广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题
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这是一份广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题,共10页。
说明:本试卷分选择题和非选择题两部分,共6页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1、答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目.
2、选择题每小题选出答案后,把答案填在答题卷相应的位置上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
一、单项选择题:本大题共8个小题,每个小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2.已知,复数满足,则( )
A.B.C.D.
3.曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
4.将5名大学生分配到4所学校支教,每名大学生必须去一所学校,每所学校至少有一名大学生,则不同的分配方法有( )种.
A.60B.120C.240D.480
5.已知,则( )
A.B.C.D.
6.已知双曲线的渐近线过点,则( )
A.B.C.D.
7.过点的直线与圆相切于点,则( )
A.4B.16C.D.17
8.如右图所示,图象对应的函数解析式为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题:本大题共3个小题,每个小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,选齐全对的得6分,漏选答案得相应分,错选和不选得0分.
9.的展开式中,下列结论正确的是( )
A.所有项的系数之和为0B.常数项为
C.所有项的二项式系数之和为64D.展开式共6项
10.已知函数,则下列结论中正确的是( )
A.函数无极大值
B.函数的极小值点为
C.函数在上单调递减
D.函数在上的最大值为
11.正方体中,为的中点,为正方体表面上一个动点,则( )
A.当在线段上运动时,与所成角的最大值是
B.若在上底面上运动,且正方体棱长为1,与所成角为,则点的轨迹长度是
C.当在面上运动时,四面体的体积为定值
D.当在棱上运动时,存在点使
三、填空题:本大题共3个小题,每个小题5分,共15分.
12.在等差数列中,,,则数列的前项和________.
13.在中,已知,,,那么_________.
14.过双曲线(,)的左焦点作圆的切线,切点为,直线交直线于点.若,则双曲线的离心率为___________.
四、解答题:本大题共5个小题,满分共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动,并且设置一等奖、二等奖和三等奖,其中三等奖有4种奖品供选择,每种奖品都有若干个,凡是在该商场消费的人均可参与抽奖,消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种,每种奖品被选中的可能性相同,且每位消费者抽中三等奖的概率均为.
(1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率;
(2)若有4位消费者均抽中三等奖,记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为,求随机变量的分布列.
16.(15分)如图所示,在四棱锥中,底面是梯形,且,,若,,.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
17.(15分)已知函数()
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
18.(17分).椭圆()的焦距是,长轴长是短轴长的3倍,任作斜率为的直线与椭圆交于、两点(如图所示),且点在直线的左上方.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的面积;
(3)证明:的内切圆的圆心在一条定直线上.
19.(17分).如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比都大于2,则称这个数列为“G型数列”.
(1)若数列满足,,求证:数列是“G型数列”.
(2)若数列的各项均为正整数,且,为“G型数列”,记,数列为等比数列,公比为正整数,当不是“G型数列”时,求数列的通项公式.
(3)在(2)的条件下,令,记的前项和为,是否存在正整数,使得对任意的,都有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
2023—2024学年度第二学期学科素养测评
高中二年级数学试卷参考答案
一、单项选择题:本大题共8个小题,每个小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题:本大题共3个小题,每个小题6分,共18分.每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,选齐全对的得6分,漏选得相应的分,错选和不选得0分.
三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.将答案填在答题卷的横线上.
12.13.14.
四、解答题:本大题共5个小题,满分共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)解:(1)设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”,
由三等奖有4种奖品供选择,故甲、乙2位消费者的选择情况共有种,其中2人最终选择的奖品不一样的情况有种,
因为每位消费者抽中三等奖的概率均为,
所以,.
(2)由题,的所有可能取值为0,1,2,3,
由题知,4个人挑选了4种奖品,共有种情况,
表示4个人挑选了4种奖品,所以;
表示4个人挑选了3种奖品,故有2个人选中同一种奖品,
所以;
当表示4个人挑选了2种奖品,从4种奖品中选2种奖品的方法有(种),
对于被选中的2种奖品,4个人不同的选择方法有(种),
所以有2种奖品被选中的方法有(种),
所以,;
当表示4个人挑选了同一种奖品,
所以.
所以的分布列为
16.(15分)解:(1)证明:因为,所以,
又因为,所以,
因为,,且,平面,所以平面,
又因为平面,所以平面平面;
(2)以的中点为坐标原点,过点与平行的直线为轴,,所在直线分别为,轴,建立空间直角坐标系,如图,
所以,,,,
所以,
设平面的法向量为,
所以令,则,,所以,
因为,
设平面的法向量为,
所以,解得,令,则,所以,
所以
设二面角的平面角为,则.
17.(15分)解:(1)当时,,
所以,
令,得或(舍去);
所以当时,,
当时,;
所以的单调增区间为,单调减区间为;
(2)因为,恒成立,
即,恒成立,
所以,恒成立,
所以,,
所以,
设,,则,
所以时恒成立,在时单调递减;
令,得,解得,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以的最大值为,
因为恒成立,所以的取值范围是.
18.(17分)解:(1)由题意可得:,即
又,,∴,,
∴椭圆的方程为:.
(2)设直线的方程为:,
代入椭圆方程可得:,
设,,则,,
∴,解得或.
由题意可知,故方程为,即,
∴到直线的距离.
∴的面积为.
(3)设直线的方程为,
代入椭圆方程可得:,
设,,则,,
∴,
∵
∴,∴的角平分线平行轴,
∴的内切圆圆心在定直线上.
19.解:(1)∵①,
∴当时,②,
由①÷②得,当时,,
所以数列()和数列()是等比数列.
因为,,所以,
所以,,
因此,从而,
所以数列是“G型数列”.
(2)因为数列的各项均为正整数,且为“G型数列”,
所以,所以,
因此数列递增.又,所以,
因此递增,所以公比.
又不是“G型数列”,
所以存在,使得,所以,
又公比为正整数,所以.又,所以,则.
(3),
因为(),
所以(),所以().
当时,,
当时,
,
即当时,,所以.
综上,,.
所以存在正整数,使得对任意的都有成立.
单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
C
A
D
B
D
多项选择题
9
10
11
答案
ABC
ABD
CD
0
1
2
3