北京市通州区2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷

这是一份北京市通州区2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷，共12页。
2024年4月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．在的展开式中，常数项为（ ）
A．60B．120C．180D．240
4．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
5．在梯形中，，，，则（ ）
A．B．8C．12D．
6．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆心为的圆与双曲线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．某池塘里有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积（单位：平方米）与时间（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时问分别是，，，则．
A．0B．1C．2D．3
9．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数的定义域为______．
12．已知点为抛物线上一点，则点到抛物线的焦点的距离为______．
13．已知数列为等比数列，，，则______；数列的前4项和为______．
14．已知函数，若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则______；若在区间上有3个零点，则的一个取值为______．
15．如图，几何体是以正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：
①不存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平而；
③不存在点，使得点到平面的距㐫大于；
④存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
如图，几何体中，，四边形是矩形，，点为的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．
17．（本小题13分）
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，为边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）
随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越正视．为了解人们的健康情况，某地区一体检机构统计了2023年20岁到100多来体检的人数及年龄在[20,40），[40,60），[60,80），[80,100]的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：60岁到80岁（不含80岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如下图．
60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题个数统计
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题．
（Ⅰ）根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据上图的统计结果，有人认为“该体检机构2023年60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3个，且小于9.8个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
19．（本小题15分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对于任意，不等式成立，求的取值范围．
20．（本小题15分）
已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线过椭圆的左焦点，且与交于，两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题15分）
从数列中选取第项，第项，…，第项，若数列，，…，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列）称，，…，为数列的长度为的单调子列．已知有穷数列，，，，任意两项均不相同，现以的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，…，构成一个新数列．
（Ⅰ）当数列分别为以下数列时，直接写出相应的数列；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3．
（Ⅱ）若数列为等差数列，求证：数列为等差数列；
（Ⅲ）若数列共有项，求证：必存在一个长度为的单调子列．
通州区2024年高三年级模拟考试
数学参考答案及评分标准
2024年4月
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．12．313．81，4814．或；6（答案不唯一）
15．②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．
因为四边形是矩形，所以点为的中点．
因为点为的中点，所以是的中位线．
所以．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为四边形是矩形，所以．
因为，，
所以平面．所以平面．
所以以点为原点，分别以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．
所以，，，，．
所以，．
设平面的法向量为，所以，．
所以令，得，．
所以．
因为平面，所以．
因为，，所以平面．
所以为平面的一个法向量．
所以．
所以平面与平面所成角的余弦值为．
17．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，即．
所以．
所以．
所以．
因为，所以．
所以．因为，所以．
（Ⅱ）若选条件①：．
所以为中点．所以．
因为，，，
所以由余弦定理得，即．
所以．
所以为直角三角形．所以．
所以．
所以的面积为．
若选条件②：．
所以．
因为，，，
所以由余弦定理得，即．
所以．
所以为直角三角形．
所以．所以．
所以．所以的面积为．
18．（本小题14分）
解：（Ⅰ）从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率为．
（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的概率为．
依题意的可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以随机变在的分布列为：
所以随机变远的数学期望为．
（Ⅲ）不正确．
理由如下：若在60岁到80岁（不含80岁）中，[60,65）、[65,70）、[70,75）、[75,80）体检人群的频率分别为70%，10%，10%，10%，则60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题平均值为个，所以该判断是不正确的．
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，所以．
所以．所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即，
（Ⅱ）因为，定义域为，
所以．
因为，令，即，解得，．
所以．
当变化时，，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得；，得；
，得．
因为，
所以．
所以的取值范围是．
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长为4，离心率为，所以，．
所以，．所以．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设为，所以直线的方程为，．
联立方程组消去，化简得．
设，，所以，．
所以直线的方程为，直线的方程为．所以，．
所以，．
所以
．
所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值3．
当时，若直线斜率不存在，不妨设，，
所以，．所以．
综上，当时，有定值3．
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1．
（Ⅱ）证明：设数列的公差为，因为，
当时，数列为单调递减数列，
所以．
所以为等差数列．
当时，数列为单调递增数列，以的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列为．
所以．所以为等差数列．
综上，当数列为等差数列时，数列也为等差数列．
（Ⅲ）证明：（1）若中有一个，那么数列存在一个长为的递增子列．所以存在一个长度为的单调子列．
（2）若数列不存在长度超过的递增子列，即，．
所以在中，至少有个数是相等的．
取其中项，不妨设为，其中．
下面证明当，且时，．
假设，将加到以为首项长度为的递增子列前面，构成了以为首项长度为的递增子列，与为首项的最长递增子列的项数为矛盾，假设不成立．
所以．
由此可知．
所以构成了一个长为的递减子列．
综上，必存在一个长度为的单调子列．
组别
年龄（岁）
频率
第一组
37%
第二组
43%
第三组
17%
第四组
3%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
C
B
A
B
C
A
0
1
2
3
2
－
0
+
0
－
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减