山西省晋城市2024届高三第二次模拟考试数学试题及参考答案

这是一份山西省晋城市2024届高三第二次模拟考试数学试题及参考答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则不同的报名情况总共有（ ）
A．360种B．316种C．288种D．216种
7．已知等差数列的前n项和为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成．某实验基地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试验5次，水稻的产量如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲种水稻产量的极差为70
B．乙种水稻产量的中位数为240
C．甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D．甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
10．已知函数的定义域为，且对任意的，都有，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于y轴对称
C．D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面
B．当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点E到直线的距离的最小值为
D．当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知集合，，若，则的子集的个数为 ．
13．已知，，则 ．
14．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，且，若的面积为，其中O为坐标原点，则的值为 ．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求的值；
(2)如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积．
16．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：
(1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：，其中．
17．如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．
18．已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切．
(1)求C的方程；
(2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆．
①若，求点P的横坐标；
②求面积的最小值．
19．已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
甲（单位：kg）
250
240
240
200
270
乙（单位：kg）
250
210
280
240
220
喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考答案：
1．A
【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解.
【详解】因为，则，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面积公式以及扇形弧长解得，再结合锥体的体积公式运算求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意可得：，解得，
则圆锥的高，
所以此圆锥的体积为.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量和满足，，，
可得，解得，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意求圆C的圆心和半径，利用点到直线距离可得焦点到渐近线的距离，结合题意分析求解即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，
又因为双曲线的一条渐近线为，即，
双曲线的左焦点到渐近线的距离，
由题意可知：，可得，
所以该双曲线的方程为.
故选：D.
5．C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，由在上有2个零点得，解之即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象， 由，得，
又在上有2个零点，所以，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C
6．C
【分析】根据四人是否有人选择“乔家大院”线路进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，，
则方法数有种.
若四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，
则方法数有种.
所以他们报名的情况总共有种.
故选：C
7．B
【分析】根据等差数列性质分析可得，进而可得，，结合通项公式可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，即，可知，
设等差数列的公差为，则，
可得等差数列为递减数列，则，
由可得，则，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】不妨设，，根据两点间距离公式结合正弦函数的最值分析求解.
【详解】不妨设，
因为，设，
则
，
因为，则，
可知当，即时，取得最小值，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】结论点睛：以为圆心，半径为的圆上的任一点可设为
9．ABD
【分析】根据数表求出极差、中位数，判断A，B；求出平均数判断C；求出方差判断D作答.
【详解】根据给定数表知，甲种水稻产量的极差为，乙种水稻产量的中位数为240，A，B都正确；
甲种水稻产量平均数为，乙种水稻产量平均数为，C错误；
甲种水稻产量方差为，乙种水稻产量方差为，D正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】对于A：令代入运算即可判断；对于B：令解得，令解得，即可判断；对于CD：若，可得，分析可知是以首项，公差为1的等差数列，结合等差数列以及裂项相消法分析求解.
【详解】因为，且函数的定义域为，
对于选项A：令，可得，解得，故A正确；
对于选项B：令，可得，解得，
令，可得，
所以的图象不关于y轴对称，故B错误；
对于选项CD：若，可得，
令，可得，
可知数列是以首项，公差为1的等差数列，
可得，
则，
所以，
故C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：根据题意整理可得若，可得，进而可得，结合等差数列分析求解.
11．ACD
【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.
【详解】对于A，如下图所示，连接，
因为点是线段的中点，所以点也是线段的中点，
所以平面即为平面.
根据正方体的性质，平面，平面，
所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，所以与重合时，平面，故A正确；
对于B，如下图所示，取的中点，
根据分别为的中点，易得，
所以四点共面，
所以截面为四边形，且该四边形为等腰梯形.
又因为，
所以等腰梯形的高为，
所以截面面积为，故B错误；
对于C，如图建立空间直角坐标系，
由图可得，，所以，
设，所以，
所以点到直线的距离，
所以时，距离最小，最小为，故C正确；
对于D，如图所示，取的中点，连接，
易得平面，
又因为平面，所以，
所以，
则点在侧面内的运动轨迹为以为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为，
所以点的轨迹长度为，故D正确.
故选：ACD.
12．8
【分析】由求得，求得集合，进而求得，结合元素个数可得结果.
【详解】由可知，则，可得，解得：，
所以，即.
,
所以，则的子集的个数为.
故答案为：8
13．
【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解.
【详解】因为，即，可得，
又因为，可得，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据椭圆定义利用面积公式和余弦定理解得，进而可知为等边三角形，结合椭圆性质分析求解.
【详解】设，，，则，
在中，可知，
即，可得，
由余弦定理可得，
即，可得，
则，解得或，
又因为，则，可得，可知，
又因为，可知为等边三角形，
即，结合对称性可知轴，
则，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由题意可知，利用解三角形知识分析可得，结合椭圆的定义和性质分析求解.
15．(1)
(2)18
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换分析求解；
（2）中，可得，，可知，进而在中，利用余弦定理和面积公式分析求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
注意到，则，可得，
且，则，
可得，
则，
又因为，则，可知，
可得，，
所以.
（2）由（1）可得：，
因为，在中，可得，，
又因为，可得，
则，
在中，由余弦定理，
即，解得，可知，
所以的面积.
16．(1)有认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；
（2）求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列；
（2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，由列联表中的数据，
可得，
所以有认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，
其中男生的人数为人，女生的人数为人，
从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，
可得，
，
则随机变量的分布列为：
（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，
所以随机变量服从二项分布，即，所以.
17．(1)证明见详解
(2)或
【分析】（1）根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明线面平行；
（2）设，求平面的法向量，结合线面夹角的向量运算分析求的值，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：，，平面，
可得平面，
且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，
则，
若，则，，
由题意可知：平面的法向量，
因为，且平面，
所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得或，
所以或，即线段BF的长为或.
18．(1)
(2)①3；②
【分析】（1）根据题意可知抛物线C的准线为，进而可得和抛物线方程；
（2）设，根据直线与圆O相切分析可知是方程的两根，利用韦达定理可得.①令，运算求解即可；②根据题意可得，换元结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为圆O：的圆心为，半径，
由题意可知：抛物线C的准线为，可得，
所以抛物线C的方程为.
（2）设，
可知直线，即，
因为直线与圆O相切，
则，整理得，
且，化简可得：，
同理可得：，
同构可知：是关于x的方程的两根，
则，
可得，
注意到点在抛物线C：上，则，
则.
①若，整理得，
解得或（舍去），即点P的横坐标为3；
②因为点到准线的距离，
则面积，
设，则，
可得，
且，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义即可求解；
（2）利用导数分类讨论当、情况下函数的性质，进而求解；
（3）利用取倒数法求得，利用导数证明，结合归纳法和放缩法证明原不等式即可.
【详解】（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和导数与数列的综合问题，第（3）问，利用数学归纳法和进行放缩是解决该问的关键.
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