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2024年广东省惠州市惠城区芦岚中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式计算结果为是（ ）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. 以上答案都不正确
6. 如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），连接，若，．则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、点B(0，－5)、点C(－2，－2)，则平行四边形ABCD的第四个顶点D不可能在 ( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. ⊙O上有A、B、C三点，若弦的长恰好等于的半径，则的度数为（ ）
A. 30°B. 60°C. 150°D. 30°或150°
9. 如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）
A. （）°B. （）°C. （）°D. （）°
10. 已知抛物线 y=a+bx+c 的对称轴为直线 x=2，与 x 轴的一个交点坐标为（4，0）其部分图象如图所示，下列结论其中结论正确的是（ ）
①抛物线过原点；②4a+b=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线线的顶点坐标为(2，b)；⑤当 x＜2 时，y 随 x 增大而增大
A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 因式分解：____________．
12. 从一副54张牌的扑克牌中任取一张，它是梅花的概率是_____．
13. 与最接近的整数是________．
14. 已知为整数，且一次函数图象不经过第二象限，则的值为___________．
15. 如图，在矩形中，交于，于，，则____________．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．
求证：（1）点D在AB的中垂线上．
（2）当CD=2时，求△ABC的面积．
18. 哈尔滨是一座极具魅力的现代化都市，由于地理环境和独特的文化气息，它被人们称为冰城、东方小巴黎、东方莫斯科，2023年冬季哈尔滨火爆出圈也算是老牌网红“翻红”.某校九年级数学兴趣小组就“最想去的哈尔滨市旅游景点”，随机调查了本校九年级部分学生，提供五个具体景点选择：A：冰雪大世界；B：中央大街；C：东北虎林园；D：亚布力滑雪度假区；E：极地馆；F：其他.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，小明和小亮都准备今年冬季去哈尔滨旅游，他们恰好都选了冰雪大世界（只在五个具体景区中选择）的概率是______；
（2）这次调查一共抽取了______名同学；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
（3）若九年级数学兴趣小组所在学校共有2400名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数．
19. 水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．
（1）问草莓、苹果各购买了多少箱？
（2）小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．
①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：
小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？
②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________．
20. 如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上．
（1）已知的面积为8，请求出k的值；
（2）如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式；
（3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
21. 如图，是的直径，与相切于点，过作交于点，过作于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是切线；
（2）若直径的长为，，求的值．
22. 如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）若正方形的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；
②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值．
23 综合与探究
如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设．
①用含m的式子表示： ， ；
直接用①的结论求解②③；
②若，请直接写出点P的坐标；
③若，求点P的坐标；
（3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标．
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
a
________
20
乙店
________
_________
20
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 2023年2月10号，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式计算结果为是（ ）
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. 以上答案都不正确
6. 如图所示，已知，点在线段上（不与点、点重合），连接，若，．则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、点B(0，－5)、点C(－2，－2)，则平行四边形ABCD的第四个顶点D不可能在 ( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. ⊙O上有A、B、C三点，若弦的长恰好等于的半径，则的度数为（ ）
A. 30°B. 60°C. 150°D. 30°或150°
9. 如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）
A. （）°B. （）°C. （）°D. （）°
10. 已知抛物线 y=a+bx+c 的对称轴为直线 x=2，与 x 轴的一个交点坐标为（4，0）其部分图象如图所示，下列结论其中结论正确的是（ ）
①抛物线过原点；②4a+b=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线线的顶点坐标为(2，b)；⑤当 x＜2 时，y 随 x 增大而增大
A. ①②③B. ③④⑤C. ①②④D. ①④⑤
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 因式分解：____________．
12. 从一副54张牌的扑克牌中任取一张，它是梅花的概率是_____．
13. 与最接近的整数是________．
14. 已知为整数，且一次函数图象不经过第二象限，则的值为___________．
15. 如图，在矩形中，交于，于，，则____________．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，又分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．
求证：（1）点D在AB的中垂线上．
（2）当CD=2时，求△ABC的面积．
18. 哈尔滨是一座极具魅力的现代化都市，由于地理环境和独特的文化气息，它被人们称为冰城、东方小巴黎、东方莫斯科，2023年冬季哈尔滨火爆出圈也算是老牌网红“翻红”.某校九年级数学兴趣小组就“最想去的哈尔滨市旅游景点”，随机调查了本校九年级部分学生，提供五个具体景点选择：A：冰雪大世界；B：中央大街；C：东北虎林园；D：亚布力滑雪度假区；E：极地馆；F：其他.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，小明和小亮都准备今年冬季去哈尔滨旅游，他们恰好都选了冰雪大世界（只在五个具体景区中选择）的概率是______；
（2）这次调查一共抽取了______名同学；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为______，并补全条形统计图；
（3）若九年级数学兴趣小组所在学校共有2400名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“冰雪大世界”与“中央大街”的学生总人数．
19. 水果商贩小李上水果批发市场进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元，小李购得草莓和苹果共40箱，刚好花费2100元．
（1）问草莓、苹果各购买了多少箱？
（2）小李有甲、乙两家店铺，每个店铺在同一时间段内都能售出草莓、苹果两种水果合计20箱，并且每售出一箱草莓，甲店获利14元，乙店获利10元；每售出一箱苹果，甲店获利20元，乙店获利15元．
①若小李将购进的40箱水果分配给两家店铺各20箱，设分配给甲店草莓a箱，请填写表：
小李希望在乙店获利不少于215元的前提下，使自己获取的总利润W最大，问应该如何分配水果？最大的总利润是多少？
②若小李希望获得总利润为600元，他分配给甲店b箱水果，其中草莓a箱，已知，则a=________．
20. 如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上．
（1）已知的面积为8，请求出k的值；
（2）如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式；
（3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
21. 如图，是的直径，与相切于点，过作交于点，过作于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是切线；
（2）若直径的长为，，求的值．
22. 如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）若正方形的边长为4，
①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值；
②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值．
23 综合与探究
如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设．
①用含m的式子表示： ， ；
直接用①的结论求解②③；
②若，请直接写出点P的坐标；
③若，求点P的坐标；
（3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点F的坐标．
草莓数量（箱）
苹果数量（箱）
合计（箱）
甲店
a
________
20
乙店
________
_________
20
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