贵州省黔西南州部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份贵州省黔西南州部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的分位数为( )
A.13B.13.5C.14D.16
2．双曲线的离心率为，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为( )
A.B.C.2D.4
3．记等差数列的前项和为，，，则( )
A.14B.72C.36D.60
4．如图所示的花盆为正四棱台，上口宽，下口宽，棱长，则该花盆的体积为( )
A.B.C.D.
5．设，，是三个互不重合的平面，m，l是两条不重合的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，，则D.若，，则
6．已知Q为圆上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则下列说法错误的是( )
A.轨迹E是一个半径为3的圆
B.圆C与轨迹E有两个交点
C.过点作圆C的切线，有两条切线，且两切点的距离为
D.点B为直线上的动点，则PB的最小值为
7．已知，，则( )
A.B.C.D.
8．已知，为奇函数，且，则( )
A.4047B.2C.D.3
9．设，，为复数，且，则下列说法正确的有( )
A.若，则B.若，则的最大值为2
C.若，则D.若，则
二、多项选择题
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线以为焦点，过的直线l交抛物线于，两点，下列说法正确的是( )
A.若，则
B.当时，直线l的倾斜角为
C.若，P为抛物线上一点，则的最小值为
D.的最小值为9
11．已知，则下列说法正确的是( )
A.若的最小正周期为，则的对称中心为，
B.若在区间上单调递增，则的取值范围为
C.若，则
D.若在区间上恰好有三个极值点，则的取值范围为
三、填空题
12．集合，集合，，则_____________.
13．2023年冬季，哈尔滨旅游业大兴，一商家制作各种各样的冰糖葫芦，现有橘子3瓣，猕猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将所有水果串在一串上，则不同的串法共有_____________种.
14．已知，若，均有不等式恒成立，则实数n的取值范围为_____________.
四、解答题
15．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔().简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，，且，若，求实数b的取值范围.
16．如图所示为直四棱柱，，，，，M，分别是线段，的中点.
(1)证明:平面；
(2)求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
17．已知函数.
(1)判断的单调性;
(2)证明:.
18．高一(1)班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率及守擂者组第1题后得分为0分的概率；
(2)设X为3题后守擂者的得分，求X的分布列与数学期望.
19．在平面直角坐标系中，已知曲线C的方程为，右顶点为E，倾斜角为的直线l过点，且与曲线C相交于A，B两点.
(1)当时，求三角形的面积；
(2)在x轴上是否存在定点M，使直线l与曲线C的左支有两个交点A，B的情况下，总有?如果存在，求出定点M;如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：将这组数据从小到大排列9，10，12，13，14，16，16，18，21，24，因为，而4是整数，所以这组数据的分位数为
故选：B.
2．答案：A
解析：由双曲线的离心率为，可得，
解得，所以，
又由双曲线的定义，可得双曲线上一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为.
故选：A.
3．答案：D
解析：由等差数列性质可知，可得；
设等差数列的公差为d，
可得，解得；
又.
故选：D.
4．答案：A
解析：如图，由题意，该棱台的上下底面的对角线长分别为，cm，
所以棱台的高为，
故棱台的体积为.
故选：A.
5．答案：C
解析：对于A，若，，则平面，可能平行，即A错误；
对于B，若，，则l可平行于，的交线，此时，相交，不一定平行，即B错误；
对于C，若，，，由线面垂直性质可得，即C正确；
对于D，若，，则或，即D错误；
故选：C.
6．答案：D
解析：对A，设，，
则由得，即，
又因为Q为圆上的动点，
所以满足，
即轨迹E是一个半径为3的圆，故A正确；
对B，因为圆心距，
所以圆C与轨迹E有两个交点，故B正确；
对C，由于，半径为3，
所以切线长为4，所以两切点的距离d满足，
即，故C正确；
对D，首先圆心到直线的距离为，则该直线与圆相离，
因为点B为直线上的动点，
则PB的最小值为，故D错误；
故选：D.
7．答案：A
解析：由题意知，，，
由，得，
整理，得，解得或，
又，则，所以.
所以
.
故选：A.
8．答案：C
解析：由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
因为，，可得，，
所以.
故选：C.
9．答案：B
解析：A选项，不妨设，满足，但，A错误；
B选项，设，则，即，
因为，解得，
则，
故的最大值为2，B正确；
C选项，设，则，而，
满足，但不满足，C错误；
D选项，，
当时，满足上式，故不一定等于0，即，可能不相等，D错误.
故选：B.
10．答案：AD
解析：A选项，由题意得，故抛物线方程为，
由抛物线定义得，A正确；
B选项，由于直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线，联立，得，
设，，则
由韦达定理得，，
故，，解得，，
故直线l的斜率为，倾斜角不为，B错误；
C选项，由题意得，准线方程为，过点P作⊥于点G，
由抛物线定义得，
故，
要想求得的最小值，则过点M作⊥于点Q，
故的最小值为，最小值为，C错误；
D选项，由题意得，
由于，故，
，
因为，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为9，D正确.
故选：AD.
11．答案：BD
解析：由题意知，.
A：若的最小正周期为，由，得，
所以，由，，得，，
所以的对称中心为，故A错误；
B：由，，得，，
即的单增区间为，，
又在上单调递增，所以，解得，，
取，则，即实数的取值范围为，故B正确；
C：若，则，即，
所以，故C错误；
D：由，得，又在上有3个极值点，
所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：由解得，所以，
由得，解得，所以，
因为，
所以，解得，
故答案为：.
13．答案：69300
解析：完成该事情分四步，第一步：从11个位置中选3个位置放橘子，串法有种，
第二步：从剩余的8个位置选2个位置放猕猴桃，串法有种；
第三步：从余下的6个位置选2个位置放香蕉，串法有种；
第四步：剩余的4个位置放草莓，串法有种；
所以现有橘子3瓣，猕猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将所有水果串在一串上，
则不同的串法共有种；
故答案为：69300.
14．答案：
解析：由题意知，，得
则，
令，则，即，得，
所以，，
又函数，在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，且，
所以，，单调递减，，，单调递增，
故，
因为，恒成立，即不等式在R上恒成立，
由，得，解得，
即实数n的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的不动点为，则，解得，
所以函数的不动点为.
(2)函数有两个不动点，，即方程，即有两个不等的实数根，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且时，，时，，
作出的大致图象如下：
所以，且的值随着b的值减小而增大，
当时，有，两式相减得，
解得，即，代入，解得，
所以此时，
所以满足题意的实数b的取值范围为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)，在线段存在点P使得平面，的值为
解析：(1)由，，知为正三角形，
又M为的中点，则.
又为的中点，则，
而，所以，
又，平面，
所以平面；
(2)由(1)知为正三角形，则，
在中，，有，所以，
易知，，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，故，
设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为.
假设在线段上存在点P，使得平面，令，
则，所以，
由平面，得，所以，
解得.此时，
所以，
即的值为.
17．答案：(1)在上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)易知函数的定义域为，
可得；
令，则，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以；
即在上恒成立，
因此在上单调递增；
(2)由(1)可知，即，
可得；
所以，
即可得
；
即.
18．答案：(1)，
(2)分布列见解析，
解析：(1)根据答题规则可知，若三人均答不出，则攻擂者组答不出每道题的概率；
则可知攻擂者组每道题答对的概率；
若守擂者组第1题后得分为0分，则第一题由攻擂者先答，
该题需答对或者该题答错由守擂者组再答题并答错，
易知守擂者组答出每道题的概率为，
因此；
(2)易知X的所有可能取值为0，1，2，3；
第一题守擂者组得一分的概率为，
抢答环节的题目守擂者组和攻擂者组抢到的概率均为，守擂者组每题得一分的概率为；
即可知前三题中第一题守擂者组得一分的概率为，第二、三题得一分的概率均为；
则，
，
，
，
因此X的分布列为
数学期望.
19．答案：(1)
(2)存在，证明见解析
解析：(1)由题意可知，曲线C为焦点在x轴的双曲线，
当直线l的倾斜角时，，
设，，其中，
联立解得，所以，，
又因为，所以，，.
(2)当直线l斜率不存在时，由双曲线的对称性可知x轴上的任意点M满足，
当直线l斜率存在时，设，
联立得，
因为直线l与曲线C的左支有两个交点A，B，
所以，解得或，
由x轴上的点M使可得x轴平分，，
假设在x轴上存在点，则，，
所以，即，
展开可得，
将，代入得，
因为，所以，即，
整理得，即，解得，
所以轴上存在定点，总有.
X
0
1
2
3
P