甘肃省武威市凉州区中坝九年制学校联片教研2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共30分)
1. 下列各式中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：在，，，中是二次根式的是；
故选B．
2. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：B．
3. 在实数范围内有意义，则的值可以是（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵实数范围内有意义，
∴，
解得：，
四个选项中只有符合题意，
故选：B．
4. 下列各组数是勾股数的是（ ）
A. 6，8，10B. 7，8，9C. D. 52，122，132
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股数，掌握勾股数是正整数，勾股定理逆定理是解题关键．根据勾股定理逆定理与勾股数为正整数的特征对各选项进行一一判定即可．
【详解】解：A.∵，故选项是勾股数，符合题意；
B.∵，故选项B不是勾股数；
C. 不是整数，故选项不是勾股数；
D.∵，故选项不是勾股数；
故选:A．
5. 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，根据勾股定理可求的值即可求解．
【详解】解： ，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为和，斜边为，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( )

A. 5B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【详解】解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
∵ ×AC×BC= ×CD×AB，
∴ ×3×4=×5×CD，
解得：CD=．
故选．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
7. 已知平行四边形ABCD的周长为32，，则BC的长为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32即可求解．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，
∴AB+BC=16，
∵AB=4，
∴BC=12，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形两组对边分别相等是解题的关键．
8. 如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A. 15尺B. 24尺C. 25尺D. 28尺
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，
在Rt△AB'C中，∵，
∴，
解得：，
∴水深为：尺，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
9. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
10. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识，理解实数与数轴的关系是解题的关键．根据勾股定理可求出圆的半径，进而得到点A到表示1的点的距离，再根据点A的位置确定点A所表示的数．
【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为：，即点A到表示的点的距离为，
∵点A在表示1的点的左侧，
∴点A所表示的数为：，
故选：B．
二、填空题(共24分)
11. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：
12. 若，，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用二次根式化简公式化简已知等式，再根据，求出a与b的值，即可确定出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 已知最简二次根式与能合并，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】考查的是同类二次根式的定义，根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到，从而可求得的值．
【详解】最简二次根式与能合并，
，
．
故答案是．
14. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，根据勾股定理求出则即可得到答案．
【详解】解：由已知可得，
在中，
∴点表示的数为．
故答案为：．
15. 如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是______cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离，再由勾股定理求解即可．
【详解】将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB==cm．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是cm．
故答案为.
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
16. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时长．如果梯子的顶端A沿墙下滑，那么梯子底端B外移____________m．
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果．
【详解】解：中，，，
由勾股定理可得：，
，
在中，，，
由勾股定理可得：，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的公式是解题的关键．
17. 如图，菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解；∵菱形的对角线相交于点，，，
∴，
故答案为：4．
18. 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
三、计算题(共8分)
19. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的混合运算；
（1）根据二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）先分母有理化，然后根据二次根式的减法进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
四、作图题(共6分)
20. 图①、图②分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形的面积为10，且分别满足以下要求：
（1）在图①中画一个直角三角形ABC．
（2）在图②中画一个钝角等腰三角形ABC．
（3）在图②中画出△ABC的边AB上的中线CD（只用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程）．
【答案】（1）见详解
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】直接利用网格结合直角三角形的定义得出答案；
直接利用网格结合钝角等腰三角形的定义得出答案；
找到的中点即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示：即所求；
【小问3详解】
解：如图所示：即为所求．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、直角三角形、钝角等腰三角形、三角形的中线，解决本题的关键是正确借助网格分析．
五、解答题(共52分)
21. 已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值．
【答案】4
【解析】
【详解】分析:先求出ab和的值,再分解因式后整体代入即可.
本题解析：∵a＝3＋2，b＝3－2，
∴ab=,
∴.
点睛：本题考查了二次根式的混合运算和求值的应用,用了整体代入思想.
22. 已知均为有理数，且满足，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算．直接利用完全平方公式计算得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
而，a、b为有理数，
∴，
∴．
23. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
答：为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
24. 若，，为的三条边，且，，满足．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了二次根式的应用以及三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理计算即可得到为直角三角形；
（2）先求出、的值，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【小问1详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：∵，
∴根据解析（1）可知：，
即，
∵，
∴，，
∴，，
∵是直角三角形，且斜边为，
∴的面积为．
25. 如图，有两只猴子在一棵树高点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？

【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解．
【详解】解：设为米，且存在，
即，，
在直角中，为斜边，
则，
即
解得，
米，
米米米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
26. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO=CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB=10，求BC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）10
【解析】
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=CD即可解决问题；
（2）根据勾股定理可得，，再根据AO=CO即可得出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，掌握知识点是解题关键．
27. 如图，已知在正方形中，是的中点，在上，且．

（1）请你判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若此正方形的面积为16，求的长．
【答案】（1），理由见详解
（2）的长为5
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）设正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，从而利用线段的中点定义可得，再根据已知可得，，然后分别在，和中，利用勾股定理求出，和的值，从而可得，进而可得是直角三角形，即可解答；
（2）根据正方形的面积可得，再利用（1）的结论可得，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
理由：设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
是直角三角形，
，
；
【小问2详解】
正方形的面积为16，
，
，
，
，
的长为5．
28. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一点，连结．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连结接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若F恰为的中点，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作于，于．只要证明即可解决问题；
（2）只要证明，可得，即可解决问题；
（3）连接，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理可得，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，，，
，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，连接，
为的中点，
，
在中，，
∵四边形正方形，
，
，即，
解得，
∴，
由（1）得，设，则．
∴，
解得(负值舍去)，即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．