，b的值；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，所以，所以，
又因为，所以.
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意知，，，，
因为，，
所以由换底公式可得，，
又因为()，
所以，
所以由换底公式可得.
故选：D.
3．答案：C
解析：由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点，，
则点A，B关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意知，()
又因为为偶函数，所以关于y轴对称.
所以，，解得，，
又，所以当时，取得最小值为.
故选：A.
5．答案：D
解析：对于A项，，故A项正确；
对于B项，令，则，所以，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项不成立.
故选：D.
6．答案：A
解析：如图，
设，，，
则(当且仅当P在顶点时取等号)，
所以，即，
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题意知，这个小球在这次运动中第n次反弹着地后所经过的总路程为，
假设这个小球能无限次反弹，
所以这个小球在这次运动中所经过的总路程为.
故选：C.
9．答案：C
解析：在上取点，使，连接、，过点D作于点G，
由，故，又平面，平面，
故平面，由平面，平面，故，
故，又，，、平面，
故平面，故到平面的距离为，
又P在线段上，故点P到直线距离的最小值为，
由，故，则，
故.
故选：C.
10．答案：C
解析：，
由，
故a被10除所得的余数为1.
故选：C.
11．答案：B
解析：在一次所谓“算卦”中得到六爻，
基本事件的总数为，
这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，
所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.
故选：B.
12．答案：B
解析：圆可化为，即圆心为，半径为，
故圆心到点的距离为，
则，由，故，
故.
故选：B.
13．答案：B
解析：由，故，则，
即双曲线与圆有交点，
即，即，即，
即双曲线的离心率的取值范围是.
故选：B.
14．答案：A
解析：当点P在上时，，
当点P在上时，
，
当点P在上时，，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
15．答案：B
解析：，
对于①，因为，则的最小正周期，故①错误；
对于②，由函数解析式可知，满足，时单调递减，
解得，，当时，单调递减区间为，故②正确；
对于③，由函数解析式可知，对称轴满足，，
解得，，所以当时，对称轴为，故③正确；
对于④，函数的图象向左平移个单位可得，故④错误.
故正确结论的个数是个.
故选：B.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，
对称轴为直线，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，，
函数在区间上的取值范围是；
(2)当时，，
对称轴为直线，
当时，函数在上的最大值；
当时，函数在上的最大值；
函数在上的最大值.
17．答案：(1)，，，猜想，证明见解析
(2)
解析：(1)由，得：；；；
由此可猜想，证明如下：
当时，，即成立；
假设当时，成立，
那么当时，，即成立；
综上所述：当时，.
(2)由(1)得：，
，，
两式作差得：，
.
18．答案：(1)
(2)存在实数，使得直线过定点
解析：(1)焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得
所以双曲线方程为；
(2)假设存在实数，使得直线过定点P,
设直线，，，则.
联立，消y得
则，.
直线，令得:
又，
当即时，为定值
所以存在实数，使得直线过定点.
19．答案：(1)图象见解析，
(2)
解析：(1)因为对应的点在第四象限，
所以z对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)因为，
所以
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得，3是方程的两根，
则，即有.
(2)由得，
由约束条件画出可行域，如图所示，
在中，分别令，2得，3，
在中，分别令，2得，，
则不等式组所表示的平面区域的面积.