广东省2024届高三下学期高考模拟测试（二）数学试卷(含答案)

这是一份广东省2024届高三下学期高考模拟测试（二）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数z满足,z在复平面内对应的点为,则( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
3．在平行四边形中,点E满足,则( )
A.B.
C.D.
4．设等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.-5B.-7C.5D.7
5．在一堂数学实践探究课中,同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为,之后将小镜子前移,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为,已知人的眼睛距离地面的高度为,则钟楼的高度大约是( )
A.B.C.D.
6．函数的定义域为R,,若,,则的解集为( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐标系中,已知圆,若等腰直角的直角边为圆O的一条弦,且圆心O在外,点B在圆O外,则四边形的面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知球O与圆台的上、下底面和侧面均相切,且球O与圆台的体积之比为,则球O与圆台的表面积之比为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若y是样本数据,,,的平均数,则( )
A.,,,的极差等于,,,,y的极差
B.,,,的平均数等于,,,,y的平均数
C.,,,的中位数等于,,,,y的中位数
D.,,,的标准差大于,,,,y的标准差
10．下列函数中,是偶函数且在上单调递增的是( )
A.B.
C.D.
11．设O为坐标原点,抛物线的焦点为F,准线l与x轴的交点为,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,过点A,B分别作l的垂线,垂足分别为,,则下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．的展开式中的系数为________________（用数字作答）.
13．将一个直角三角板放置在桌面上方,如图,记直角三角板为,其中,,,记桌面为平面.若,且与平面所成的角为,则点A到平面的距离的最大值为________________.
四、双空题
14．如图,在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形,且满足与x轴平行,点A在x轴上.现将三角形沿x轴在平面直角坐标系内滚动,设顶点的轨迹方程是,则的最小正周期为________________;在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为______________.
五、解答题
15．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若A,B为双曲线C上的两点且不关于原点对称,直线过的中点,求直线的斜率.
16．如图,在直三棱柱中,点D是的中点,,.
(1)证明：平面;
(2)若,,求平面与平面的夹角的余弦值.
17．已知,.
(1)求的单调区间;
(2)函数的图象上是否存在两点,（其中）,使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在,请求出直线;若不存在,请说明理由.
18．已知正项数列,,满足（其中）.
(1)若,且,证明：数列和均为等比数列;
(2)若,,以,,c为三角形三边长构造序列（其中,,）,记外接圆的面积为,证明：;
(3)在（2）的条件下证明：数列是递减数列.
19．如图,在平面直角坐标系中有一个点阵,点阵中所有点的集合为,从集合M中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当时,求X的分布列.
(2)对给定的正整数.
（i）求随机变量X的所有可能取值的个数;（用含有n的式子表示）
（ii）求概率.（用含有的式子表示）
参考答案
1．答案：C
解析：由复数z满足,则,
由复数的几何意义可知,
复数z在复平面内对应的点与复数对应的点之间的距离为2.
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：由可得：,所以,
由可得：,所以,
所以.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为为平行四边形,
则由,
.
故选：B.
4．答案：A
解析：设等差数列的公差为d,
因为,
所以,
即,解得,
所以.
故选：A.
5．答案：D
解析：如下图,设钟楼的高度为,
由,可得：,
由,可得：,
故,
故,
故选：D.
6．答案：B
解析：构造函数,满足,,
则由可得,解得：.
故选：B.
7．答案：A
解析：如图所示,设,则,
故,
由余弦定理得,
故等腰直角三角形的面积为,
故四边形的面积为,
其中,,
其中,故,
则当时,取得最大值,最大值为.
故选：A
8．答案：D
解析：由题意,作出圆台的轴截面,
设圆台的上、下底面半径分别为,球的半径,
则,,过A作于点H,
由,得,化简得,
由球的体积公式,
圆台的体积公式,
已知球O与圆台的体积之比为,则,
化简得,
则,得,
又球的表面积,圆台的表面积,
所以,
故选：D.
9．答案：AB
解析：对于A,样本数据,,,的平均数为y,则,故,,,的极差等于,,,,y的极差,故A正确;
对于B,数据,,,,y的平均数,故B正确;
对于C,如果,,,是按从小到大排列,则,,,的中位数为,不一定等于,,,,y的中位数,故C错误;
对于D,,,,的方差,
而,,,,y的方差,
但当时两组数据的方差相等,其标准差也相等,故D错误.
故选：AB.
10．答案：AC
解析：对于A：,为偶函数,
当时,,,
的单调递减区间为,
的递增区间为,
而,
所以在上单调递增,故A正确;
对于B：,为偶函数,
当时,,,
的单调递增区间为,
的单调递减区间为,
而,
所以在上单调递减,故B错误;
对于C：,为偶函数,
当时,,
的单调递减区间为,
则的单调递增区间为,
而,
所以在上单调递增,故C正确;
对于D：,
所以为非奇非偶函数,故D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：由已知,,设过点F的直线方程为：,
设点,,则,,
由,得,
所以,,,,
,所以,故A正确,
,故B错误,
,
,故,C正确,
,
由选项C可知,
所以,
故,D正确;
故选：ACD.
12．答案：-5
解析：展开式的通项公式为,
故展开式中系数为,系数为,
故的展开式中的系数为,
故答案为：-5.
13．答案：
解析：如图,过B作,交于,过A作,交于,
因为在中,,,,
则,当A,B,,C四点共面时,点A到的距离最大.
因为,所以是BC与平面所成的角,则,则,
于是,,即A到的最大距离为.
故答案为：.
14．答案：3,
解析：设,
如图,当三角形沿x轴在平面直角坐标系内滚动时,
开始时,P先绕A旋转,当B旋转到时,P旋转到,此时,
然后再以为圆心旋转,旋转后P旋转到,此时,
当三角形再旋转时,P不旋转,此时A旋转到,
当三角形再旋转后,必以为圆心旋转,旋转后P旋转到,
点P从开始到时是一个周期,故的周期为,
如图,,为相邻两个零点,
在上的图像与x轴围成的图形的面积为：.
故答案为：3,.
15．答案：(1)
(2)1
解析：（1）椭圆的焦点为,故,
由双曲线的渐近线为,故,故,
故双曲线方程为：.
（2）设,,的中点为M,
因为M在直线,故,
而,,故,
故,
由题设可知的中点不为原点,故,所以,
故直线的斜率为1.
此时,
由可得,整理得到：,
当即或,
即当或时,直线存在且斜率为1.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）如图,记与的交点为点O,连接,,
因为三棱柱是直三棱柱,
所以.
因为,所以四边形是正方形,故.
因为,,
所以又因为D是的中点,
所以,
所以D.
因为四边形是正方形,所以点O是的中点,
所以.
又因为,平面,,
所以平面.
（2）因为,,所以.
如图,以点C为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,.
所以,,.
因为平面,所以平面的法向量为.
设平面的法向量为,
则即解得取,
得,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：(1)在上单调递减,在上单调递增.
(2)不存在,理由见解析
解析：（1）由题可得
因为,所以,
所以当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增.
综上,在上单调递减,在上单调递增.
（2）由题意得,斜率
,
,
由得,
,即,即
令,不妨设,则,
记
所以,所以在上是增函数,所以,
所以方程无解,则满足条件的两点A,B不存在.
18．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：（1）正项数列,满足,
两式相减可得：,
因为,所以,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
由,两式相加可得：,
即,因为,
所以,所以是以为首项,为公比的等比数列.
（2）因为,由（1）得是等比数列,
所以,即,
由（1）知,,
因为,所以,
所以为常值数列,故,
由
,
因为,所以等号不成立,
故,因为,所以,
所以,
由正弦定理得外接圆的直径,
所以,所以.
（3）由（1）可知,,
由（2）可知,,
解得：,
所以,
随着的增大而减小,又因为,
所以随着的增大而减小,所以是递减数列,
因为,所以是递增数列,所以是递减数列,
所以数列是递减数列.
19．答案：(1)答案见解析;
(2)答案见解析.
解析：（1）当时,集合M中共有9个点,
则X的所有可能取值为1,,2,,.
所以,
,
,
,
.
所以X的分布列为
（2）（i）由题意得,集合M中任取两个不同的点之间的不同距离的总数可以转化成边长为的正方形边界上任取两个不同的点之间的不同距离的个数的总和,
在边长为1的正方形中,有2个不同的距离,
在边长为2的正方形中,有3个不同的距离,
在边长为n的正方形中,有个不同的距离,
由各正方形大小不同,距离大小各不相同,
得X的所有可能取值的个数为.
（ii）由对立事件,不妨考虑的情况,
当时,取出的两点为边长为的正方形的顶点,
此时,这种正方形共有4个,每个正方形中距离等于的情形有2种,
所以,事件包含的样本点个数为
当时,不妨设,且,
由,得,
因为,所以,
所以,即,,,
当,即时,取出的两点为边长分别为n,的矩形的顶点,
此时,这种矩形共有6个,每个矩形中距离等于的情形有种,
所以,事件包含的样本点个数为
当,即时,取出的两点为边长分别为n,的矩形的顶点,
此时,这种矩形共有4个,每个矩形中距离等于的情形有2种,
所以,事件包含的样本点个数为
当,即时,取出的两点为边长为n的正方形的顶点,
此时,这种正方形共有1个,每个正方形中距离等于的情形有2种,
所以,事件包含的样本点个数为;
由题知样本空间包含的所有样本点的个数为,
所以由古典概型得,
所以由对立事件公式得.
X
1
2
P