河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题及参考答案

这是一份河南省开封市2024届高三第三次质量检测数学试题及参考答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．3C．D．
3．设，已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．3
6．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若，则，）（ ）
A．94B．86C．82D．78
7．已知点是抛物线的焦点，,是该抛物线上两点，，则中点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
9．椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
10．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．函数的周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上的最小值为
11．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．
C．是周期函数D．的解析式可能为
三、填空题
12．已知为等差数列，为其前项和，若，，则
13．已知函数 的值域为，则的定义域可以是
14．在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时 ．
四、解答题
15．某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同．A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下：
(1)求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率；
(2)依据的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联?
附：．
16．已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
17．已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且，，成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若，求直线l的方程．
18．已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个论断：①；②；③平面．
(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，求四棱锥体积的最大值．
19．点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且．
(1)若，求；
(2)射线上的点，，，…满足，，
（i）当时，求的最小值；
（ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和．
男
女
在A餐厅用餐
40
20
在B餐厅用餐
15
25
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】利用复数的加减乘除四则运算求出，再求其模即得.
【详解】由可得，则.
故选：B.
2．D
【分析】根据向量的坐标运算及向量共线的坐标关系即可求解.
【详解】由，可得，
由可得，解得，
故选：D
3．D
【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围.
【详解】由题设，，又，，
∴.
故选：D
4．A
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
【详解】设事件 “第1次抽到几何题”，事件 “第2次抽到代数题”，
所以，
则．
故选：A．
5．C
【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.
【详解】由可得，即，，故.
故选：C.
6．C
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【详解】测验数据服从正态分布，
则，，
故，
故等级的分数线应该是．
故选：C
7．B
【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式求解.
【详解】设点坐标分别为，抛物线的准线方程为，
由抛物线定义有，,
所以,，故，选项B正确．
故选：B.
8．B
【分析】根据可得为公比为2的等比数列，即可求解，进而可得，根据的表示即可求解.
【详解】由可得，，
故为公比为2的等比数列，故，
所以，故，
因此
故，
要使，则，
当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6，
故选：B
9．ABD
【分析】根据以及椭圆的对称性可得，进而可求解，即可根据选项逐一求解.
【详解】由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，
故选：ABD
10．AD
【分析】根据二倍角公式化简，即可利用平移求解，结合选项即可逐一求解.
【详解】，，
故数的周期为，A正确，
对于B. 函数，故不关于直线对称，B错误，
对C. 当则，故函数在区间不是单调递减，C错误，
对于D. 则，故当时，取最小值故D正确，
故选：AD
11．ABC
【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.
【详解】由，
令，，有，可得,故A正确；
令，则，则，
函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误，
，令，
则，
所以，
则，
，
所以，则周期为6，C正确．
由于为偶函数且周期为6，故，B正确，
故选：ABC
12．
【分析】利用等差数列的通项公式列方程求解公差，进而可以求出
【详解】设等差数列的公差为d,∵，，
∴2×8+8d=0，解得d=−2.
则S8=8×8−2×=8.
故答案为8.
13．（答案不唯一）
【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可.
【详解】令，解得或，
则的定义域可以是，
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解.
【详解】分别作，，垂足为，，则．
由，可得，所以．
因为，则
，
故，
故答案为：．
15．(1)
(2)依据的独立性检验，认为性别与选择餐厅之间有关联
【分析】（1）分别求解,，利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答.
【详解】（1）由表中数据可得，选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为，
设事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙去餐厅用餐，事件：甲乙选择同一种套餐，
事件A: 甲、乙两名同学选择同一套餐用餐,
,
则；
故甲乙两人选择同一家餐厅的概率为
（2）根据数据可得方案一的列联表：
零假设为：认为性别与选择餐厅之间无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．
16．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求出，，，代入直线的点斜式方程即可求出切线方程；
（2）求出导函数，用列表法求出极值即可．
【详解】（1）因为的定义域为，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）依题意，，则，
令，解得或．
当变化时，，的变化情况如表所示：
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，．
故的极小值为，的极大值为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据点点距离，结合等比中项即可化简求解，
（2）联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，即可利用向量数量积的坐标运算求解.
【详解】（1）由题意可得，则，，，
由于，，成等比数列，所以，
即，
故点P的轨迹C的方程为
（2）由（1）知点P的轨迹C的方程为：当或，
当时，，如图；
由题意可知直线有斜率，设方程为，
联立，
则，故,
联立，
则，故,
,
解得，
故直线方程为
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）①②③,根据平面以及三角形全等可证明平面，即可由线面垂直的判定求解，③②①,根据线面垂直可得四棱锥是正四棱锥，即可求证，①③②,根据线面垂直，结合三角形全等，可证明四棱锥是正四棱锥，即可根据线面垂直得线线垂直，
（2）根据正四棱锥的性质，由体积公式得体积表达式，即可利用不等式求解最值.
【详解】（1）①②③,
连接相交于，连接，
由于底面是正方形，所以，
又，平面，
故平面，平面,故,
由于，故,
因此,平面，
故平面，（可得四棱锥是正四棱锥）
平面，故,
又平面,故平面．
②③①,
连接相交于，连接,
由于底面是正方形，所以，
又，平面，
故平面，平面，故,
又平面，平面，故,
平面,故平面,
结合底面是正方形，是正方形的中心，
所以四棱锥是正四棱锥，故，
①③②,
连接相交于，连接,
平面，平面，故,
由于故,
又,故,
故,
因此，平面，故平面,
故四棱锥是正四棱锥，
由于，又，平面，
故平面，平面,故,
（2）无论选择哪两个条件，都可以推出四棱锥是正四棱锥，
设四棱锥的底边边长为，则四，
所以，
故，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
故四棱棱锥体积的最大值为.
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据定义可得，即可根据余弦定理求解，
（2）（i）根据等面积法可得，即可利用不等式乘“1”法即可求解，
（ii）由，结合放缩法即可求解.
【详解】（1）因为D是线段上一点，，
所以故，
所以为的角平分线，又,所以,
若，在中，由余弦定理可得,
故，
由正弦定理可得,故，解得,
由于是最大的边，所以，
（2）设，
（i）当时，因为,所以在线段的延长线上，
所以，
因为,
,
所以
当且仅当,即取等号，此时，
由于,，等号可以取到，
故的最小值为
（ii）当，,所以在线段的延长线上，
所以，
所以,
时，所以，
,，
所以，
综上
【点睛】方法点睛：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式以及，利用裂项法进行求和是解决本题的关键；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
男
女
合计
在A餐厅用餐
40
20
60
在B餐厅用餐
15
25
40
合计
55
45
100
1
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增