山西省浮山中学校2023-2024学年高一下学期周测数学试卷(含答案)

这是一份山西省浮山中学校2023-2024学年高一下学期周测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则( )
A.-8B.-4C.0D.4
2．梯形ABCD，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二侧画法画出的直观图的面积为( )
A.B.C.D.2
3．正四棱锥的高为3,体积为32,则其外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
4．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根,则( )
A.2B.3C.4D.5
5．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为( )N
A.10B.5C.D.
6．在中,若,则的形状是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
7．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知复数z满足，且在复平面内对应的点为.若，，则函数取最大值时在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是( )
A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形
二、多项选择题
9．已知平面向量,则下列说法正确的是( )
A.
B.在方向上的投影向量为
C.与共线的单位向量的坐标为
D.若向量与向量共线,则
10．在中，D，E分别是BC，AC的中点，则以下判断中正确的是( )
A.若O为AD中点，则
B.若O为AD中点，则
C.若O为的重心，则
D.若O为的外心，且，则
11．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B.当，时，
C.当，时，
D.当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
三、填空题
12．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则__________.
13．已知平面向量,,则向量在向量上的投影向量是___________.
14．郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建,是中国建筑独特的仿古联体双塔,小米同学为了测量二七塔的塔高PH,在塔底所在的水平面内取点A,测得塔顶的仰角为,前进130米后到达B点,测得塔顶的仰角为,再前进米后到达C点,测得塔顶的仰角为,则塔高_________米.(参考数据:,最终结果保留整数,即结果精确到1m)
四、解答题
15．如图,正方体的棱长为a,连接，，，，，得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥的表面积与正方体的表面积之比
(2)三棱锥的体积
16．已知向量，.
(1)若，求.
(2)若向量，，求与夹角的余弦值.
17．已知向量,函数.
(1)在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若,求A;
(2)在(1)条件下,,,求的面积.
18．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求的值;
(2)若,点M是AB的中点,且,求的面积.
19．如图,A,B是单位圆上的相异两定点(O为圆心),且.点C(与B不重合)为单位圆上的动点,线段AC交线段OB于点M.
(1)当,求的值;
(2)设,;
①用t来表示;
②已知的面积,记,求函数的值域.
参考答案
1．答案：A
解析：如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，
，
，故选A.
2．答案：A
解析：如图所示,梯形的高为1,面积为.
它的直观图的面积为.故选A.
3．答案：C
解析：令正四棱锥的底面棱长为a,
根据题意可得,解得.
设是正四棱锥的高,O是正四棱锥的外接球的球心,则O在上(或的延长线上),则有,设球的半径为r,因此,
显然(或者),
在正方形ABCD中,,
由勾股定理可知:,
因此该四棱锥的外接球的表面积为.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为是关于的实系数一元二次方程的一个根,
所以,整理得到:即,
故选:D.
5．答案：A
解析：如图所示，可得，，且，
所以，为等边三角形，
所以，即每根绳子的拉力大小为10N.
故选：A.
6．答案：D
解析：,
则,即或,
当时,
,即,
故,
所以或,即或,
故为等腰三角形或直角三角形,当时,
则,
综上所述,的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选:D.
7．答案：B
解析：如图，设点O为球心，点M为三角形ABC的中心，E为AC的中点，连接OB，DM，且DM过球心O，连接BE，且BE过点M，当平面ABC时，三棱锥的体积最大.
，.
又点M为三角形ABC的中心，，在中，，，三棱锥体积的最大值为.故选B.
8．答案：D
解析：，可设，
，
，当，即当，，即，时，取最大值，此时，，，，，，，该图形为等腰三角形.
9．答案：AD
解析：,则选项A正确；
在方向上的投影向量,则选项B错误；
与共线的单位向量为,即或,则选项C错误：
若向量与向量共线,则,
,可得解得,则选项D正确.
10．答案：ABD
解析：对于A，因为O为AD中点，所以，故A正确；
对于B，由O为AD中点，
则，故B正确；
对于C，由O为的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；
对于D，若点O为的外心，，则根据三角形外心的性质得，
故，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：对于复数，则，，而，所以A正确；
当，时，，所以B错误；
当，时，，则，所以C正确；
当，时，，n为偶数时，设，，，，所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时，为实数，选项D错误.故选AC.
12．答案：或
解析：因为,,由余弦定理,
所以,所以,
所以.
故答案为:.
13．答案：
解析：向量,.则，.
所以向量在向量上的投影向量为.
14．答案：63
解析：在中,,
在中,由正弦定理得:
,由于为锐角,故,
在中,,
故答案为:63.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由图可知,三棱锥为正四面体,且棱长为
所以三棱锥的表面积为
正方体D的表面积为
所以三棱锥的表面积与正方体D的表面积之比为2.三棱锥的底面的面积为
顶点到底面的距离为
所以三棱锥的体积为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，所以，.
由，可得，即，
解得，所以，故.
(2)依题意得
因为，所以，解得，
则，，
所以，
故与夹角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由向量,
函数,
得
.
,即,
因为,所以,
从而,解得.
(2)由余弦定理得,
则,则.所以,
所以的面积.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)
由正弦定理得:,
,则,,
不等于0,.
(2),,所以,
联立,,,
在中,由余弦定理得:①
在中,由余弦定理得:②
由①②式得:
故,,,
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),,
.
(2)①设,
则,
故,
由可得,,
即,
整理得;
②由,故,
则,
令,则,
故,
由双勾函数的性质知,在上是减函数,则,
则,故的值域为.