福建省福州市仓山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是利用（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足以上条件为最简二次根式进行判断．
【详解】解：A、中被开方数含有分母，故该项不是最简二次根式，不符合题意；
B、中被开方数含有分母，故该项不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；
D、中被开方数含有因数4，故该项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 每年两会，民生话题都牵动人心．就业是最大的民生，2024年政府工作报告提出，城镇新增就业12400000人左右．将数据12400000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
3. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接不能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，5，6B. 3，4，5C. 6，8，10D. 5，12，13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握已知的三边满足，则是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可判断是否能组成直角三角形．
【详解】解：A、∵，
∴2，5，6不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵，，
∴，
∴3，4，5能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴6，8，10能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
D、∵，，
∴，
∴5，12，13能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 如图，在菱形中，，交于点，若，，则菱形的周长是（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，以及30度所对直角边等于斜边一半，根据菱形的性质，得到，，利用30度所对直角边等于斜边一半，得到即可解题．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
，，
，
菱形的周长是；
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式相关的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 和不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
B. ，此选项计算错误，不符合题意；
C. ，此选项计算正确，符合题意；
D. ，此选项计算错误，不符合题意；
故选C．
6. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B.
C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形平行四边形，故选项A符合题意；
B、，，
四边形平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由，，
四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7. 已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的关系．
【详解】解：
把②代入①，得，
∴，
故选：A．
8. 如图，两平行线和的距离是4，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
过点B作，垂足为D，根据垂直定义可得，根据题意可得：，再根据平角的定义可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得：，根据等角对等边得出，最后根据勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，垂足为D，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M，根据垂线的定义得出，再根据余角的定义得出，然后根据正方形的性质及等量代换得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，最后根据点A的坐标即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M
四边形正方形
，
在和中
，
点A的坐标为，
，
点的坐标为
故选C．
10. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上，，，若是的中点，是的中点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，并延长交于点N，连接，根据平行四边形的性质得出，利用
【详解】解：如图，连接，并延长交于点N，连接
四边形是矩形
G是的中点
在和中
，
，，
，
H是的中点，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理以及勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键．
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2.作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 若有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，即可求得．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故答案为：
12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则的长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了已知两点坐标求两点的距离，直接根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：点的坐标为，点O的坐标为
．
故答案为：．
13. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴该菱形的面积为，
故答案为：．
14. 如图，在中，平分，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质角平分线的性质得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 若，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式
将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案．
【详解】
故答案为：．
16. 如图，是等腰直角三角形，，点D在线段上，过D作于E，于F，点G，H分别是的中点，若，则下列结论正确的是____．（写出所有正确结论的序号）
①；②的最小值是；③的面积始终保持不变；④是等腰三角形．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．证明四边形是矩形，可得，可判断①；连接，根据矩形的性质可得当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，可判断②；设，则，可得到的面积随x的变化而变化，可判断③；再由直角三角形的性质可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
即，故①正确；
如图，连接，
∵点G，H分别是的中点，是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴点G，D，A三点共线，，且，
∴，
∴当时，最小，此时点D与点H重合，即的最小值的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，故②错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴的面积为，
∴的面积随x的变化而变化，故③错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确．
故答案为：①④
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及到算术平方根、零次幂、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
依次计算算术平方根、零次幂、完全平方公式，再计算有理数的加减即可得出答案算术平方根、零次幂、完全平方公式．
【详解】解：
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．先求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大”即可确定不等式组的解集．
【详解】解不等式组：
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
19. 如图，在中，，于点，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据垂线的定义得出，在中，根据勾股定理求出，再根据线段的和差求出，然后在中，利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：，
中，
，
在中，．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将括号里面的通分，再根据分式的除法法则把除法转化为乘法，然后约分，最后将值代入计算即可得出答案．
【详解】解：
当时，原式
21. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作直线，分别交于点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，证明，即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
22. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在边上找出点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解垂直平分线的性质成为解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线，其于的交点即为所求；
（2）设，由（1）知，进而得到、，再根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点即为所求；
【小问2详解】
解：设，由（1）知，
，
，
，，
，
，
，解得，
．
23. 【阅读材料】
我们把多项式及叫做完全平方式．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如，求代数式的最小值．
可知，当时，有最小值，最小值是．
再例如，求代数式的最大值．
．
可知，当时，有最大值，最大值是15．
【类比应用】
（1）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？
【迁移应用】
（2）如图，在四边形中，对角线，交于点，且，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）当时，有最小值，最小值是7；（2）当时，有最大值，最大值是8
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用完全平方公式进行解题是关键．
（1）依据题意，由，再结合题干中的信息即可得出答案；
（2）设，四边形的面积为，得出，依据题意，由，根据完全平方公式变形为，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：
当时，有最小值，最小值是7；
（2）解：设，四边形的面积为
，
，
当时，有最大值，最大值是8．
24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上．点在上，过作分别交轴，轴于，，过作交轴于，连接，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）点坐标为，且，满足．连接交轴于．
①求的长；
②求点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）①；②点的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据垂线的定义及平行线的判定得出，再根据一组对边平行且相等即可证明四边形为平行四边形，然后根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可得证；
（2）①法一：过点作于点，根据垂线的定义得出，根据非负性得出，，从而得出，再根据矩形的性质利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案；
法二：根据非负性得出，，从而得出，再根据平行线的性质及矩形的性质得出，利用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案；
②设，则，根据得出，再根据矩形的性质及勾股定理即可求出的值，进一步可得出的值，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
四边形为平行四边形
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
①解：
法一：
过点作于点
则
，
，
，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
，
；
法二：如图：
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
；
②解：如图
设，则
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，
，
解得
，
，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的判定及性质、勾股定理、非负性、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25. 如图，是正方形外一点，连接交于点．连接，，且．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：平分；
（3）如备用图，过点作于点，分别交，于点，，连接，若．求的值．
【答案】（1）．理由见解析
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，即可证明结论；
（2）过点分别作于点，作交的延长线于点，证明，得到，再根据角平分线定理的逆定理，即可证明结论；
（3）连接，先证明，得到，然后证明，得到，即得答案．
【小问1详解】
解：．
理由：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：过点分别作于点，作交的延长线于点，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
【小问3详解】
解：连接，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．