上海市徐汇区2024届高三学习能力诊断数学试卷及参考答案

这是一份上海市徐汇区2024届高三学习能力诊断数学试卷及参考答案，共22页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知集合，集合，那么 .
2．已知复数（为虚数单位），则 .
3．在中，，，，则的外接圆半径为 .
4．若正数满足，则的最小值为 .
5．已知数列的前项和为，若（是正整数），则 .
6．若圆与圆内切，则等于 .
7．已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 .
8．已知函数在处有极值0，则 .
9．同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量表示结果中有正面朝上，表示结果中没有正面朝上，则 .
10．如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有 种.
11．如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 .
12．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
二、单选题
13．在下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A．B．C．D．
14．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的第40百分位数为1
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变
15．已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，函数关于直线对称
B．若，函数在上是增函数
C．若函数在上最大值为1，则
D．若，则函数的最小正周期是
16．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
三、解答题
17．已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
18．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）
(1)若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望.
附：，.
20．已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
21．已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数，其中.
（i）证明：对任意，；
（ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.9
1
1.1
1.5
未患病者
患病者
合计
未服用
中草药甲
服用
中草药甲
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．
【分析】先求出集合，，然后结合集合的交集运算即可求解．
【详解】因为集合,，集合或，
那么,．
故答案为：,．
2．
【分析】由复数除法求得后，再根据复数的乘法计算．
【详解】由已知，
所以．
故答案为：2．
3．
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以．
故答案为：1.
4．/
【分析】根据基本不等式求解．
【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是．
故答案为：．
5．
【分析】由已知结合数列的和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
【详解】因为，
时，，
两式相减可得，，
即，，
因为，解得，
故数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以．
故答案为：81．
6．
【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解.
【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2；
圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1；
当两圆内切时，圆心距 ，解得
故填：
【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值.
7．
【分析】依题意，可求得，再利用的二项展开式的通项公式可求得答案．
【详解】的二项展开式中各项系数和为1024，
即，
故．
设的二项展开式的通项为，则，
令，得，
故展开式中常数项的值为．
故答案为：210．
8．
【分析】由题可得，即可得答案.
【详解】因为，所以，依题意可得
.解得，
经检验适合题意，所以.
故答案为：
9．
【分析】先利用独立事件的概率乘法公式求出，，再利用期望和方差公式求解．
【详解】由题意可知，，，
所以，
所以．
故答案为：.
10．72
【分析】利用分步乘法计数原理以及分类加法计数原理即可求解.
【详解】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.
（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，
C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.
（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.
C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，
综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).
故答案为：72
11．
【分析】令，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出的面积函数，再利用导数求出值域即得.
【详解】依题意，设，则，
因此的面积，，
求导得，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
因此，而，则，
所以面积的取值范围是.
故答案为：
12．
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）．
13．B
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断，利用对数函数性质和基本不等式确定偶函数的值域．
【详解】ACD三个选项中函数定义域是，
函数的定义域是，，为偶函数，由对数函数性质知其值域为，B符合；
，因此是奇函数，A不符；
，因此是偶函数，但，当且仅当时取等号，因此函数值域不是，C不符；
，是奇函数，D不符.
故选：B ．
14．D
【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D.
【详解】，所以样本点的中心坐标为，
将它代入得，，解得，故A错误；
对于B，当时，y的预测值为，故B错误；
对于C，样本数据y的第40百分位数为，故C错误；
对于D，由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.
故选：D.
15．C
【分析】求出即可判断选项A；由正弦函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断C；判断，即可判断D．
【详解】对于A，若，则，
，不是最值，
所以不关于直线对称，故A错误；
对于B，若，则，
当时，，因为正弦函数在上不单调，
所以函数在上不是增函数，故B错误；
对于C，，则，
因为函数在上最大值为1，
所以，解得，故C正确；
对于D，若，函数，
因为，
所以函数的最小正周期不是，故D错误．
故选：C．
16．A
【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②．
【详解】由题意知，故,
设外心为，则为BC的中点，设外心为，如图，
则平面，平面，
平面，平面，
，，
，平面，平面，
又因为，则平面，即，，，四点共面，
则平面，
连接，则为二面角的平面角，
二面角的大小为，，
而，，因为平面，平面，
故，而，则，
在中，，
则，故，即三点共线，
且是的中点；
则，故①是真命题；
又，
点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
轨迹长度为，故②真命题．
故选：A．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据空间的位置关系，推出三点共线，及说明是得中点，从而确定点形成的轨迹.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
在中任取一个实数，都有，并且.
因此，是奇函数.
（2）等价于即在上有解.
记，因为在上为严格减函数，
所以，，，
故的值域为，因此，实数的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得，，由此即可证明；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，求解以及平面的法向量为，利用向量的坐标运算得线面夹角即可；方法二：利用体积相等求解点到平面的距离，即可得与平面所成角．
【详解】（1）证明：由题意得，，
，，
，
在中，由，得，
同理可得，又平面，故平面.
（2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为轴正方向建立空间直角坐标系，
则点，故，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设直线与平面所成角为，
故，
因此直线与平面所成角的正弦值.
（方法二），，
则，．
记点到平面的距离为，因为，
所以，则，
设直线与平面所成角为，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
19．(1)认为中草药甲对预防此疾病有效果
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）记表示服用中草药乙后治疗有效，表示未服用过中草药甲，表示服用过中草药甲，利用全概率公式求出，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平，
计算，而，
的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果.
（2）记表示服用中草药乙后治疗有效，表示未服用过中草药甲，表示服用过中草药甲，
由题意可得，，且，，
则，
即中草药乙的治疗有效率，则，
所以，
，
，
所以随机变量的分布为：
所以随机变量的数学期望.
20．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设点，直接计算，结合点在椭圆上化简即得；
（2）设，由向量线性运算的坐标表示得出，再利用在椭圆上，可求出（或）的坐标，然后可得直线方程；
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），直线方程椭圆方程整理后应用韦达定理得，把它代入可求得的确定值，从而得定点坐标．
【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为，
设点，则 .
（2）设，由已知可得，，
由得，化简得
代入可得，
联立解得
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得.
由韦达定理，得.，.
可化为，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为，设出直线方程为或，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得（或），代入题中关于交点的其他条件化简可得出（或）的关系，从而得出定点坐标．
21．(1)证明见解析，；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由可变形为，从而得到为等差数列，然后由累乘法求通项即可；
（2）可先证：，根据的表达式求导，分析单调性，得出最小值，即可得证，再证：，即证恒成立，即即可；先求出，然后由，分析单调性证明进而得到，代入表达式，取可得，再对进行放缩即可求解.
【详解】（1）由于数列的各项均不为，
所以，可变形为（是正整数），
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
又，也符合上式，所以.
（2）（i）先证：.
根据已知，得
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.
再证：.
又，记，则，
由，故且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，证毕.
（ii）由题意知，，
下面研究.将（i）推广至一般情形.
，
由当且仅当时等号成立，
于是在上是严格增函数，故成立.①
再证：.，
记，则，
由，故当且仅当时等号成立，
于是在上是严格减函数，
故，于是，
所以，，即对任意，.
于是对，，整理得，
令，得，即，故.
（方法一）当时，
故即，
从而.对于任意给定的正实数，令，
则取为大于且不小于的最小整数，
则当时，恒成立，因此，数列的极限为.
（方法二）而对于任意，只需且时，
可得.
故存在，当时，恒有，
因而的极限.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的通项、求和，另外考查数列和函数的结合以及新定义知识，难度较大，本题主要思维方法：
1.基本方法求通项：定义法，累乘法；
2.不等式的证明，借助构造函数利用导数分析单调性，求最值；
3.新定义考查，主要是结合导数的最值分析和不等式的放缩思维，对于一般学生要求较高，难度很大.
0
1
2