四川省德阳市高中2023-2024学年高三下学期“三诊”考试数学（文科）试题

这是一份四川省德阳市高中2023-2024学年高三下学期“三诊”考试数学（文科）试题，共11页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，已知，且，则，已知函数，且，则，执行右面的程序框图，输出的等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.D.
2.欧拉公式把自然对数的底数e，虚数单位i，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足，则正确的是（ ）
A.z的共轭复数为-iB.z的实部为1
C.z的虚部为iD.z的模为1
3.已知，且，则（ ）
A.3B. C.1D.
4.已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.执行右面的程序框图，输出的（ ）
A. B. C. D.
6.已知向量，，O为坐标原点，动点满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.B.2C.D.3
7.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，某校在“大运会”举行前夕，在全校学生中进行“我和‘大运会’”的征文活动，对收到的稿件进行分类统计，得到如图所示的扇形统计图.已知全校高二年级共交稿360份，则全校高三年级的交稿数为（ ）
A.320份B.330份C.340份D.350份
8.设，，为不同的平面，，，为不同的直线，则的一个充分条件为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
9.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合，已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系：（a，b为常数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（ ）
A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃
10.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.设、是双曲线：的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若，则C的离心率为（ ）
A.B. C.3D.2
12.已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.已知函数是奇函数，则的最小正值为________.
14.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，若向量，满足，则的面积为________.
15.已知两点，，若直线上存在唯一点P满足，则实数m的值为________.
16.已知F为抛物线C：的焦点，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B，若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P，则________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
已知是等差数列，是等比数列，且的前n项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求.
18.（本题满分12分）
某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：
他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？
（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除.
（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；
（ⅱ）若广告投入量，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元？（精确到0.01）
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
19.（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F.
（1）求证：平面平面；
（2）设M为的中点，平面交于P，且.若，且，求四棱锥的体积.
20.（本题满分12分）
已知椭圆C： 的离心率为，其左右焦点分别为、，下顶点为A，右顶点为B，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线交C于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）试研究函数的极值点；
（2）若恰有一个零点，求证.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），直线l的方程为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；
（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A、B两点，若线段的中点为D，求线段的长.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知a、b、c、d均为正数，且.
（1）证明：若，则；
（2）若，求实数t的取值范围.
德阳市高中2021级“三诊”试题
数学参考答案与评分标准
（文史类）
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.14.15.16.4.
三、解答题
17.解：（1）设等差数列的公差为
∵，
∴
∴.
∴
设等比数列的公比为
若选条件①，
由，且
得
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故
若选条件②，
令，得
∴公比
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而
（2）因为
所以
两式相减，得
即
所以.
18.解：（1）由于模型①残差波动小，应该选择模型①.
（2）（i）剔除异常数据，即3月份的数据
剩下数据的平均数为
∴
所选模型的回归方程为.
（ii）若广告投入量
则该模型收益的预报值是（万元）.
19.（1）证明：连接，.
因为，，
所以，所以.
因为为的中点，所以.
因为为的中点，所以.
因为，，平面
所以平面.
又，所以平面.
又平面
所以平面平面.
（2）解：由题意得：，，
.
因为，平面，平面
所以平面
所以四棱锥的顶点到底面的距离等于点到底面的距离.
作，垂足为，则由（1）知，平面
故.
底面的面积为.
所以四棱锥的体积为.
20.解：（1）设椭圆半焦距
由题意得
解得：，
椭圆的标准方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，
联立
消去并整理，得：
则，
所以
又直线的斜率依次成等比数列
故
由，得
又由，得：
显然（否则，则、中至少有一个为0，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）.
设原点到直线的距离为，则
由，且，得的取值范围为.
21.解：（1），其定义域为
则，
所以当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
故函数有唯一极大值点.
（2）由题意可得，
令，解得
因为，
所以在上有唯一零点
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为且只有一个零点
所以且
即
消去并整理得：
令，则
因为时在上恒成立，所以在上单调递增
又，
所以.
又，且函数在上单调递增
所以.
22.解：（1）由曲线的参数方程为（为参数）
消去参数得曲线的普通方程为
将，代入直线：
得直线的极坐标方程为.
（2）由点的极坐标为，得点的直角坐标为.
设直线的参数方程为（为参数）
代入曲线的普通方程得：
设、对应参数为、，则对应的参数为，.
故.
23.解：（1）由及
得：
所以.
（2）因为
所以
由于，
又已知
则，当，时取等号.
故.
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量
2
7
8
10
收益
20
30
34
37
7
30
1470
370
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
D
A
D
C
D
A
A
D
C