2024年河北省廊坊市安次区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷总分120分，考试时间120分钟．
2.答题前考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上．
3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4.考试结束，监考人员将答题卡收回．
卷I（选择题，38分）
一、选择题（本题1－6题，每小题3分，7－16题每题2分，共计38分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）
1. 计算，则○处运算符号是（ ）
A. ＋B. －C. ×D. ÷
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键；根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由选项可知：，只有B选项符合，所以其他选项不符合题意；
故选B．
2. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线B. 中线C. 高线D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
3. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方逐个计算即可．
【详解】A．，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除、完全平方公式、积的乘方，熟记运算法则是解题关键．
4. 某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（ ）方向上
A. 正北B. 正东C. 正西D. 正南
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走，以起点的位置为观测点，即可得出答案．
【详解】解：如图：
∴同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的正东方向上，
故选：B．
5. 如图1是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成如图2所示的几何体，则移动前后（ ）

A. 主视图改变，俯视图改变B. 主视图不变，俯视图改变
C. 主视图不变，俯视图不变D. 主视图改变，俯视图不变
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意，根据三视图的性质，分别得到将正方体变化前后的主视图和俯视图，依此即可得到答案．
【详解】正方体移走前的主视图每列正方形的个数，从左到右依次为1，2，1；正方体移走后的主视图每列正方形的个数，从左到右依次为1，2，1；不发生改变．
正方体移走前的俯视图每列正方形的个数，从左到右依次为3，1，1；正方体移走后的俯视图每列正方形的个数，从左到右依次为：2，1，2；发生改变．
故选：B．
6. 去年冬季以来，冰雪旅游火爆出圈，据大数据测算，今年春节假期，即2月10日至17日，哈尔滨市实现旅游总收入164.2亿元，创历史新高．其中164.2亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：164.2亿，
故选：D．
7. 平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），可能是（ ）
A. 7B. 5C. 3D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答．
【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，

在中，，即，
在中，，即，
所以
观察四个选项可知，只有选项C符合．
故选：C．
8. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
把除法转化成乘法，再约分即可．
【详解】解：
，
故选：C
9. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是（ ）

A. P点B. Q点C. M点D. N点
【答案】D
【解析】
【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，

∵以点为位似中心，点D是点A的对应点，
∴位似比为，
∴
∴则点B的对应点是N，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
10. 如图是甲、乙两位同学在参加体育中考前的5次体能测试成绩折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的平均成绩较低且稳定B. 乙的平均成绩较低且稳定
C. 甲的平均成绩较高且稳定D. 乙的平均成绩较高且稳定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况，解题关键是准确根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况．
【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，但是甲的成绩波动比乙的成绩波动小，计乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：A．
11. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12. 如图，在菱形中，、为菱形的对角线，，，点F为中点，则的长为（ ）
A. 10B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，掌握菱形对角线互相垂直是解题关键．根据菱形的性质，证明是等边三角形，得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出的长．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，点F为中点，
，
故选：B．
13. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧
D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
根据两人作图的过程即可对选项作出判断．
【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意；
琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：C．
14. 关于y的方程，下面解法完全正确的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键，利用一元二次方程的解法进行判断即可．
【详解】解：A、方程整理得：，故选项整理错误，计算错误；
B、要讨论是否等于零，漏解，故计算错误；
C、移项时，没有变号，故计算错误；
D、解答正确；
故选D．
15. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知如图，在中，，．
求证：
证明：如图，延长到点，使，连接．
又，即
（依据I）
，
（依据II）
是等边三角形（依据III）
（依据Ⅳ），
对于四个依据下列说法错误的是（ ）
A. 依据I：线段的垂直平分线的性质
B. 依据Ⅱ：勾股定理
C. 依据Ⅲ：有一个角是的等腰三角形是等边三角形
D. 依据IV：等边三角形的三条边都相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定和性质，垂直平分线，三角形内角和的性质，熟练掌握其性质和判定是解题的关键．
运用等腰三角形的判定和等边三角形的判定和性质，垂直平分线，三角形内角和的性质，即可解答．
【详解】、依据I为线段的垂直平分线的性质，即且平分，即为的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质可得，故该选项正确．
、依据Ⅱ为直角三角形两锐角互余，从而得出，故该选项错误．
、依据Ⅲ为一个角是的等腰三角形是等边三角形，因为，，所以可以的出是等边三角形，故该选项正确．
、依据IV为等边三角形的三条边都相等，因为是等边三角形，所以，故该选项正确．
故选．
16. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．
甲：无论取何值，都有．
乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ）
A. 只有丙说得错B. 只有乙说得错C. 只有甲说得对D. 甲、乙、丙说得都对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错．
【详解】解：抛物线开口向下，顶点为，
无论取何值，都有；故甲说得对；
将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，
点移动到点的最短路程为，故乙说得对；
，
当时，，
随着的增大而减小，
当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错．
故选：A．
卷Ⅱ非选择题
二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共10分，把答案写在答题卡的横线上．）
17. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算，解题的关键是能正确化简各数，
利用二次根式的性质进行化简后再合并
【详解】解：，
故答案为：
18. 如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C．
（1）__________；
（2）若C为的中点，则__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）把代入计算即可；
（2）先表示出C点坐标，再代入计算即可．
【详解】（1）把代入得，解得，
故答案为：；
（2）∵C为的中点，，，
∴，
∵在上，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握中点坐标公式是解题的关键．
19. 如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．

（1）若，则图1阴影部分的面积是__________；
（2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是，
故答案为：．
（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为，
∴，，即
∴（负值舍去）
∵，．
解得：
∵①
∴，
∴，
∴②
联立①②解得：（为负数舍去）或
∴，
图2阴影部分的面积是
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答题应写出文字说明或演算步骤）
20. 定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b=﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如2*1=﹣2+1=﹣．
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2）x≤2，
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题中定义求出所求式子的值即可；
（2）根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可．
试题解析：（1）根据题意得：4*5=﹣4+5=；
（2）根据题意得：﹣x+（x+2）≤4，
解得：x≤2，
在数轴上表示为：
．
21. 某中学对九年级100名学生进行了“是否喜欢打羽毛球”的问卷调查，得到下表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢打羽毛球的学生的概率为．
（1）请将上表补充完整；
（2）现有A，B，C，D4名喜欢打羽毛球的同学，其中2名男生2名女生，若从这4人中随机挑选2人参加比赛，请用列表法求出选中一男一女的概率；
（3）若将（2）中A，B，C，D4名同学分成两组参加比赛每组两人，请直接写出A与D在一组的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了概率以及列表法，熟练掌握列表法是解题的关键．
（1）根据喜欢打羽毛球的学生的概率是求出抽到喜欢打羽毛球的学生的人数，即可得到抽到喜欢打羽毛球的男生人数，不喜欢打羽毛球女生人数；
（2）根据列表法的基本步骤进行列表即可；
（3）根据题意，列举出所有可能结果，即可．
小问1详解】
解：根据题意得：抽到喜欢打羽毛球的学生的人数为人，
∴抽到喜欢打羽毛球的男生人数为人，不喜欢打羽毛球的人数为人，
∴不喜欢打羽毛球女生人数为人
补全表格如下：
【小问2详解】
解：由题意列表如下：
由上表可知，共由12种等可能得情况，其中选中一男一女的情况有8种，
∴选中一男一女的概率为；
【小问3详解】
解：根据题意得：A，B，C，D4名同学分成两组参加比赛每组两人，有（A，B）和（C，D）、（A，C）和（B，D）、（A，D）和（B，C）共3种情况，其中A与D在一组的情况有1种，
∴A与D在一组的概率为．
22. 现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片，如图（1）．将两张小正方形卡片放在大正方形卡片内，如图（2）．将三张小正方形卡片放在大正方形卡片内，如图（3）．
（1）请用含有a，b的代数式分别表示图（2），图（3）中阴影部分的面积；
（2）已知图（3）中的阴影部分的面积比图（2）中的阴影部分的面积大，求小正方形卡片的面积．
【答案】（1）图（2），图（3）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、列代数式、整式的混合运算、完全平方公式、正方形的面积公式，正确得出阴影部分的面积是解答的关键．
（1）根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积
（2）根据（1）中所列的式子，结合“图（3）中的阴影部分的面积比图②）中的阴影部分的面积大”得出等量关系并化简整理，即可求解．
【小问1详解】
解：图（2）中阴形部分的面积为，
图（3）中的阴影部分可拼成一个正方形，且边长为，
故面积为；
【小问2详解】
由（1）知，题图（2）题图（3）中阴影部分的面积分别为，
根据题意，得，
，
故小正方形卡片的面积是5.
23. 两个小朋友在玩弹力球，据此出了一道数学题，请根据信息解答此题．
如图，在平面直角坐标系中，嘉嘉在某处将球掷出后第一次落地点在原点处，第一次反弹后，弹力球的运动路径符合函数的图象的一部分．小球在距第一次落地点水平距离为处时，高度为，第二次落地点与第一次落地点的距离为，弹力球第二次反弹后，运动路径也是抛物线且飞行的最大高度和水平距离都为第一次的一半．
（1）求第一次反弹后弹力球运动路径的函数解析式，并直接写出路径顶点的坐标．
（2）若在距离原点处放置一块高度为的挡板，请通过计算判断弹力球是否会碰到挡板．
【答案】（1），路径顶点的坐标为
（2）会碰到挡板，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而即可求得顶点坐标；
（）先求出第二次弹球路径的抛物线的顶点坐标，进而求得解析式，求出时的值即可判断求解；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【小问1详解】
解：（）将点和点代人得，
，
解得，，
∴第一次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为，
∵，
∴路径顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：由题意可知，第二次反弹后，弹力球运动路径的顶点的坐标为，
可设第二次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴第二次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为，
将代人得，，
∵，
∴弹力球会碰到挡板．
24. 如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度．
（1）求汽车底盘到地面距离．
（2）现计划在处加装挡泥板（）．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙．
【答案】（1）汽车底盘到地面的距离为．
（2）挡泥板至少要才能挡住泥沙．
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点，由垂径定理求得后即可根据勾股定理解三角形得到汽车底盘到地面的距离；
（2）作地面，过点作圆的切线交于点，证明后根据相似三角形性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接并延长交于点，
则，，
连接，则，
汽车底盘到地面的距离为，
答：汽车底盘到地面的距离为．
【小问2详解】
如图，过点作地面于点，过点作的切线交于点，则，的长即为长的最小值，
，
又，
，
又，
，
，
到的距离是，
，
即，
，
，
答：挡泥板至少要才能挡住泥沙．
【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确理解题意．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；
（3）设点E的坐标为（0，）；
①用表示点F的坐标；
②在点E运动过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】（1）（8，0）；y=-x+8
（2）（0，5）或（0，-3）
（3）①（m-4，m-3）；②3≤m≤
【解析】
【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可；
（3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可；
②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围．
【小问1详解】
令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则x=-6，
∴A（-6，0），
∵点D为线段AB的中点，
∴D（-3，4），
∵△ABC的面积为56，
∴×8×AC=56，
∴AC=14，
∴C（8，0），
设直线BC的表达式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴y=-x+8；
【小问2详解】
设E（0，y），
∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴DE=EF，∠DEF=90°，
∵△DEF的面积为5，
∴DE2=5，
∴DE=，
∴，
∴y=3或y=5，
∴E（0，3）或E（0，5）；
【小问3详解】
①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H，
∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°，
∴∠GDE=∠HEF，
∵DE=EF，
∴△GDE≌△HEF（AAS），
∴GE=HF，GD=EH，
∴HF=3，DG=m-4=EH，
∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4，
∴F（m-4，m-3）；
②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴，
此时m-3=0，
∴m=3；
当F在直线BC上时，
此时m-3=-（m-4）+8，
∴m=；
∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）．
【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键．
26. 四边形是边长为8的正方形，中，且．如图（1）所示放置，点E与A重合，F在边上，，将沿边方向平移，平移x个单位长度后，绕点E逆时针旋转，旋转过程中点F始终在四边形内部（含点F落在正方形的边上）．点K为的中点且点K到的距离为d．（）
（1）当，旋转 度时，点G到的距离最小，最小值为 ；
（2）如图（2）当时，经过旋转后，点F落在边上，请求出此时点G到边的距离（用含x的代数式表示）．
（3）如图（3），当时，经过旋转后，使点F落到边上，求平移和旋转过程中边扫过的面积，并直接写出此过程中d的取值范围．
【答案】（1）90，4
（2）
（3）扫过的面积约为，
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（2）过点G作的平行线，分别交，于点M，N，利用相似三角形的判定与性质求得，则此时点G到边的距离为；
（3）过点K作的平行线，分别交于点M，N，连接，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理求得，则d的最大值可求；当时，经过旋转后，使点F落到边上，平移和旋转过程中边扫过的面积为一个矩形和一个以点E为圆心，为半径的扇形的和，分别计算矩形与扇形面积即可；设交于点M，由题意可知d的最小值为，则d的取值范围可得
【小问1详解】
解：∵中，，
∴
∴
又
∴
∴．
当时，旋转到点G落在上时，点G到的距离最小，
∴旋转度时，点G到的距离最小，最小值为．
故答案为：90；4；
【小问2详解】
解：如图，当时，经过旋转后，点F落在边上，
过点G作的平行线，分别交于点，
则四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
由题意得：，
∴
∴，
∴，
∴．
∴点G到边的距离为；
【小问3详解】
解：过点K作的平行线，分别交于点M，N，连接，如图，
则四边形为矩形，
∴，
∵K为的中点，
∴，
∴，
∴d的最大值为．
∵，
∴，
∴，
当时，经过旋转后，使点F落到边上，平移和旋转过程中边扫过的面积为一个矩形和一个以点E为圆心，为半径的扇形的和，此时，，，
设旋转后点F落在点处，则，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴的旋转角度为，
∴．
∴平移和旋转过程中边EF扫过面积
．
设交于点M，
∴，
则d的最小值为．
∴此过程中d取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，图形的平移与旋转的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
甲
乙
解得：整理得：


两边同时除以
得到
丙
丁
移项得：
∴
∴或
∴或
整理得：
配方得
∴
∴
∴
喜欢打羽毛球
不喜欢打羽毛球
男生
5
女生
30
喜欢打羽毛球
不喜欢打羽毛球
男生
50
5
女生
30
15
A男
B男
C女
D女
A男
（B男，A男）
（C女，A男）
（D女，A男）
B男
（A男，B男）
（C女，B男）
（D女，B男）
C女
（A男，C女）
（B男，C女）
（D女，C女）
D女
（A男，D女）
（B男，D女）
（C女，D女）