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    广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

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    广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

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    这是一份广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题,共10页。
    说明:本试卷分选择题和非选择题两部分,共6页.满分150分.考试时间120分钟.
    注意事项:
    1、答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目.
    2、选择题每小题选出答案后,把答案填在答题卷相应的位置上.
    3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
    4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
    一、单项选择题:本大题共8个小题,每个小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知,复数满足,则( )
    A.B.C.D.
    3.曲线在处的切线方程为( )
    A.B.C.D.
    4.将5名大学生分配到4所学校支教,每名大学生必须去一所学校,每所学校至少有一名大学生,则不同的分配方法有( )种.
    A.60B.120C.240D.480
    5.已知,则( )
    A.B.C.D.
    6.已知双曲线的渐近线过点,则( )
    A.B.C.D.
    7.过点的直线与圆相切于点,则( )
    A.4B.16C.D.17
    8.如右图所示,图象对应的函数解析式为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题:本大题共3个小题,每个小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,选齐全对的得6分,漏选答案得相应分,错选和不选得0分.
    9.的展开式中,下列结论正确的是( )
    A.所有项的系数之和为0B.常数项为
    C.所有项的二项式系数之和为64D.展开式共6项
    10.已知函数,则下列结论中正确的是( )
    A.函数无极大值
    B.函数的极小值点为
    C.函数在上单调递减
    D.函数在上的最大值为
    11.正方体中,为的中点,为正方体表面上一个动点,则( )
    A.当在线段上运动时,与所成角的最大值是
    B.若在上底面上运动,且正方体棱长为1,与所成角为,则点的轨迹长度是
    C.当在面上运动时,四面体的体积为定值
    D.当在棱上运动时,存在点使
    三、填空题:本大题共3个小题,每个小题5分,共15分.
    12.在等差数列中,,,则数列的前项和________.
    13.在中,已知,,,那么_________.
    14.过双曲线(,)的左焦点作圆的切线,切点为,直线交直线于点.若,则双曲线的离心率为___________.
    四、解答题:本大题共5个小题,满分共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    15.(13分)化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动,并且设置一等奖、二等奖和三等奖,其中三等奖有4种奖品供选择,每种奖品都有若干个,凡是在该商场消费的人均可参与抽奖,消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种,每种奖品被选中的可能性相同,且每位消费者抽中三等奖的概率均为.
    (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率;
    (2)若有4位消费者均抽中三等奖,记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为,求随机变量的分布列.
    16.(15分)如图所示,在四棱锥中,底面是梯形,且,,若,,.
    (1)证明:平面平面;
    (2)求二面角的平面角的正弦值.
    17.(15分)已知函数()
    (1)当时,求函数的单调区间;
    (2)若恒成立,求实数的取值范围.
    18.(17分).椭圆()的焦距是,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线与椭圆交于、两点(如图所示),且点在直线的左上方.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若,求的面积;
    (3)证明:的内切圆的圆心在一条定直线上.
    19.(17分).如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比都大于2,则称这个数列为“G型数列”.
    (1)若数列满足,,求证:数列是“G型数列”.
    (2)若数列的各项均为正整数,且,为“G型数列”,记,数列为等比数列,公比为正整数,当不是“G型数列”时,求数列的通项公式.
    (3)在(2)的条件下,令,记的前项和为,是否存在正整数,使得对任意的,都有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
    2023—2024学年度第二学期学科素养测评
    高中二年级数学试卷参考答案
    一、单项选择题:本大题共8个小题,每个小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
    二、多项选择题:本大题共3个小题,每个小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,选齐全对的得6分,漏选得相应的分,错选和不选得0分.
    三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卷的横线上.
    12.13.14.
    四、解答题:本大题共5个小题,满分共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
    15.(13分)解:(1)设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”,
    由三等奖有4种奖品供选择,故甲、乙2位消费者的选择情况共有种,其中2人最终选择的奖品不一样的情况有种,
    因为每位消费者抽中三等奖的概率均为,
    所以,.
    (2)由题,的所有可能取值为0,1,2,3,
    由题知,4个人挑选了4种奖品,共有种情况,
    表示4个人挑选了4种奖品,所以;
    表示4个人挑选了3种奖品,故有2个人选中同一种奖品,
    所以;
    当表示4个人挑选了2种奖品,从4种奖品中选2种奖品的方法有(种),
    对于被选中的2种奖品,4个人不同的选择方法有(种),
    所以有2种奖品被选中的方法有(种),
    所以,;
    当表示4个人挑选了同一种奖品,
    所以.
    所以的分布列为
    16.(15分)解:(1)证明:因为,所以,
    又因为,所以,
    因为,,且,平面,所以平面,
    又因为平面,所以平面平面;
    (2)以的中点为坐标原点,过点与平行的直线为轴,,所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系,如图,
    所以,,,,
    所以,
    设平面的法向量为,
    所以令,则,,所以,
    因为,
    设平面的法向量为,
    所以,解得,令,则,所以,
    所以
    设二面角的平面角为,则.
    17.(15分)解:(1)当时,,
    所以,
    令,得或(舍去);
    所以当时,,
    当时,;
    所以的单调增区间为,单调减区间为;
    (2)因为,恒成立,
    即,恒成立,
    所以,恒成立,
    所以,,
    所以,
    设,,则,
    所以时恒成立,在时单调递减;
    令,得,解得,
    所以当时,,单调递增;
    当时,,单调递减,
    所以的最大值为,
    因为恒成立,所以的取值范围是.
    18.(17分)解:(1)由题意可得:,即
    又,,∴,,
    ∴椭圆的方程为:.
    (2)设直线的方程为:,
    代入椭圆方程可得:,
    设,,则,,
    ∴,解得或.
    由题意可知,故方程为,即,
    ∴到直线的距离.
    ∴的面积为.
    (3)设直线的方程为,
    代入椭圆方程可得:,
    设,,则,,
    ∴,

    ∴,∴的角平分线平行轴,
    ∴的内切圆圆心在定直线上.
    19.解:(1)∵①,
    ∴当时,②,
    由①÷②得,当时,,
    所以数列()和数列()是等比数列.
    因为,,所以,
    所以,,
    因此,从而,
    所以数列是“G型数列”.
    (2)因为数列的各项均为正整数,且为“G型数列”,
    所以,所以,
    因此数列递增.又,所以,
    因此递增,所以公比.
    又不是“G型数列”,
    所以存在,使得,所以,
    又公比为正整数,所以.又,所以,则.
    (3),
    因为(),
    所以(),所以().
    当时,,
    当时,

    即当时,,所以.
    综上,,.
    所以存在正整数,使得对任意的都有成立.
    单项选择题
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    C
    B
    B
    C
    A
    D
    B
    D
    多项选择题
    9
    10
    11
    答案
    ABC
    ABD
    CD
    0
    1
    2
    3

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