江苏省东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份江苏省东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

用时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
2.已知随机变量分布，且，设，那么（ ）
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6
3.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件检查，则抽到2件正品的概率为（ ）
A.B.C.D.
4.设，且，若能被3整除，则（ ）
A.0B.1C.2D.3
5.若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
6.已知平行六面体中，，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A.216B.432C.864D.1728
8.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，为正整数，且，则下列各式正确的是（ ）
A.B.
C.D.
10.甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，事件表示“从甲盒中取出的是红球”，事件表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A.事件与事件是互斥事件B.事件与事件是独立事件
C.D.
11.棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.面
C.平面平面
D.当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则______.
13.在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，，是圆上的两点，则的最大值为______.
14.在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知（，）.
（1）当，时，记的展开式中的系数为（，1，2，3，…，5），求的值；
（2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离.
18.（本小题满分17分）
某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：
男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29：
女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.
（1）在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；
（2）时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分17分）
已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数，使得，，（，）成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
高二数学
（参考答案及评分标准）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ACD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：以点为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
因为，
所以.
（2）由（1）得，，，
设平面的一个法向量为，
由，即，取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16.解：（1）由题意.
，
，
所以；
（2）由已知，，
所以的系数为，
易知时，取得最小值.
17.解：（1）连结，交于点，连结，
因为，所以，又，
所以，所以，
因为面，面，
所以平面.
（2）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可取，
平面的法向量可取，
所以，得.
因为，，
所以，所以，
所以点到直线的距离为.
18.解：（1）由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为、、、；把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙.那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被指导的概率.
从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况
记“甲被A指导”为事件，若甲被指导，那么只需从中随机选2人指导乙丙，
则共有种情况.
则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为.
（2）由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为.记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有、人，
则，，.于是有
的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而
；
；
；
；
.
∴的分布列为：
∴.
19.解：（1）由，当时，，
当时，，两式相减得，
即，所以，
所以，当时，，上式也成立，
所以数列为常数列，，
所以.
（2）由，，则
，
的前项和为
（3）由（1）知.要使，，成等差数列，则，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5.
当时，；
当时，；
当时，.
故存在正整数，使得，，成等差数列.0
1
2
3
4